АННОТАЦИЯ
В связи с широким развитием <машинной математики» математиков все больше начинают интересовать вопросы дискретной математики, т. е. математики, не связанной с понятием предельного перехода. В книге дается элементарное введение в эту область, вполне доступное студентам младших курсов как математических, так и технических или гуманитарных специальностей. В ней излагаются некоторые вопросы математической логики, «дискретной» теории вероятностей, матричного исчисления, теории игр, математической экономики и др. Изложение сопровождается большим числом примеров и задач для упражнений.
Книга написана очень живо и увлекательно и с успехом может быть использована лицами различных специальностей, желающими ознакомиться с этим важным разделом современной математики. Немало новых и интересных постановок задач, нового освещения известных и малоизвестных вопросов найдут в ней и специалисты-математики.
ОТ РЕДАКТОРА РУССКОГО ИЗДАНИЯ
Возникшие в последние два десятилетия новые пути приложения математики, связанные с комплексом идей и методов, ныне объединяемых собирательным термином «кибернетика», повлекли за собой глубокие изменения в самой математической науке. Они не только вызвали к жизни новые большие направления теоретической математики (из которых иные, такие, как теория игр или теория информации, заняли уже положение самостоятельных математических наук), но и способствовали изменению установившихся взглядов на ранее сложившиеся разделы. Наиболее существенным здесь является, по-видимому, то, что разделы математики, не связанные с представлением о бесконечных множествах, пределах и непрерывности, представляются нам теперь гораздо более содержательными и важными, чем это думали математики XIX века или первой половины XX века. Если, начиная с XVII века, главенствующее положение в математике занимало изучение (гладких) функций непрерывно меняющегося аргумента, являющееся основой всех приложений математики к физике и к технике, то сегодня можно говорить о возрождении интереса к так сказать «до-ньютоновской» или «конечной» математике, оперГОШкщвя Лишь с конечными множествами; при этом возникли Йэршинявяходы к этой ветви математики, идущие в основном от т&в&еа&апеской логики.
Этот поворот в науке связан в первую очередь с появлением универсальных электронных цифровых вычислительных машин, уже сегодня играющих колоссальную роль и в науке, и в народном хозяйстве. Прилагательное «цифровая» в названии этих машин подчеркивает принципиально дискретный, «конечный» их характер, связанный со специфическими особенностями используемых в них электронных устройств. В свою очередь именно эти особенности машин обеспечивают и их «универсальность», родственную универсальности любой числовой системы,
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора русского издания.................... 5
Предисловие............................. 11
ГЛАВА I. СОСТАВНЫЕ ВЫСКАЗЫВАНИЯ...................... 15
§ 1. Цель теории.......................... 15
§ 2. Простейшие связки...................... 19
§ 3. Другие связки......................... 24
§ 4*. Высказывания с заданными таблицами истинности........ 29
§ 5. Логические возможности.................... 33
§ 6. Деревья логических возможностей............... 42
§ 7. Логические отношения..................... 48
§ 8*. Систематический анализ логических отношений......... 52
§ 9. Варианты импликации.....'................ 57
§ 10. Правильные аргументы..................... 60
•§ И*. Косвенный метод доказательства................ 65
§ 12*. Применения к переключательным схемам............ 67
Литература для дополнительного чтения ............... 72
ГЛАВА II. МНОЖЕСТВА И ПОДМНОЖЕСТВА................... 73
§ 1. Введение........................... 73
§ 2. Операции над подмножествами................. 78
§ 3. Соотношение между множествами и составными высказываниями об
§ 4*. Абстрактные законы операций над множествами........ °°
§ 5*. Предикаты........................... 9?
§ 6. Функции............................ ^
§ 7. Числовые функции.......................
§ 8*. Базис пространства логических возможностей..........
§ 9*. Кванторы............................ 1™
§ 10. Двоичные числовые системы..................
Оглавление 485
§ 11*. Голосующие коалиции..................... 120
Литература для дополнительного чтения ............... 123
ГЛАВА III. РАЗБИЕНИЯ И СОЧЕТАНИЯ...................... 124
§ 1. Разбиения........................... 124
§ 2*. Приложения.......................... 128
§ 3. Число элементов множества.................. 132
§ 4. Перестановки......................... 137
§ 5. Число упорядоченных разбиений................ 142
§ 6. Некоторые свойства чисел ( . 1................ 148
§ 7. Биномиальная и полиномиальная теоремы............ 154
§ 8*. Вес при голосовании ...................... 158
Литература для дополнительного чтения................ 161
ГЛАВА IV. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ........................ 162
§ 1. Введение........................... 162
§ 2. Свойства вероятностной меры................. 166
§ 3. Симметричная мера...................... 171
§ 4*. Два примера, не подкрепляемых интуицией........... 176
§ 5. Условная вероятность..................... 181
§ 6*. Меры как площади...................... 190
§ 7. Конечные стохастические процессы. Деревья, веса путей и веса
ветвей............................ 197
§ 8. Три типа стохастических процессов.............. 209
§ 9. Независимые испытания с двумя исходами........... 216
§ 10. Биномиальная мера и ее пуассоновская аппроксимация..... 220
§ 11. Закон больших чисел..................... 226
§ 12*. Проблема выбора решения................... 231
§ 13. Процесс независимых испытаний более чем с двумя исходами . . 238
§ 14. Среднее значение...................... . 244
§ 15. Марковские цепи....................... 251
Литература для дополнительного чтения ............... 258
ГЛАВА v. ВЕКТОРЫ и МАТРИЦЫ ......................... 259
§ 1. Векторы-столбцы и векторы-строки.............„ . 259
§ 2. Произведение векторов, примеры................ 264
§ 3. Матрицы и их комбинации с векторами............. 271
§ 4. Сложение и умножение матриц................. 278
§ 5. Системы линейных уравнений................. 287
§ 0. Обратная матрица....................... 296
§ 7. Применение теории матриц к марковским цепям........ 301
§ 8*. Эргодические марковские цепи................. 310
§ 9*. Дальнейшие примеры марковских цепей............ 321
§ 10*. Примеры марковских цепей в физике. Энтропия........ 330
§ И*. Линейные функции и линейные преобразования......... 341
§ 12*. Я-матрицы........................... 345
§ 13*. Подгруппы группы перестановок................ 351
Литература для дополнительного чтения................ 356
ГЛАВА VI*. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И ТЕОРИЯ ИГР........ 357
§ 1. Выпуклые множества..................... 357
§ 2. Максимумы и минимумы линейных функций.......... 362
§ 3. Задачи линейного программирования.............. 367
§ 4. Строго детерминированные игры................ 373
§ 5. Не строго детерминированные игры.............. 379
§ 6. Матричные игры........................ 387
§ 7. Еще о матричных играх: основная теорема........... 397
§ 8. Игры, матрицы которых имеют только две строки или только
два столбца.......................... 40Э
§ 9. Упрощенный покер...................... 409
Литература для дополнительного чтения................ 414
ГЛАВА VH*. ПРИМЕНЕНИЕ К БИХЕВИОРИСТСКИМ ПРОБЛЕМ.,.М....... 415
§ 1. Социометрические матрицы.................. 415
§ 2. Коммуникационные сети.................... 423
§ 3. Стохастические процессы в генетике.............. 428
§ 4. Марковские цепи с поглощением и генетика.......... 435
§ 5. Модель обучения Истиза.................... 449
§ 6. Предельные вероятности в модели Истиза........... 453
§ 7. Правила бракосочетания в первобытных обществах....... 458
§ 8. Составление правил бракосочетания .............. 463
§ 9. Модель расширяющейся экономики............... 468
§ 10. Существование экономического равновесия........... 476
Литература для дополнительного чтения............... 483
Цена: 200руб.
