ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
В 1957 году предлагаемая книга была издана как пробный учебник небольшим тиражом и проверена в VIII и IX классах нескольких школ, а также была рассмотрена и обсуждена многими учителями и методистами. Получив большое число критических замечаний и пожеланий, авторы внесли в книгу ряд изменений и выпускают ее в качестве пособия для учителей математики.
Признавая справедливыми указания на перегрузку главы I («Степени и корни») теоретическим материалом, авторы существенно переделали главы 1 и II, распределив их содержание на три главы: теперь в главе I рассматривается извлечение квадратного корня и решение квадратного уравнения, в главе II—степени и корни, в главе III завершается изучение квадратных уравнений и уравнений, к ним приводимых. Небольшие изменения и исправления внесены также и в последующие главы, кроме тех, которые предназначены для изучения в X классе, где проверка учебника пока не проводилась.
В книгу включены некоторые вопросы, непосредственно не связанные с программным материалом и необязательные для изучения, но имеющие характер дополнений к программе. Все они набраны мелким шрифтом. Они предназначаются для учащихся, особо интересующихся математикой, и могут быть использованы для внеклассной работы.
Специально о неравенствах трактует глава XII учебника, но авторы считали возможным широко пользоваться во всех предшествующих главах простейшими предложениями о неравенствах, знакомыми учащимся из курса VII класса.
Большое внимание авторы уделяли вопросам техники вычислений, учи тывая то значение, которое имеют в нашей школе( практические применения математики. В конце книги, в качестве приложения, помещены краткие сведения о технике приближенных вычислений. К этому приложению можно обращаться для справок по мере надобности.
Главы: «Степени и корни», «Показательная и логарифмическая функции», «Логарифмы», «Счётная логарифмическая линейка» — написал В. М. Бра-
3
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ко второму изданию................... 3
Глава I. Квадраты, квадратные корни, квадратные уравнения
§ 1. Возведение в квадрат чисел и одночленов............ 5
§ 2. Таблица квадратов чисел..................... 7
§ 3. О погрешности квадрата приближённого значения величины .... 8
§ 4. Квадрат многочлена. .4.................... 9
§ 5. Квадратный корень...................... . —
§ • 6. Извлечение квадратного корня из точного квадрата, меньшего
10000 ....;.,...................... 10
§ 7. Извлечение квадратного корня с точностью до 1-из натурального
числа, меньшего 10000..................... 13
§ 8. Извлечение квадратного корня с точностью до 1 из произвольного-натурального числа....................... 14
§ 9. Извлечение квадратного корня с точностью до 1 : 10"..... 15
§ 10. Таблица квадратных корней................... 17
§ 11. О погрешности квадратного корня из приближённого значения числа 18
§ 12. Квадратные уравнения...................... —
§ 13. Неполные квадратные уравнения вида axz + c — Q........ 19
§ 14. Неполные квадратные уравнения вида ах* + Ьх = 0....... 21
§ 15. Решение полного квадратного уравнения разложением левой части
на множители.......................... 22
§ 16. Вывод формулы для корней квадратного уравнения приведённого
вида.............................. 24
§ 17. Примеры решения задач, приводящих к квадратным уравнениям . 26
Глава II. Степени и корни
А. Понятие об иррациональном числе. Действительные числа
§ 18. Рациональные числа и их десятичные разложения........ 29
§ 19. Десятичное разложение квадратного корня из положительного рационального числа...................... 30
§ 20. Иррациональные числа. Действительные числа.......... 32
§ 21. Действительное положительное число как мера длины отрезка . . 33
§ 22. Сравнение действительных чисел'............... . 35
§ 23. Сложение, вычитание, умножение и деление действительных чисел 36
Б. Степени с целыми показателями
§ 24. Возведение в степень с натуральным показателем........ 37
§ 25. Таблицы степеней чисел..................... 38
§ 26. Правила действий над степенями одного основания ........ —
§ 27. Степень произведения и частного. Степень степени ....... 39
345
§ .28. Возрастание степени с положительным основанием при возрастании основания ......................... 40
§ 29. Степень с показателем нуль ................... 41
§ 30. Степень с целым отрицательным показателем.......... —
§ 31. Обобщение правил действий над степенями ............ 43
§ 32. Таблица обратных чисел . . . .'................ —
В. Корни степени п и степени с дробными показателями
§ 33. Определение корня с произвольным натуральным показателем . . 44
§ 34. Некоторые свойства корня..................... 45
§ 35. Арифметическое значение корня..............; . , . 48
§ 36. Приближённое значение корня степени п ............. —
§ 37. Умножение или деление показателя корня и показателя степени
подкоренного выражения на одно и то же число . . ,...... 49
§ 38. Степень с дробным показателем............... . 51
§ 39. Действия над степенями с дробными показателями . . . . . . . 52
§ 40. Непосредственное выполнение действий над радикалами . ... . 55
§41. Приведение радикалов к простейшему виду. Подобные радикалы, . 57 § 42. Освобождение от иррациональности знаменателя или числителя
дробного выражения....................• . . 59
§ 43. Исторические сведения..................... 60
Глава III. Квадратные уравнения (продолжение) и уравнения, приводимые к квадратным
§44. Вывод формулы для корней квадратного уравнения общего вида . . , 62
§45. Выбор формулы для решения квадратного уравнения . ...... 64
§ 46., Примеры упрощённого решения квадратных уравнений ...... 65
§ 47. Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения
приведённого вида............ , , . . . . ..... —
§ 48. Связь между корнями и коэффициентами квадратного уравнения
общего вида. . . . * ........... . . . . .... . . . .66
§ 49. Примеры применения свойств корней квадратного уравнения . . . 67
§ 50. Квадратный трёхчлен и разложение его на множители . '.. . . . . 68
§ 51. Дискриминант квадратного уравнения. Исследование корней . . . 70 § 52. Примеры исследования корней квадратных уравнений с буквенными коэффициентами.................. ..,..,..,..',,. 72
§ 53. Задачи с буквенными данными, приводящие к квадратным уравнениям . ... . , . , ... . . . ."- ... . . ... . ... . - - 73,
§ 54. Биквадратные уравнения . , . . . . .. , : . . . . . .'.. ... 75;
§ 35. Иррациональные уравнения, приводящиеся к линейным и квадрат- :
ным уравнениям........................ 76
§ 56. Случаи потери корней и появления посторонних корней ..... 78
§ 57, Исторические сведения ...,. . . . ............ . . 80
ь -
Глава IV. Функции и графики
§ 58. Постоянные и переменные величины .... .... . . ... . . 81.;
§ 59. Понятие функции ........ •'. . .............. 82
§60. Допустимые значения аргумента. ..'............ . - '83
§ 61. Способы заданий функции.................... 84
§62. График функция ........ ...... .... ... . ; . 86
§ 63. Линейная функция ....;.................. 89
• § 64. График функции у *= Ыс . •: . . . .'.'•".' . . ........... 90
§ 65.' График линейной функции у = kx + Ь. . ............ ;.92,
§ 66. Константа как частный случай линейной функции ... . . . . . 94
§ 67. Некоторые свойства линейной функции .... ........ —.
§ 68. Квадратный трёхчлен. График функции у **х*. . . .-..,.. • • . • 96
346
шк функции у я» ах*, (а 4- 0)..
§ 69. Tpacj
§ 70. График функции у = ах* + с ................. 99
71. Граоик функции у = а(х — т)3, афй ........... . 100
72. Граоик функции у = ах*'+ Ьх + с . . ............J^. 102
73. Графическое решение квадратного уравнения..........105
74. Случай, когда квадратное уравнение не Имеет корней...... 106
75. Исторические сведения.................... 107
Глава V. Системы уравнений второй степени
§ 76. Примеры и определения.................... 108
§ 77. Система уравнений, содержащая одно уравнение второй степени
и одно — первой степени.................... 109:
| 78. Системы двух уравнений второй степени............ ПО
§ 79. Системы вида: х± у=*а-, ху = Ъ ................ 111
§ 80. Графическое решение системы: х + у «= а, ху =>*» Ь . . . . . . . 113
§ 81. Системы вида: х* + if =• а, *±у— ft............. 114
§ 82. Система вида: х*+ У2 = а, ху*=Ь............... 116
§ 83. Подстановка y**tx...................... 118
Глава VI. Пределы
$ 84. Процессы изменения переменных. Понятие последовательности . 120
§ 85. Два типа изменения переменных в данном процессе....... 122
§ 86. Понятие предела................... . • . . 125
§ 87. Признак Вейерштрасса..................... 129
| 88. Теоремы о пределе суммы, разности, произведения и частного . . 130
§ 89. Примеры. Единственность предела............... 133
Глава VII. Прогрессии
90. Понятие арифметической прогрессии.............. 136
91. Формула для общего члена арифметической прогрессии ..... 138
92. Некоторые свойства членов арифметической прогрессии..... 140
93. Сумма п членов арифметической прогрессии.......... 141
94. Понятие геометрической прогрессии.............. 142
95. Формула для общего'члена геометрической прогрессии ..... 143
96. Некоторые примеры геометрических прогрессий . ........ 145
97. Сумма п членов геометрической прогрессии........... 146
98. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия...... . 148
99. Обращение десятичных периодических дробей в обыкновенные . . 150
100. Сумма квадратов п первых натуральных чисел......... 152
101. Исторические сведения..................... —
Глава VIII. Показательная и логарифмическая функции А. Показательная функция
§ 102. Понятие о степени с иррациональным показателем ....... 154
§ 103. Определение показательной функции.............. 155
§ 104. Показательная функция (/= 10я. Таблица её значений и график . 157
§ 105. Свойства показательной функции у = а* при а>1....... 159
§ 106. Свойства показательной функции у — а* при а < 1....... 160
§ 107. Сравнение функций показательной и степенной......... —
Б. Логарифмическая функция ~"~* * ">
С 108. Понятие о функции, обратной для данной........... 161
| 109. Логарифмическая функция как обратная показательной..... 165
§ 110. Некоторые свойства логарифмической функции' по основанию 10. 166
§111. Логарифмическая функция -по произвольному основанию . . . . 167
347
Глава IX. Логарифмы
§ 112. Определение логарифма.................... 169
§ 113, Общие свойства логарифмов.................. 170
§ 114. Значение логарифмов для вычислений............. 171
§ 115. Особые свойства десятичных логарифмов..........., 172
§ 116. Таблица двузначных мантисс десятичных логарифмов...... 174
§ 117. Один из способов вычисления десятичных логарифмов ...... 175
§ 118. Таблица четырёхзначных логарифмов.............. —
§ 119. Таблица антилогарифмов................... • 178
§ 120. Логарифмирование алгебраических выражений......... 179
§ 121. Потенцирование выражений, содержащих логарифмы...... 180
§ 122. Вычисление значений выражений, не содержащих сумм или разностей............................. 181
§ 123. Действия над логарифмами с отрицательными характеристиками . 182 § 124. Вычисление значений выражений, содержащих суммы или разности ............................. 185
§ 125. Точность результатов, доставляемых логарифмическими вычислениями............................. 186
§ 126. Показательные уравнения................... 187
§ 127. Логарифмические уравнения.................. 188
§ 128. Исторические сведения..................... 191
Глава X. Счётная логарифмическая линейка
§ 129. Графическое сложение и вычитание............... 193
§ 130. Логарифмическая шкала. Логарифмическая линейка как пара логарифмических шкал....................... 194
§ 131. Нормальная счётная линейка . . \, ............... 197
§ 132. IJ?iJi делений, чтение и установка меток............ 198
§ 133. Возведение в квадрат и извлечение квадратного корня . . . . . 199
§ 134. Возведение в куб и извлечение кубического корня . ...... 201
§ 135. Периодичность логарифмической шкалы............. 202
§ 136. Вычисление произведения двух и более чисел.......... 204
§ 137. Вычисление частного...................... 205
§ 138. Совместное умножение и деление................ 206
) § 139. Понятие о некоторых других вычислениях, выполняемых посредством счётной линейки...................... 207
§ 140. Исторические сведения...................... 208
• Глава XI. Функции и их исследование. Производная
А. Функции в графики
§ 141. Общие обозначения функций.................. 209
§ 142. Исследование функции по её графику.............. 211
143. Исследование функции без помощи графика........... 215
144. Примеры графического решения уравнений........... 219
,! -
' Б. Предел функции. Понятие о производной
'§ 145. Понятие предела функции................... 223
v§ 146. Понятие касательной к кривой................. 225
§ 147. Общий способ построения касательных............. 228
§ 148. Понятие скорости в данный момент времени.......... 230
§ 149. Операция дифференцирования и производная . •......... 233
§ 150. Применение производной к построению касательных....... 236
§ 151. Применение производной к вычислению скорости и ускорения . .237
§ 152. Производная как мера быстроты изменения функции ...... 239
В. Таблица производных
§ 153. Производные от константы и от аргумента ............ 240
§ 154. Производная от степени аргумента ............... 241
§ 155. Вынесение постоянного множителя за знак производной . . . ~. . 242 § 156. Производная от суммы функций. Производная от целой рацио-
нальной функции ....... ................ 244
§ 157. Производная от произведения функций ............. 246
§ 158. Математическая индукция . ........... . ....... 248
§ 159. Производная от степени функции ........ ....... 250
§ 160. Бином Ньютона ................ • • • ..... 253
§ 161. Производная от частного функций .......... ..... 255
§ 162. lim -^p ....... ........ . ...... ; . . 256
х - о х
§ 163. Производные от sin х и cos х .............. • • • • 259
§ 164. Скорость и ускорение гармонического колебания. Математический
маятник ..... ........ ......... • ..... 260
Г. Возрастание и убывание функции. Наибольшее и наименьшее значения функции
§ 165. Связь между возрастанием или убыванием функции и знаком её
производной .................... ...... 262
§ 166. Необходимые условия возрастания и убывания функции ..... 264
§ 167. Достаточные условия возрастания и убывания функции ..... 265
§ 168. Приближённое вычисление sin* и cos* . ... ..... • . . . 267
§ 169. Максимум и минимум ..................... 269
§ 170. Примеры ............ ........ ..... . . 271
§ 171. Нахождение наибольшего и наименьшего значений функции ... 272
§ 172. Исследование квадратного. трёхчлена ахг + Ьх + с, (а > 0) . . . . 277
§ 173. Исследование квадратного трёхчлена ах* + Ьх + с, (о < 0) . . . . 279
§ 174. Пример исследования целой рациональной функции третьей сте-
пени . . . ..... ........ ........ ...... 280
§ 175. Исторические сведения . ... ............... . . —
Глава XII. Исследование уравнений
§ 176. Теоремы о равносильности уравнений ............. 283
^ 177. Исследование уравнения ад; -f А = 0 . . ........ ':...'• • .286
$ 178. Равносильность систем двух уравнений первой степени с двумя
неизвестными .............. .... -~. . . . . .289
§ 179. Исследование системы двух уравнений первой степени с двумя
неизвестными . . . . . ........ ............ 290
Глава XIII. Неравенства
§ 180. Основные свойства неравенств . ......... ....... 295
§ 181. Доказательство неравенств ................. . . 298
§ 182. Равносильность неравенств .......... ......... 300
§ 183. Решение неравенств с одним неизвестным ............ 302
§ 184. Решение систем неравенств первой степени с одним неизвестным 304
§ 185. Примеры решения систем неравенств .............. 306
§ 186. Решение квадратных неравенств ......... .- ...... 309
§ 187. Исследование решения задач . . . . ...... ........ 312"
Глава XIV. Комплексные числа
§ 188. Расширение понятия числа ................. • . 316
§ 189. Действительные числа как векторы на прямой .... ..... 317
349
§ 190. Векторы на плоскости как изображения .комплексных чисел. Сложение комплексных чисел................... 319
| 19J. Модуль и аргумент. Умножение комплексных чисел....... 321
§ 192. Вычитание и деление комплексных чисел............ 325
§ 193. Извлечение квадратного корня на отрицательного числа, Мнимая единица.......................... 327
! 194. Алгебраическая форма комплексного числа ....,..,,.. 328 195. Действия над комплексными числами, представленными I алгебраической форме. Сопряжённые числа.............• • 330
I 196. Применение комплексных чисел к решению квадратных уравнений 333
с 197. Двучленные уравнения................., . , . 334
| 198. Тригонометрическая форма комплексных чисел. Формула Муавра 336
§ 199. Исторические сведения..................... 338
Приложение 1. Расчёты с приближёнными значениями величин. , 340
Приложение 2. Таблица производных.............. 344
Цена: 200руб.
