Настоящая книга представляет собой плод многолетней коллективной работы школьного математического кружка при МГУ, работы, активное участие в которой принимали многие студенты и преподаватели Московского Университета, а также школьники — участники кружка. Установление авторства отдельных задач потребовало бы в настоящий момент совершенно непосильной исследовательской работы.
Составитель и редактор считан», однако, своим долгом выразить благодарность следующим Лицам, принявшим участие и составлении решений и указаний, а иногда и в выяснении смысла «темных» задачч подготовительных сборников:"Г. М. Адельсону-Вельскому, В. Л Арлазарову, 1 В. И. Арнольду, Д. Н. Бернштейну, И. Н. Бернштейну, 'Л. Hi Вассерштейну, А М Габриэлову, А. М. Леонто-вичу, С. В. Казакову, А. А. Кириллову, О. А. Котию, Ю И. Манину, 3. А. Скопецу, Е. И. Славутину, Г. В. Смирновой, А. Л. Тоому, Д. Б. Фуксу, А. X. Хованскому, М. В. Шейнбергу.
В Г. Болтянский, А. А. Леман
ШКОЛЬНЫЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЙ КРУЖОК ПРИ МГУ И МОСКОВСКИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОЛИМПИАДЫ*
Каждую весну в течение уже многих лет по Москве расклеиваются афиши, призывающие школьников посетить не театр или концертный зал, а скромные, строгие аудитории Московского Университета. Здесь, в этих аудиториях, умолкают звонкие детские голоса и в наступающей торжественной тишине начинается конкурс юных математиков — Московская математическая олимпиада.
Для всех учащихся, интересующихся математикой, олимпиада — это большой праздник. Работники механико-математического факультета МГУ буквально с ног сбиваются, отвечая на многочисленные вопросы волнующихся школьников и иногда не менее взволнованных учителей:
— Когда читаются лекции для участников олимпиады?
— Будут ли консультации?
— Могут ли в олимпиаде участвовать неотличники?
— Где можно достать тренировочные задачи и сколько их необходимо решить?
— Будет ли разрешено участие в олимпиаде школьнику, который учится только еще в VI классе?
— Можно ли приносить с собой учебники?
Поток вопросов, многие из которых могут поставить в тупик и дюжину академиков, нескончаем.
Подготовительные задачи, задачи самой олимпиады, а также факты, сообщаемые на консультациях и лекциях, представляют собой ценнейший материал, своеобразный математический фольклор, творцами которого являются студенты, аспиранты, профессора и преподаватели механика-математического факультета МГУ. Студенты-энтузиасты буквально прохода не дают старшекурсникам и преподавателям, предлагая свои задачи, яростно критикуя
*) В основу настоящего изложения положена статья, написанная авторами по заказу издательства «Volk und Wissen» (Берлин, ГДР).
ОГЛАВЛЕНИЕ
- В. Г. Болтянский, И. М. Яглом, Школьный математический кружок при МГУ и Московские математические
олимпиады ...... ................... 3
' - Литература .'н.....>.,.,......... 47
Часть первая
Подготовительные задачи ........ 51 .
, А. Алгебра
1. Доказательство тождеств............. . . 52
2. Суммирование конечных последовательностей . . , . . . 52
3. Доказательство неравенств............... 54
4. Решение уравнений и систем уравнений ........ 56
5. Исследование уравнений, систем уравнений и неравенств . 59
,* 6. Многочлены....................... 61
§ 7. Прогрессии...................... 65
!§ 8. Делимость чисел................... 66
§., 9. Задачи с целыми числами............... 71
§ 10. Разные задачи ......*..-..........,. 76
Б. Геометрия
§ 1. Задачи на вычисление.................. 82
§ 2. Отыскание точечных множеств.........'. . . . 83
§ 3. Задачи на доказательство. I. Прямые и многоугольники . 86
§ 4. Задачи на доказательство. II. Окружности ....... 93
§ 5. Задачи на построение L Многоугольники. Построения с
ограниченными возможностями.............. 95
§ 6. Задачи на построение. II Окружности ......... 100
§ 7, Прямые и плоскости в пространстве........•. . 101
§ 8. Многогранники .'..•................. 103
§; 9. Поверхности и тела вращения ............. 105
§ 10. Задачи на наибольшие и наименьшие значения . . . . . 106
§ 11. Разные задачи.................'..'.. 109
В. Смешанный отдел
Задачи комбинаторные, логические, задачи на клетчатой бумаге и другие задачи ... V..............'.•«.« Ш
Часть вто-рая.
Задачи московских олимпиад .-....... 122
Ответы и указания к решению подготовительных задач . 208
Решения олимпиадных задач.............. 298";
Цена: 200руб.
