ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .............. , ........ , , 8
Глава!
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ § 1. Понятие функции ................. ... П
1. 'Определите функции тто Лобачевскому (11). 2. Система координат (12). 3. График, функции и уравнение кривой (13). 4. Однозначные и многозначные функции •(15). 5. Область определения функции \1Ъ). § 2. Линейная функция y = kx+b ....... ,...,.. 17
ии = fex<17^. 2„ График
-
Линейная функция y =
i. Графяк лвве&нвй функции f = fex<17^. 2„ График общей линейной функции (и). 3. Приращение линейной функции (22). 4. Возрастание « убывание линейной функции (23). 5. Задачи на построение линейной функции (23). § 3. Геометрические задачи для двух линейных функции . . 25
1. Параллельность графиков яи-нейных функций 3(25).
2. Точка лересечения графиков линейных функций (26).
3. Угол -между графиками линейных функций '(27).
4. ;рертгендикулярность трафиков линейных функций (28).
§ 4. Линейная интерполяция ................. 28
§ S. Квадратичная функция ............. ..... 29
1. Симметрия графика -функции д—& (51) 2. Исследование функции на возрастание т убывание (31). 3, Эвегремуи функции f=a? <(32-). 4. Мсследоввяие трафика фуиквдан f = »;* ва вит? клеш, и *вг«утость (34). Ъ. Фуякняя у=акг {Щ. 6. Уравнение параТ5олы с вершиной в заданной точке (36). 7. Исследование общей квадратичной функции у = ак* -\-bx-\- с (36). 8. Примеры •зависимостей, выражающихся хвадргатичной функцией (38). § в. Кубическая функция ,,,.....,... ...... 40
1. Исследование функции у = х3 (40). 2. Исследование
ОГЛАВЛЕНИЕ
функции y = x*+kx (42). 3. Исследование функции y = xa-}-kx-j-b (45)., 4. Исследование общей кубической функции y = a0je3+ai*a-f-aa*+as (47). 5. Пример зависи- ... мости, выражающейся кубической функцией (48).
§ 7. Многочлены ..:......................
1. Сравнение графиков степенных функций у = хп при четных и нечетных показателях (48). 2. Многочлен. Корни многочлена. Разложение на множители (49).
3. Поведение многочлена (/ = Рп(х) на бесконечности (52).
4. Примеры графиков многочленов (52).
| 8. Обратно-пропорциональная зависимость и дробно-линейная функция......................!
1. Исследование функции у — -— (53). 2. Гипербола с
центром в заданной точке (56). 3. Дробно-линейная функция (56).
| 9.'Дробно-рациональная функция............ . '
1. Отрицательные степени х (58). 2. Дробно-рациональная функция (60). 3. Асимптоты графика дробно-рациональной функции (61). 4. Разложение на простейшие дроби (64). 5. Графики простейших дробей (66). 6. Пример зависимости, выражающейся дробно-рациональной функцией (69).
\ 10. Показательная функция................6
; 11. Тригонометрические функции .............7
1. Исследование функции y=*sin x (71). 2. Исследование функции y = sin~a)x (73). 3. Уравнение простого гармонического колебания (75). 4. Приведение функции y = Acos
I 12. Взаимно-обратные функции .............. 7
1. Понятие обратной функции (78). 2. График обрат- : . ной, функции (79). 3. Свойства обратной функции (80). 4. Логарифмическая функция y*=logax (81). 5. Обратные тригонометрические функции и их главные значения (82).
13, Линеаризация алгебраических функций .. . . . . . . 8
1. Линеаризация рациональных функции вблизи нуля (84). 2. Линеаризация иррациональных функций (86). 3. Линеаризация вблизи данного значения аргумента
• (87). ...•.':--, •••:•; *••••;•;-•
ОГЛАВЛЕНИЕ б
Г л а в а И , : . ;
ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Предел функции в точке . . . . . . . . ..... . . . 88
1. Понятие бесконечно малой (88). 2. Свойства бесконечно малых (89). 3. Понятие предела функции (90). 4. Свойства пределов (90). 5. Понятие непрерывной функции (94).
§ 2. Предел функции на бесконечности...........96
1. Понятие функции, бесконечно малой на бесконечности (96). 2. Предел функции на бесконечности (96). 3. Нахождение наклонных асимптот графика функции (97).
§ 3. Задача о касательной.................. 99
1. Касательная к параболе у = х3 в начале координат (101). 2. Касательная к параболе у—У"х (102). 3. Касательная к синусоиде j/ = sin x в начале координат. Первый замечательный предел (103). 4. Касательная к косинусоиде y = cos x в точке ее пересечения с осью ординат (105).'5: Касательная к тангенсоиде y = tg x в начале координат (106). 6. Касательные к графикам обратных тригонометрических функции (107). 7. Касательная к графику обратной функции (108). 8. Касательная к графику показательной функции в точке его пересечения с осью ординат (109). 9. Касательная к графику логарифмической функции в точке пересечения с осью Оде (112). 10. Число е как предел (112).
§ 4. Гиперболические функции................113
Глава III ЛИНЕАРИЗАЦИЯ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Сравнение бесконечно малых функций..........115
1. Свойства бесконечно малых более высокого порядка малости, чем данная (116). 2. Основная теорема об эквивалентных бесконечно малых (116).
§ 2. Линеаризация вблизи нуля . . .............117
1. Линеаризация функции (/=(!+*)" (118). 2. Линеаризации функции у=*т—г— (118). 3. Линеаризации функции
/--- Ч~*
У=-1г 1+* (119). 4. Линеаризация функции y=sin* (119). 5. Линеаризация функции у=cosx (119f. 6. Линеаризация функций у = ех и у=а* (119). 7. Линеаризация функции у = 1о&, (1 + *) (120). 8. формулы линеаризации вблизи нуля (120). 9. Примеры применения линеаризации (120). , :
. ОГЛАВЛЕНИЕ .
j
» j, Лвнеарнзацня функции вблизи данной точки ...... 12)1
1. Производная и дифференциал линейной функции в данной точке (123). ,
в. 4. Формулы линеаризации основных адемёнтарных функций.
* Производные................... ... 15
I, Лннеариаааи* степеаиой фувкци» /(jc)=>jc" нра целом положительном и {124). 2. Линеаризация функции
/(*).=— (124)» 3. Лнвеарнзациа функции Цх)
(125). 4; Линеаризация функции Цх)=&пхПЩ: 5i Ли- ' веаризация функции /('*}=cos ж (126). 6. Линеаризация пОказ-ателБной функции /(эЛ==в* (126). Т. Линеаризация логарифмической функции• f(x) = log^x (J26).
с 5. Общие свойства првиэводяых . . . . . . . . . . . . . . 127
1, Производная суммы (127). 2. П-рон-зводиаж произведения (127). 3. Производная дроби (128). 4. Производная н дифференциал сложной функции (129). Sr, Производная степенной функции при любом показателе степени (131). 6, Производные обратных функций (131). 7. Производные обратных тригонометрических функций (132).
. 0. Геометрический смысл производной и дифференциала . . 133 {.Геометрический смысл производной (133). 2. Уравнение касательной к кривой y — f(x) в точке (хй, уа) (ГЗЭ). 3. Геометрический смысл1 дифференциала -(134)-
g 7. Понятие о производных и дифференциалах высшего порядка 135 с Л, Механический смысл производной . . . . . . . . . . . . 135
Г л а в а IV ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНЫХ К ИССЛЕДОВАНИЮ
ФУНКЦИЙ g 1_ Поведение функция вблизи дайной точки .'. . . '. . . . 137
J. Условие возрастания и убывания' функййи в точке (137). 2. Точки экстремума (138). 3. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке
О40)' •: • .,.• .. ..,: , ;, •-• :';-,'.: ':
-2. Теорема Лагранжа я ее примевёння . . . .' . '.' . . V . 142
1. Теорема Лагранжа, (142)(. 2. Возрастание >' убывание функди» на отрезке (144>. Зь Классифвкав,»я язоляро-ванных стационарных точек (Н5). 4. Достаточное условие экстремума по второй производной (14% 5. Выпуклость и вогнутость дуги кривой (148). 6. Пример. Исследование функции #=«6де2е"~* (150),
ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3. Применение производных к вычислению пределов . . . .131 1. Теорема Коши (151). 2. Правило Лопиталя (152). 3. Сравнение поведения на бесконечности степенной, показательной и логарифмической функций] х", е*, In к (153). -".
§ 4. Представление функции по формуле Тейлора ...... 154
1. Формула Тейлора (154). 2. Геометрический смысл формулы Тейлора при п=2 (157).
§ 5. Представление элементарных функций по формуле Тейлора вблизи нуля. . ... . . . . . . , . . . . ,', . . 157
1. Представление многочлена (157). 2. Представление функции (1-4-ж)*. Бином Ньютона (158). 3. Представление функции |Х7 (159), 4. Представление функции
]Л +х (159). 5. Представление функций sin ж н cos < (16^.
6. Представлеяие функций е* и а* (160).
7. Представшенив функций In (1-f ж) н 1о?а(1тг-*) (Ш).
8. Таблица простейших представлений основных элементарных функций по формуле Тейлора (161).
Г л а в а V НЕЯВНО ЗАДАННЫЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Понятие о неявном задании функции......... . 163
§ 2. Функция, заданная неявно уравнением Ахг-\-Су* — \ , . 164 1. Исследование уравнения Ах*-\-Су*=* 1 (164). 2. Эллипс, как геометрическое место точек (166). 3. Эллипс, как проекция, окружности (168). 4. Уравнение эллипса с центром в заданной точке (169).
§ 3. Функция, заданная неявно уравнением Аде* — Cjr*=l . . 169
1. Исследование уравнения Ах* — Сул = 1 (169). 2. Гипербола, как геометрическое место точек (172). 3. Рввно-бочная гипербола (173). 4, Уравнение гиперболы с центром в заданной точке П7«).
§ 4. Функция, заданная неявно общим уравнением второй
степени......................; . . 174
1. Исследование уравнения второй степени в случае В = 0 (174). 2. йсследввание общего уравнения «торой степени. (179). 3. Определение типа кривой по ее уравнению (181). 4. Общая схема исследования уравнения .второй степени (183). 5. Равнобочная гипербола xy — k (184).
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга написана на основе лекций по курс) высшей математики, которые читались одним из авторОЕ в течение ряда лет в Криворожском горнорудном и в Воро нежском лесотехническом институтах.
Общеизвестно, что при изучении курса высшей математики учащийся встречает ряд трудностей. Особенно трудно усваивается первая часть математического анализа, содержащая теорию пределов и дифференциальное исчисление. Эти трудности, с одной стороны, объясняются обилием новых понятий и методов, с другой, по нашему мнению,— недостатками в построении курса. Главным из них мы считаем отсутствие ясности в том, что является основным объектом исследования. Создается впечатление, что наиболее важным является изучение логической взаимосвязи между различными новыми понятиями.
Мам кажется, что основное содержание любого курса определяется не общностью понятий и теорем, которые в нем вводятся, а запасам примеров и приложений, которые рассматриваются в самом курсе, на практических занятиях и в смежных курсах. Можно применять все более и более общий подход к изложению понятий числа, функции, предела и т. п., однако, если при этом не изменится круг задач, решаемых на лекциях, практических занятиях и в смежных курсах, то это только приведет к отрыву метода изложения от объекта исследования.
Авторы считают, что основным объектом исследовани» в курсе математического анализа во ВТУЗе являются функциональные зависимости между величинами, выражающиеся точно или приближенно с помощью элементарных функций. Те небольшие выходы за рамки класса элементарных функций, которые имеются в теории интегралов, рядов и диф-',
ПРЕДИСЛОВИЕ
ференциальных уравнений, еще больше подчеркивают основное содержание курса. Если подготовка инженера требует большего, то вводят такие дополнительные разделы или курсы, как «Специальные функции», «Аналитические функции» и т. п.
Точка зрения авторов отразилась в названии и содержании книги. В ней излагается не математический анализ вообще, а математический анализ элементарных функций.
Изучение математического анализа в ВУЗе осложняется тем, что выпускники средней школы имеют чрезвычайно скудный запас сведений об элементарных функциях. С целью пополнить этот запас в книгу введена большая 'глава «Элементарные функции», в которой приводится детальное исследование основных элементарных функций метода ми «школьной математики» (даже без использования бинома Ньютона). При этом рассматриваются уже все основные характеристики функций и их графиков, изучаемые в курсе анализа (область определения, участки возрастания и убывания, точки экстремума, участки выпуклости, и вогнутости графиков, точки перегиба, асимптоты и т. д.). Все свойства и соответствующие им понятия вводятся не «про запас», а по мере их обнаружения при изучении той или иной функции. В конце первой главы затрагивается вопрос о линеаризации простейших алгебраических функций. Линеаризации функции путем отбрасывания степеней малой величины выше первой" авторы придают важное значение, так как именно таким образом она производится большей частью в прикладных задачах.
Во второй главе изложены основы теории пределов. Вычисление наиболее важных пределов привязано к задаче о нахождении касательной к графикам основных элементарных функций. Так, число е вводится как основание показательной функции, угловой коэффициент касательной к графику которой в точке пересечения с осью ординат равен единице.
В третьей главе («Линеаризация элементарных функций») на базе вычисленных пределов получаются формулы для линеаризации основных элементарных функций вблизи нуля, а затем и для линеаризации вблизи любой точки. Производные получаются как коэффициенты при Дя в формулах линеаризации. Вывод всех формул для производных одно-
Цена: 200руб.
