Крамор В. С.
Задачи с параметрами и методы их решения / В. С. Крамор. — М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2007. — 416 с.: ил. — (Школьный курс математики).
ISBN 978-5-488-01066-6 (ООО «Издательство Оникс»)
ISBN 978-5-94666-362-5 (ООО «Издательство «Мир и Образование»)
Цель книги — научить школьников и абитуриентов вузов самостоятельно решать задачи с параметрами и помочь прочно усвоить различные методы их решения.
Пособие содержит около 350 типовых задач с методическими указаниями и 300 задач для самостоятельного решения и ответы к ним.
Книга может быть использована при подготовке к выпускным экзаменам в средней школе, к сдаче ЕГЭ и вступительным экзаменам в вуз.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Задачи с параметрами являются одними из наиболее трудных задач курса элементарной математики. Их решение по существу представляет собой исследование функций, входящих в условие задачи, и последующее решение уравнений или неравенств с числовыми коэффициентами. При решении уравнений (неравенств) с параметрами необходимо выяснить, при каких значениях параметра заданное уравнение (неравенство) имеет решение, и найти все эти решения. В том случае, когда хотя бы одно из допустимых значений параметра не исследовано, задание не считается полностью решенным.
В течение многих лет задачи е параметрами включаются в экзаменационные билеты по математике для абитуриентов высших учебных заведений, а в последние годы такие задачи предлагаются и при сдаче ЕГЭ.
Как правило, немногие абитуриенты могут решить подобные задачи, что приводит к снижению оценки за письменную работу, и часто именно из-за этого нехватает нужного количества баллов при зачислении в вуз.
Общеобразовательная школа по многим причинам не может научить своих учеников решать задачи с параметрами. Это очень трудный материал, требующий большого количества времени; кроме того, прежде чем приступать к решению подобных задач учащийся должен в совершенстве овладеть общим курсом математики.
Цель данной книги состоит в том, чтобы попытаться научить выпускников средней школы и абитуриентов вузов самостоятельно решать задачи с параметрами и прочно усвоить различные методы, применяющиеся в процессе их решения.
Весь учебный материал разбит на 18 тем, имеющих одну и ту же структуру. Каждая тема (за исключением тем 10 и 11) содержит: справочный материал; задачи с решениями; задачи для самостоятельного решения и ответы к ним. Кроме того., имеются два приложения: «Текстовые задачи на составление уравнений и неравенств» и «Разные задачи».
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие......................................... 3
Тема 1.............................................. 6
Справочный материал............................. 6
1. Натуральные числа........................... 6
2. Простые и составные числа.....................' 6
3. Обыкновенные дроби. Правильные и неправильные дроби...................................... 7
4. Множество целых чисел, множество рациональных чисел....................................... 7
5. Модуль числа................................ 7
6. Возведение рациональных чисел в степень
с натуральным показателем..................... 8
7. Свойства степени с натуральным показателем....... 8
8. Числовые выражения. Выражения с переменными. Тождественно равные выражения................ 9
9. Одночлены. Многочлены....................... 9
10. Формулы сокращенного умножения.............. 9
Задачи е решениями............................... 1°
Задачи для самостоятельного решения............... 12
Ответы..................:...-................. 12
Тем» 2.............................................. 13
Справочный материал............................. ^
1. Дробь...................................... 13
2. Целые и дробные выражения.................... 10
3. Понятие об иррациональном числе............... 1*
4. Числовые промежутки......................... J*
5. Корень Ь*Ъ степени из действительного числа....... >•*
«. рреобразованиа арифметических корней.......... 1°
7. Степе,н!> <; целым и дробным показателем........... 1°
410
Задачи с решениями............................... 16
Задачи для самостоятельного решения............... 19
Ответы........................................ 20
)Г«ма 3.............................................. 21
Справочный материал............................. 21
|,, 1. Уравнения с одной переменной.................. 21
|, 2. Понятие о равносильности уравнений............. 21
| 3. Свойства числовых равенств и теоремы
, ' о равносильности уравнений.................... 22
f-' 4. Линейное уравнение с одной переменной, содержащее
, параметр.................................... 22
р Задачи с решениями...........,................... 23
k Задачи для самостоятельного решения............... 32
* Ответы..........,........................... ..... 33
Фема4.............__........____...........;..... 34
Справочный материал............................. 34
1. Понятие функции............................. 34
>' 2. Монотонность функции........................ 34
3. Четные и нечетные функции . Л................. 35
. 4. Линейная функция и ее график.................. 36
1 5. Квадратичная функция и ее график.............. 36
?' 6. Функция у — - и ее график..................... 37
Задачи с решениями............................... 38
'•, Задачи для самостоятельного решения ............... 40
*> Ответы........................................ 41
ъ Ярема
5.............................................. 42
и, Справочный материал............................. 42
fa 1. Квадратные уравнения......................... 42
2. Теорема Виета............................... 43
3. Уравнения с несколькими переменными........... 43
4. Системы уравнений........................... 43
| Задачи с решениями ............................... 45
."; Задачи для самостоятельного решения................ 77
' Ответы........................................ 79
Тема в.............................................. 81
Справочный материал............................. 81
1. Неравенства................................. 81
2. Основные свойства неравенств................... 81
3. Действия с неравенствами...................... 82
4. Решение линейных и квадратных неравенств....... 83
Задачи с решениями................................ 84
Задачи, для самостоятельного решения............... 113
Ответы........................................ 114
Тема 7...................................,.......... 115
Справочный материал............................. 115
1. Системы и совокупности неравенств.............. 115
2. Решение рациональных неравенств методом промежутков................................' 116
Задачи с решениями ............................... 117
Задачи для самостоятельного решения................ 144
Ответы..........,..........................'... 146
Тема 8............................................... 147
> Справочный материал............................. 147
1. Применение теоремы Виета к определению знаков корней Квадратного трехчлена................... 147
2. Расположение корней квадратного трехчлена....... 148
Задачи с решениями............................... 152
Задачи для самостоятельного решения............... 167
Ответы.......................---............. 168
Тема 9.............................................. 169
Справочный материал :............................ 169
.1. Числовая последовательность................... 169
2. Арифметическая прогрессия.................... 169
3". Геометрическая прогрессия..................... 170
4. Сумма бесконечной геометрической прогрессии
при|gi< 1.............:...................... 171
Задачи с решениями...........*................... 172
Задачи для самостоятельного решения............... 174
Ответы........................................ 175
412
ема 10.............................................. 176
Справочный материал............................. 176
1. Градусное и радианное измерение угловых величин .. 176
2. Тригонометрические функции числового аргумента.. 177 . 3. Основные тригонометрические тождества.......... 179
4. Формулы приведения.......................... 179
5. Формулы сложения........................... 180
6. Формулы двойного аргумента................... 181
7. Преобразование произведения тригонометрических функций в сумму............................. 181
8. Формулы суммы н разности одноименных тригонометрических функций................... 182
9. Тригонометрические функции половинного
аргумента................................... 182
10. выражение тригонометрических функций через
тангенс половинного аргумента.................. 183
Тема 11............................................. 184
Справочный материал............................. 184
1. Функция у = sin х............................. 184
2. Функция у = cos x............................. 185
3. Функция у = tg x............................. 186
4. Функция у = ctg x............................ 186
5. Нахождение периодов тригонометрических функций. 187
6. Обратная функция............................ 187
7. Функция у = arcsin x.......................... 189
8. Функция у - arccos x.......................... 190
9. Функция у - arctg x........................... 191
10. Функция у = arcctg *.......................... 192
11. Некоторые соотношения для обратных тригонометрических функций................... 193
Тема 12...................................___...... 195
Справочный материал............................. 195
1. Решение тригонометрических уравнений вида
sin x = а.................................... 195
2. Решение тригонометрических уравнений вида
cos x = а..................................... 195
3. Решение тригонометрических уравнений вида
tg x - а..................................... 196
4. Решение однородных тригонометрических
уравнений................................... 196
5. Решение систем тригонометрических уравнений .... 197
Задачи с решениями........,...................... 198
Задачи для самостоятельного решения............... 225
Ответы........................................ 226
Тема 13.
227
Справочный материал............................. 227
1. Решение тригонометрических неравенств вида
sin x> a., sin х < а....................,.......... 227
2. Решение тригонометрических неравенств вида
• cos х> о, cos х < а............................. 228
3. Решение тригонометрических неравенств вида
tg x> a, tg х < а.............................. 228
Задачи с решениями............................... 229
Задачи для самостоятельного решения............... 240
Ответы........................................ 240
Тема 14............................................. 242
Справочный материал............................. 242
1. Приращение аргумента и приращение функции..... 242
2. Определение производной...................... 243
3. Производная суммы, произведения, частного....... 244
4. Производная степенной и сложной функции. ....... 245
5. Производные тригонометрических функций........ 245
6. Применение производной к нахождению промежутков монотонности функции............. 246
7. Критические точки функции, ее максимумы
и минимумы................................. 247
8. Общая схема исследования функции.............. 249
9. Задачи на отыскание наименьшего и наибольшего значений функции..............'.............. 249
10. Касательная к графику функции................. 250
Задачи с решениями............................... 250
Задачи для самостоятельного решения............... 270
Ответы........................................ 271
Тема 15..:---...................................... 272
Справочный материал............................. 272
1. Потерянные и посторонние корни при решении уравнений................................... 272
2. Решение иррациональных уравнений, посторонние корни иррационального уравнения............... 273
3. Иррациональные неравенства................... 274
414
Задачи с решениями............................... 275
Задачи для самостоятельного решения............... 297
Ответы........................................ 298
16............................................. 299
','" Справочный материал............................. 299
1. Показательная функция и ее свойства............. 299
2. Показательные уравнения...................... 300
3. Показательные неравенства..................... 300
4. Системы показательных уравнений и неравенств .... 300
Задачи с решениями............................... 300
Задачи для самостоятельного решения............... 316
Ответы........................................ 317
Тема 17 ............................................. 318
Справочный материал . . ^ .............. . ........... 318
1. Понятие логарифма ........................... 318
2. Свойства логарифмов ................... ..... . . 318
3. Логарифмическая функция, ее свойства и график . . . 319
4. Теоремы о логарифме произведения, частного
и степени. Формула перехода к новому основанию . . . 320
5. Логарифмирование и потенцирование .......... ... 321
: 6. Логарифмические уравнения). ................... 321
7. Логарифмические неравенства ................... 322
8. Производные логарифмической и показательной функций. Число е ...................... . ...... 322
Задачи с решениями ......... ...................... 323
Задачи для самостоятельного решения . . . . ......... . . 350
Ответы ......................... . ............... 352
18 .... ........................... . ............. 353
Справочный материал . . ........................... 353
1. Понятие первообразной функции. . . ...... . ....... 353
2. Основное свойство первообразной функции ......... 354
3. Криволинейная трапеция и ее площадь ........... . 355
4. Формула Ньютона — Лейбница ............ .- ...... 355
5. Основные правила интегрирования ............... 356
6. Вычисление площадей с помощью интеграла ....... 356
Задачи с решениями ...................... . ........ 358
Задачи для самостоятельного решения ........... .... 366
Ответы ........................................ 367
415
Приложение 1
Текстовые задачи на составление уравнений и неравенств
с параметрами....................................... 368
Задачи е решениями............................... 368
Задачи для самостоятельного решения............... 375
Ответы.......--............................. 376
Приложение 2
Разные задачи....................................... 378
Задачи с решениями............................... 378
Задачи для самостоятельного решения............... 402
Ответы........................................ 404
Список обозначений................................... 406
Использованная литература............................. 408
Цена: 200руб.
