Математика

Физика

Химия

Биология

Техника и    технологии

Лекции и задачи по элементарной математике - В.Г. Болтянский Москва 1972 стр.590
Лекции и задачи по элементарной математике - В.Г. Болтянский Москва 1972 стр.590

Книга содержит теоретический материал и задачи по курсу элементарной математики. Теоретический материал включает изложение наиболее трудных вопросов школьного курса алгебры и элементарных функций. Особое внимание обращено на те разделы курса, которые недостаточно полно освещены в учебной литературе.
Значительная часть задач, содержащихся в книге, предлагалась на вступительных экзаменах в МФТИ. Многие задачи специально составлены авторами для этой книги. ,
Книга предназначена для учителей математики, студентов педвузов, университетов и особенно для старшеклассников, готовящихся в вузы.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ............................. 7
Глава 1. Необходимые и достаточные условия........ 9
§ 1. Высказывания...................... 9
§ 2. Отрицание........................ 11
§ 3. Неопределенные высказывания............. 12
§ 4. Знаки общности и существования........... 14
§ 5. Необходимые и достаточные условия......... 22
§ 6. Обратная и противоположная теоремы........ 27
§ 7. Конъюнкция и дизъюнкция............... 30
§ 8. Некоторые приемы доказательства .......... 33
Задачи к главе I ....................... 36
Глава II. Действительные числа................ 43
§ 1. Рациональные числа .................. 43
§ 2. Свойства множества рациональных чисел....... 46
§ 3. Примеры применения свойств рациональных чисел 48 § 4. Причины, заставляющие расширить множество рациональных чисел...................... 51
§ 5. Предел монотонной ограниченной последовательности 56
§ 6. Свойства множества действительных чисел ...... 59
§ 7. Абсолютная величина.................. 63
§ 8. Числовая ось и координаты.............. 65
§ 9. Некоторые числовые множества............ 68
Задачи к главе II ...........;.......... 73
Глава III. Неравенства..................... 76
§ 1. Определения........................ 76
§ 2. Основные свойства неравенств............. 78
§ 3. Некоторые часто встречающиеся неравенства .... 82
§ 4. Примеры......................... g5
§ 5. Два замечательных неравенства ...'!.'!.'!!.'.'.' 89
Задачи к главе III...................... 92
Глава IV. Комплексные числа................. 100
§ 1. Введение......................... юо
§ 2. Определение комплексного числа' ........... 102
§ 3. Свойства действий.................... Ю4
§ 4. Модуль комплексного числа. Комплексно сопряженные числа ........................ Ю8
S 5. Геометрическая интерпретация комплексного числа ПО
§ 6. Аргумент комплексного числа............. 112
§ 7. Тригонометрическая форма записи комплексного
числа..................... Г..... ПЗ
Задачи к главе IV........•.............. 118
Глава V. Квадратный трехчлен ................ 122
§ 1. Квадратный трехчлен и его корни .......... 122
§ 2. График квадратного трехчлена............ 127
§ 3. Исследование квадратного трехчлена......... 134
§ 4. Квадратные неравенства ................ 139
§ 5. Наибольшее и наименьшее значение квадратного
трехчлена......................... 142
Задачи к главе V ....................... 143
Глава VI. Многочлены и алгебраические уравнения..... 148
§ 1. Многочлен и его значения............... 148
§ 2. Действия над многочленами.............. 155
§ 3. Алгебраическое уравнение и его корни ........ 163
Задачи к главе VI...............]..„... 172
Глава VII. Функции и графики................... 176
§ 1. Определение функции.................. 176
§ 2. График функции..................... 182
§ 3. Ограниченность, монотонность, четность, нечетность,
периодичность...................... 187
§ 4. Композиция функций.................. 205
§ 5. Обратная функция..............•..... 209
§ 6. Обратные тригонометрические функции........ 218
§ 7. Линейные преобразования графика.......... 222
§ 8. Применение функций и графиков к решению уравнений и неравенств .................... 228
Задачи к главе VII...................... 236
Глава VIII. Степенная, показательная и логарифмическая функции ........................... 242
v ; § 1. Степень с натуральным показателем ......... 242
;§ 2. Степенная функция с натуральным показателем . . . 244
§ 3. Арифметический корень................. 247
§ 4. Степень с целым показателем.............. 249
§ 5. Степень с рациональным показателем......... 253
„ , § 6. Степень с действительным показателем........ 258
§ 7. Показательная и логарифмическая функции..... 260
§ 8. Свойства логарифмов .................. 263
Задачи к главе VIII..................... 266
Глава IX. Уравнения...................... 269
§ 1. Равенство, тождество, уравнение........... 269
§ 2. Потеря корней и появление посторонних корней при преобразовании уравнений. Равносильные уравнения. Уравнение, являющееся следствием данного. Дизъюнкция уравнений...................... 274
§ 3. Наиболее важные приемы преобразования и методы
решения уравнений................... 281
4
§ 4. Простейшие иррациональные уравнения....... 292
§ 5. Логарифмические и показательные уравнения .... 296
Задачи к главе IX...................... 305
Глава X. Системы уравнений ................. 309
§ 1. Равносильные системы уравнений. Система, являющаяся следствием данной................ 309
§ 2. Основные приемы и методы решения систем..... 312
§ 3. Однородные системы двух уравнений второй степени
с двумя неизвестными ..........•....... 320
§ 4. Системы симметрических алгебраических уравнений 323
Задачи к главе X....................... 330
Глава XI. Тригонометрические уравнения и системы уравнений . .-...................... 349
§ 1. Простейшие тригонометрические уравнения ..... 349
§ 2. Уравнения вида slnf(x) = a,f(smx)=0 и аналогичные им.......................... 352
§ 3. Уравнения, однородные относительно sin* и cos л; 357
§ 4. Введение вспомогательного угла............ 362
§ 5. Метод замены неизвестного................ 363
§ 6. Метод разложения на множители........... 370
4 7. Оценка левой и правой частей уравнения...... 374
§ 8. Системы тригонометрических уравнений ....... 377
Задачи к главе XI...................... 391
Глава XII. Задачи по планиметрии.............. 400
§ 1. Прямоугольный треугольник.............. 400
§ 2. Правильный треугольник................ 402
§ 3. Равнобедренный треугольник ............. 403
| 4. Произвольный треугольник............... 405
§ 5. Параллелограмм..................... 407
§ 6. Трапеция......................... 407
§ 7. Произвольный четырехугольник и многоугольник . . 409
§ 8. Окружность ....................... 410
Глава X1I1. Задачи по стереометрии............. 412
§ 1. Правильный тетраэдр ....".............. 412
§ 2. Правильная треугольная пирамида.......... 413
§ 3. Произвольная треугольная пирамида........ 415
§ 4. Правильная четырехугольная пирамида....... 417
§ 5. Произвольная четырехугольная пирамида и многоугольная пирамида................... 419
§ 6. Усеченная пирамида.................. 420
§ 7. Параллелепипед.................... 421
§ 8. Призма....................- -422
§ 9. Конус.......................... 423
§ 10. Усеченный конус, цилиндр и шар.......... 424
Ответы к задачам главы 1..................... 426
Ответы к задачам главы II.................... 429
Ответы к задачам главы IV.................... 430
Ответы к задачам главы V .................... 431
Ответы к задачам главы VI.................... 433
Ответы к задачам главы VII ................... 433
Ответы к задачам главы VIII................... 444
Ответы к задачам главы IX.................... 448
Ответы к задачам главы X .................... 449
Ответы к задачам главы XI.................... 455
Ответы к задачам главы XII ................... 464
Ответы к задачам главы XIII................... 466
Решения и указания к задачам главы 11 ............ 469
Решения и указания к задачам главы III............ 470
Решения и указания к задачам главы V ............ 477
Решения и указания к задачам главы VI............ 477
Решения и указания к задачам главы VII ........... 479
Решения и указания к задачам главы IX............ 480
Решения и указания к задачам главы X ............ 481
Решения и указания к задачам главы XI."........... 505
Решения и указания к задачам главы ХИ .-.......... 517
Решения и указания к задачам главы XIII........... 541
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателя книга предназначена для учащихся старших классов средней школы, для поступающих в вузы, для учителей и студентов пединститутов и университетов. Она содержит теоретический материал по некоторым разделам элементарной математики и задачи. Теоретический материал не охватывает всего школьного курса математики. Мы ограничились изложением некоторых разделов, которые недостаточно полно изложены в учебной литературе.
Некоторые разделы книги содержат теоретический материал, формально выходящий за рамки школьной программы по математике. Так, в гл. I рассказывается о простейших понятиях математической логики, в гл. II несколько полнее, чем это принято в школьных учебниках, излагается теория действительного числа, а в гл. VII, VIII глубже изучаются некоторые вопросы теории элементарных функций. Однако в действительности эти вопросы изучаются в школе (хотя, может быть, не так глубоко), и на приемных экзаменах в вузах требуется их ясное понимание. Например, учащиеся обязаны знать, что такое условие и заключение теоремы, в чем сущность метода доказательства от противного, должны уметь правильно формулировать обратные и противоположные теоремы, уметь делать правильные логические выводы. Поэтому гл. I, в которой эти вопросы подробно рассматриваются, фактически полностью соответствует школьной программе. Во всяком случае, поступающие в вузы с повышенными математическими требованиями и претендующие на оценку «отлично», должны хорошо разбираться в этом. То же можно сказать и по поводу остальных глав книги. Вместе с тем теоретический
7

Цена: 200руб.

Назад

Заказ

На главную страницу

Hosted by uCoz