В справочнике изложены методы решения основных типов аадач • примеров по алгебре в мементарвым функциям.
Каждый из разделов содержит теоретические положения, подробное решение соответствующих задач и примеров о методическим» ужваашимй. а также ДОд упражнений для -самостоятельной работы.
Второе издание дополнено главами об обратных тригонометрических функциях и пределах, а также сведениями о приближенных вычислениях, непрерывности функций и др.
Предназначен для желающих углубить знания по математике и для слушателей подготовительны! отделений вузов. Может быть полезен учащимся старших классов, преподавателям средних школ, а также поступающим в вузы.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Глубокие я прочные знания по математике можно приобрести лишь усвоив основной теоретический материал и решив достаточное количество упражнений на его применение. Важны четкая математическая постановка задач и примеров, обоснованность и полнота их решения, подтверждение правильности ответов.
Вниманию читателя предлагаются методы решения основных типов задач и примеров по алгебре и элементарным функциям. Излагаются краткие теоретические сведения по арифметике, алгебре и элементарным функциям, необходимые для решения задач элементарной математики. Некоторые из них приводятся с доказательствами и иллюстрируются примерами. Включена глава «Тригонометрические функции», в которой содержатся основные сведения по тригонометрии (за исключением применения тригонометрии к решению геометрических задач). Кроме подробно разбираемых в конце каждой главы предлагаются примеры и задачи для самостоятельной работы.. К ним даются ответы и иногда краткие указания. Однако при подготовке не следует ограничиваться решением только этих упражнений, так как данный справочник не заменяет сборников задач для средней школы и конкурсных задач для поступающих в вузы.
Во втором издании, как и в первом, изложение теоретического материала в основном соответствует существующей в настоящее время программе вступительных экзаменов по математике в вузы, а также программе, по которой будут обучаться учащиеся средних школ до 1977 года.
При подготовке второго издания книги были учтены замечания, присланные читателями, относительно дополнений и изложения, а также устранены замеченные опечатки. Добавлены две новые главы: 11, посвященная обратным тригонометрическим функциям, и 13, в которой рассмотрены пределы и непрерывность функций. Кроме того,
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие......................... 3
Глава 1. Действительные числа
§ 1. Натуральные числа.................. , 5
§ 2. Действия над натуральными числами.......... 5
§ 3. Делимость натуральных чисел............. 11
§ 4. Число нуль...................... 14
§ 5. Дробные числа..................... 15
§ 6. Действия над дробными числами............ 17
§ 7. Рациональные числа.................. 20
§ 8. Действия над рациональными числами.......... 22
§ 9. Десятичные дроби................... 24
§ 10. Проценты....................... 27
§11. Действительные числа..............• . . . 31
§ 12. Действия над действительными числами.......... 35
§ 13. Абсолютная величина (модуль) действительного числа. , 37
§ 14. Приближенные вычисления............... 39
Упражнения......................... 49
Глава 2. Тождественные преобразования рациональных выражений
§ 1. Понятие тождества и тождественного преобразования ... 52
§ 2. Целые рациональные выражения............. 55
§ 3. Разложение многочленов на множители......... 66
§ 4. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное
нескольких многочленов................. 69
§ 5. Дробные рациональные выражения............ 72
§ 6. Пропорции....................... 78
Упражнения........................ ~. 80
Глава 3. Тождественные преобразования иррациональных выражений
§ 1. Понятие корня и его основные свойства . . '....... 82
§ 2. Арифметический корень и его свойства.......... 83
§ 3. Основные правила действий над арифметическими корнями 86
§ 4. Действия над корнями в множестве действительных чисел 88 § 5. Вынесение множителя из-под знака корня и введение его
под знак корня ............... ...... 90
§ 6. Освобождение от иррациональности числителя или знаменателя дробного выражения................ 92
682
§ 7. Преобразование сложного квадратного корня (радикала) . . 97
§ 8. Тождественные преобразования иррациональных выражений 100
Упражнения.....................- ... 104
Глава 4.. Алгебраические уравнения
§ 1. Общие сведения об уравнениях............. 107
§ 2. Целые рациональные алгебраические уравнения с одним
неизвестным первой и второй степени.......... 114
§ 3. Уравнения высших степеней, решение которых приводится
к решению квадратных уравнений............ 126
§ 4. О делимости многочленов...... . ... ».»...•., . . - 135
§ 5. Некоторые свойства целых рациональных алгебраических
уравнений........................ 139
§ 6. Решение рациональных алгебраических уравнений с буквенными коэффициентами.................. 144
§ 7. Иррациональные уравнения................ N7
§8. Задачи на составление уравнений............. 157
Упражнения......................... 161
Глава 5. Системы алгебраических уравнений
§ 1. Системы линейных уравнений с двумя и тремя неизвестными 167 §2. Понятие об определителях второго н третьего порядка. . 174 § 3. Решение систем линейных уравнений с помощью определителей ........,.................... 180
§ 4. Исследование системы двух линейных уравнений- е двумя
неизвестными....................... 182
§ 5. Решение систем нелинейных алгебраических уравнений с
двумя неизвестными...................... 184
§ 6. Системы трех уравнений с тремя неизвестными ...... 205
§ 7. Задачи на составление систем уравнений.....f • • • 211
Упражнения . ........................ 214
Глава 6. Алгебраические неравенства
§ 1. Тождественные неравенства . . ............. 217
§ 2. Неравенства с одним неизвестным............ 232
§ 3. Решение рациональных неравенств с одним неизвестным. . 235 § 4. Системы рациональных неравенств с одним неизвестным. . 247 § 5. Неравенства с неизвестным под знаком абсолютной величины. Иррациональные неравенства........... . 252
§6. Исследование уравнений первой и второй степени с одним
неизвестным ....................... 259
§ 7. Исследование решений задач на составление уравнений . . 265
Упражнения.......................... 268
Глава 7. Начальные сведения о функциях
§ 1. Понятие функции, область определения и способы ее задания......................... 271
§ 2. Элементарные функции, их классификация и основные характеристики ...............•....... 277
§ 3. Степенная функция................, • • 289
§ 4. Линейная функция ...,....,.......* t • ^98
§ 5. Квадратичная функция................. 299
6:6. Дробно-линейная:функция . . .......... . . . . 306
§ 7. Преобразование графиков функций -. •............. 309
§-8. Графические способы решения уравнений, неравенств и их
систем......................... 316
§ 9: Системы неравенств с двумя переменными......•.. . 323
Упражнения. ......................... 340-
Глава 8. Числовые последовательности. Прогрессии.
§ 1. Понятие числовой последовательности .......... 344
2. Арифметическая прогр'ессия............... 347
3. Геометрическая прогрессия...............352
4. Метод математической индукции............. 357-
Б. Предел числовой последовательности . ........ ., 358
' $. Сумма членов бесконечной геометрической прогрессии ... 359 7. Обращение десятичных периодических дробей в обыкновенные......................... 362
Упражнения.........................364
: Г л а в а 9. Показательная и логарифмическая функции
1. Обобщение понятия степени.....,......... 366
2. Показательная функция................ . 371
3. Логарифмы и их свойства"............... 372
4. Логарифмическая функция, ее свойства и график .... 378
5. Десятичные логарифмы и их основные свойства . . . . . 380
6. Логарифмическая линейка........... 1 ... 381
7. Показательные и логарифмические уравнения ...... 383
8. Системы показательных и логарифмических уравнений . . 394
9. Показательные и логарифмические неравенства...... 397
10. Графическое решение уравнений, неравенств и их систем 400
/пражнения.................. . ... . . . 407
: Г л а в а 10. Тригонометрические функции
1. Обобщение понятия дуги и угла. Измерение дуг и углов. Общее определение дуги и угла............. . 412
2. Тригонометрические функции произвольного угла . . , . 41.5-.
3. Основные тригонометрические тождества....... .. .',. 423
4. Формулы сложения и вычитания аргументов тригонометрических функций................... . 425
5. Формулы приведения.................. 427
.6. Четность и нечетность тригонометрических функций . .... '429*
7. Формулы двойных и тройных углов (аргументов) . . .'. 429.
8. Формулы половинного аргумента............ 432
9. Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму.................... 433;.
§ 10. формулы преобразования суммы и разности тригоцометри- - ,'
ческих функций в произведение.............. 434-;,
§ 11. Формулы, выражающие тригонометрические функции через _'
тангенс половинного аргумента............. 436
§.12. Преобразование алгебраической суммы в произведение ... >
с прмощью введения вспомогательного аргумента ... . 437,
§ 13, Тригонометрические функции числового аргумента.... .... . 438/
§ 14. Периодичность тригонометрических функций ....... 439
684 -' ' • '
§ 13 Основные свойства и графики тригонометрических функций
§ 16. Простые .гармонические колебания............ 4L.
5 17. Тригонометрические уравнения............. 454
§ 18. Решение систем тригонометрических уравнений...... 475
§ 19. Тригонометрические неравенства............. 478
§ 20. Графическое решение уравнений, неравенств и их систем,
содержащих тригонометрические функции........ 482
Упражнения ...........................486
_ Глава 11. Обратные тригонометрические, функции
§ 1. Понятие обратной тригонометрической функции ...... 492
§ 2. Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики ..........................494
§ 3. Основные соотношения между обратными тригонометрическими функциями.................... 501
§ 4j Формулы сложения и вычитания обратных тригонометрических функций......................505
§ 5. Формулы удвоения обратных тригонометрических функций
и деления их на два .................. 515
§ 6. Тождественные преобразования с обратными тригонометрическими функциями...................517
§ 7. Уравнения и неравенства, содержащие обратные тригонометрические функции....................519
§ 8. Графические способы решения уравнений, неравенств и их систем, содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции.................522
Упражнения......................... 525
Глава 12. Соединения и бином Ньютона
J 1. Соединения (комбинаторика)............... 527
| 2. Бином Ньютона.....................533
Упражнения.........................540
, Глава 13. Пределы.
§ 1. Предел последовательности. Свойства бесконечных последовательностей................... 542
§ 2. Бесконечно малые и бесконечно большие последовательности и их свойства.....~. . ........... 544
§ 3. Основные свойства пределов. Признаки существования
пределов ..... .................. 547
, § 4. Понятие числового ряда. Сумма ряда. Необходимый приз- *
• нак сходимости. Основные свойства рядов........ 551
| 5. Суммирование некоторых конечных последовательностей 555
| 6. Суммирование рядов..........,....... 559
§ 7. Предел функции. Бесконечно малые и бесконечно большие
функции и их свойства................. 569
§ 8. Свойства пределов функции. Признаки существования предела функции..................... 565
§ 9. Два замечательных предела............... 569
§ 10. Натуральные логарифмы................ 572
§11. Сравнение бесконечно малых функций. Эквивалентные
бесконечно малые .функции............... 576
v 685
§ 12. Сравнение бесконечно блаьини функций. Эл&ааалентиые
бесконечно большие функции............... 579
§ 13. Непрерывность функции................ 582
§ 14. Основные свойства иеврерьшйлх функщш........ 583
§ 15. Точки разрыва................../• • • ^^4
§ 16. Ыеярерывносхь элементарны* фракций.......... 585
Уиражнения.......................... 587
Глава 14. Комплексные числа
§ 1. Понятие комплексного числа............... 590
§ 2. Действия над комплексными числами в алгебраической
форме ,........................ 591
§ 3. Геометрическое изображение комплексных чисел. Модуль
и аргумент «одалекенорэ числа.............. 596
§ 4. Тригонометрическая форма комплексного числе...... 599
§ 5. Действия над комплексными числами в тригонометрической
форме......................... 601
Упражнения.......................... 608
Глава 15. Уравнения высшвх степеней
§ 1. Целое алгебраическое уравнение с одним неизвестным и его
некоторые свойства......... .•......... 611
§ 2. Составление целого алгебраического уравнения по его корням. Теорема Виета....... „..•........... 614
§ 3. Двучленные и трехчленные уравнения . . . . . . ._. . . 621
Упражнения......................'. . . 624
Разные задачи........................ 626
Ответы и указания..................... 630
Приложения.................... .~. ... 649
Литература......................... 673
Алфавитный указатель.................... 676
Цена: 300руб.
