Справочник содержит сведения по арифметике, алгебре я элементарным функциям, в том числе тригонометрическим планиметрии и стереометрии с указаниями о способах решения примеров и задач различных типов и степеней трудности; приведены исторические справки, список литературы и подробный предметный указатель.
Рассчитан на поступающих в высшие и средние учебные заведения; представляет интерес для преподавателей средних школ и учащихся старших классов.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Проекты учебных программ и планов для средней школы, составленные в 1968 г. с участием ведущих ученых нашей страны, широко обсуждались работниками народного просвещения и науки. В них предусмотрено дальнейшее серьезное повышение научно-теоретического уровня среднего образования.
В частности, повышение теоретического уровня курса математики, как указано в объяснительной записке к проекту новой программы, достигается преодолением разрыва между арифметикой и алгеброй» осуществлением строго научного подхода к изучению материала, усилением внимания к понятиям и методам, имеющим основное значение для естествознания и техники (метод координат, векторы, производная и интеграл).
Проект учебного плана предусматривает также сокращение нагрузки учащихся обязательными учебными занятиями, расширение самостоятельной работы учащихся, факультативных занятий и занятий по выбору. Не оставлены без внимания вопросы подготовки учащихся к дальнейшему самообразованию и образованию без отрыва от производства по окончании школы. Следовательно, возникает необходимость в расширении учебной и справочной литературы, которая наиболее полно соответствовала бы новым требованиям программы.
Часто о том или другом человеке говорят: «Он знает математику» или «он плохо знает математику» и рассматривается это как нечто установленное, застывшее. Возникает вопрос: что такое «знать математику»?
В математике, как и в другой точной науке, уровень знаний определяется двумя факторами.
Первый фактор — достаточно большое количество усвоенного и твердо запомнившегося материала: определений, формулировок теорем и свойств, формул и т. д. Усвоение фактического материала происходит в процессе упражнении, однако следует как можно быстрее добиваться его твердого запоминания, обеспечивая для памяти возможность дальнейшего постоянного обогащения. Не может быть и речи о каких-либо серьезных знаниях, если учащийся не запомнит той или иной формулы, а попытается «выводить» даже мелкие факты (например, выражение диагонали квадрата через его сторону, вычисление высоты и площади равностороннего треугольника по его стороне и т. д.).
Второй фактор, который тесно связан с первым и отнюдь не является достоянием только лишь талантливых от природы,— это достаточно глубокое развитие аналитических способностей и навыков, не-
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие.................. 3
1. АРИФМЕТИКА
Предмет арифметики................ 5
Целые неотрицательные числа
§ 1. Нумерация................. 6
§ 2. Арифметические действия ............ 9
§ 3. Свойства арифметических действий........ 11
§ 4. Изменение результатов действий в зависимости от изменения
данных................... 14
§ 5. Порядок действий, скобки......• \ • • • • .16
§ 6. Проверка арифметических действий........ 17
§ 7. Способы быстрых вычислений.......... . 18
§ 8. Делимость чисел............... 20
§ 9. Признаки делимости.............. 21
§ 10. Простые и составные числа............23
§ 11. Общие делители и кратные............ 25
§ 12. Недесятичные системы счисления......... 27
Дробные числа
§ 13. Обыкновенные дроби............. 31
§ 14. Изменение дроби с изменением ее членов.......33
§ 15. Преобразование дробей ............ 34
§ 16. Арифметические действия над обыкновенными дробями . . 35
§ 17. Основные типы задач на дроби........... 39
§ 18. Десятичные дроби............... 40
§ 19. Действия над десятичными дробями......... 42
§ 20. Периодические десятичные дроби.......... 43
§ 21. Проценты.................. 45
§ 22. Основные типы задач на проценты......... 46
§ 23. Приближенные вычисления . .......... 48
§ 24. Приближенные вычисления с помощью правил подсчета
цифр.................... 50
§ 25. Приближенные вычисления по способу границ..... 52
Величины и пропорции
§ 26. Измерение величины.............. 53
§ 27, Метрическая система мер...........! 54
S-28. Система СИ ................. 55
}'29. Исторические сведения о метрологии ........ 56
"3D. Именованные 'числа.............. 58
31. Отношение чисел............... 60
„ 32. Пропорции .....,.«»,....... 61
§ 33. Арифметические задачи............. 64
II. АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
Исторические сведения о развитии алгебры.......... 72
Рациональные числа и алгебраические выражения
§ 1. Рациональные числа.............. 76
6 2. Действия с рациональными числами ........ 77
3. Алгебраические выражения........... 79
4. Тождественные преобразования целых выражений .... 82
5. Действия над целыми алгебраическими выражениями . . 84
6. Формулы сокращенного умножения........ 88
7. Разложение многочленов на множители....... 90
8. Алгебраические дроби............. 92
; 9. Действия с алгебраическими дробями....... 94
Иррациональные числа и алгебраические выражения
10. Квадратные корни..............97
11. Иррациональные числа.............98
12. Действия над действительными числами.......101
13. Иррациональные выражения .'..........103
14. Действия с радикалами.............109
15. Степени с отрицательными, нулевыми и дробными показателями...................115
Уравнения в неравенства
| 16. Общие сведения об уравнениях...........119
| 17. Уравнения цервой степени............123
§ 18. Решение задач с помощью уравнений первой степени с одним
неизвестным.................126
§ 19. Системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными 128 § 20. Системы линейных уравнений с тремя неизвестными . . .134
§ 21. Решение задач с помощью системы уравнений.....138
§ 22. Квадратные уравнения.............140
23. Задачи на составление квадратных уравнений.....146
24. Иррациональные уравнения ..........149
25. Системы уравнений второй степени с двумя неизвестными . .153 ; 26. Задачи на составление систем уравнений.......157
27. Неравенства.................161
28. Неравенства первой степени...........167
§29. Неравенства второй степени и высших степеней . . ... • 1'1
Комплексные числа и уравнения высших степеней
§ 30. Комплексные числа .......... .... 175
§ 31. Тригонометрическая форма комплексного числа . . . . . 180
§ 32. Исторические сведения о комплексных числах . . . . . 183
§33. Уравнения высших степеней . . . . • ...» . • 184
Соединения, и бином Ньютона
§ 34. Соединения ... ......... ..... 192
§ 35. Решение примеров и задач на соединения ...... 196
§36. Бином Ньютона . . . . ........... 198
Элементарные функции и их свойства
§ 37. Функциональная зависимость величин ....... 202
§ 38. Свойства функций ............... 205
§ 39. Простейшие функции и их графики ....... .210
§ 40. Графические способы решения . уравнений и неравенств 245
Показатель н'а^я и логарифмическая
§ 41. Показательная функция ............ 217
§ 42. Логарифмы ................. 218
§ 43. Десятичные логарифмы ............ 223
§ 44. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства 225 § 45. Исторические сведения о логарифмах ........ 235
' Тригонометрическ и_е ф у н к"ц и и
§ 46. Исторические сведения ........ .... 236
§ 47. Обобщение понятия угла. Измерение дуг и углов .... 237
§ 48. Тригонометрические функции произвольного угла . . . 240 § 49. Основные тригонометрические тождества ...... . 245
§ 50. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометри-
ческих функций . . . . . . . . ..... . . 247'
§ 51. Формулы приведения ........... • . 248
§ 52. Четность и нечетность тригонометрических функций . . . 250 § 53. Формулы двойных и тройных углов (аргументов) .... 250
§ 54. Формулы половинного аргумента • ......... 252
§ 55. Формулы преобразования произведения тригонометрических
функций в сумму ..... . ......... 253
§ 56. Формулы преобразования суммы тригонометрических функ-
ций в произведения ....... ....... 255
§ 57. Формулы, выражающие тригонометрические функции через
тангенс половинного аргумента . . . . . . . . . . 258
§ 58. Преобразование тригонометрических выражений с помощью
введения вспомогательного аргумента ...... . . 258
§ 59. Тригонометрические функции абстрактного аргумента . . 259 § 60. Периодичность тригонометрических функций ..... 260
§ 61. График и некоторые свойства функции у = sm"x .' ,. . . 260 § 62. График и некоторые свойства функции у = cos ж . . . .263
§ 63. График и некоторые свойства функции у = tg x ..... 264
§ 64. График и некоторые свойства функции у = ctg ж . . . .265
§ 65. Простые гармонические колебания ........ 266
!ИК
Тригонометрические уравнения и неравенства
§ 66. Простейшие тригонометрические уравнения.....267
§ 67. О решении тригонометрических уравнений ...... 26S
§ 68. Методы решения тригонометрических уравнений с функциями
одного аргумента...............269
§ 69. Тригонометрические уравнения с функциями разных аргументов...................276
§ 70. Графические методы решения тригонометрических уравнений 279
§ 71. Системы тригонометрических уравнений.......280
§ 72. Тригонометрические неравенства..........282
§ 73. Обратные тригонометрические функции.......288
Функции натурального аргумента
§ 74. Числовые последовательности..........297
§ 75. Арифметическая прогрессия...........303
§ 76. Геометрическая прогрессия............305
§ 77. Метод математической индукции ..........308
IH. ГЕОМЕТРИЯ
ПЛАНИМЕТРИЯ
§ 1. Предмет геометрии. Краткие сведения о ее развитии . , ,311
§ 2. Основные понятия.............« . 312
§ 3. Действия с отрезками.............314
§ 4. Деление отрезка в заданном отношении.......317
§ 5. Деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Золотое
сечение...................317
§ 6. Гармоническая группа точек. Гармоническое разделение 318 § 7. Аксиоматика. Определения. Теоремы. Доказательства . .319
§ 8. Необходимые и достаточные условия........322
§ 9. Углы . . •................. 323
§ 10. Параллельные прямые . , , ,.........326
§11. Многоугольники ...,.».........328
§ 12. Треугольники......•........ . 331
§ 13. Соотношения между элементами треугольника.....333
§ 14. Признаки равенства треугольников......... 341
§ 15. Подобие треугольников и многоугольников ...... 342
§ 16. Понятие о площади и ее измерении .......... 348
§ 17. Площадь треугольника............. 349
§ 18. Сводная таблица частных случаев треугольников .... 354 § 19. Параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат .... 355
§ 20. Трапеция.................. 360
§ 21. Окружность и круг.............. 365
§ 22. Углы в круге................375
§ 23. Длина окружности. Площадь круга и его частей .... 378 § 24. Степень точки относительно данной окружности. Радикальная ось. Радикальный центр........... 384
§ 25. Вписанные и описанные многоугольники ....... 385
§ 26. Правильные многоугольники........., . 389
§ 27. Сводная таблица частных случаев четырехугольников . . .391
Геометрические задачи на построение 4 с помощью циркуля и линейки
§ 28. Простейшие задачи на построение......... 392
§ 29. Метод геометрических мест точек.........404
§ 30. Метод подобия................ 408
§ 31. Метод симметрии...............410
§ 32. Метод параллельного переноса..........413
§ 33. Метод инверсии............... 414
§ 34. Построение фигур, равновеликих данным.......417
§ 35. Алгебраический метод решения геометрических задач на
построение.................418
§ 36. Построение корней квадратного уравнения......420
§ 37. Геометрические задачи на неравенства........422
СТЕРЕОМЕТРИЯ .
Общие замечания.........
................ 425
Прямые и плоскости в пространстве
§ 38. Основные свойства плоскости........- . . . 425
§39. Взаимное расположение двух прямых в пространстве . . . 426
§ 40. Взаимное расположение прямой и плоскости......427
§ 41. 'Параллельные плоскости............432
§ 42. Двугранные углы и перпендикулярные плоскости .... 434
§ 43. Задачи на построение в стереометрии....., . . . 436
§ 44. Многогранные углы.............. 440
Многогранники
§ 45. Основные определения............. 443
§ 46. Призма и параллелепипед............443
§ 47. Объем призмы и параллелепипеда.........445
§ 48. Пирамида.................450
§ 49. Усеченная пирамида .............456
§ 50. Клин. Обелиск...............459
§ 51. Подобие многогранников........... . 460
§ 52. Правильные многогранники...........461
§ 53. Построение плоских сечений многогранников......464
Круглые т]е л а
§ 54. Цилиндр................. . 467
§ 55. Конус...................472
§ 56. Усеченный койус.............. . 476
§57. Конические сечения..............480
§ 58. Сфера и шар.................481
§ 59. Поверхность и объем шара и его частей........482
§ 60. Вписанный и описанный шары...........488
§61. Геометрические места точек и прямых в пространстве . . . 490
527
Применение тригонометрических функций к решению задач по геометрии
§ 62. Решение прямоугольных треугольников.......492
§ 63. Решение прямолинейных треугольников.......493
§ 64. Применение тригонометрических функций к решению плани-
" метрических задач..............600
§ 65. Применение тригонометрических функций к решению стереометрических задач...............504.
Литература....................510
Алфавитный указатель...............512
Цена: 200руб.
