Флетчер К-
Численные методы на основе метода Галёркина: Пер. с англ.—М.: Мир, 1988. — 352 с., ил.
Книга крупного австралийского математика, содержащая наглядное и поучительное изложение численных методов решения задач на основе известного метода Галёркина. Много внимания уделено преодолению возникающих ограничений применения методов, сравнению их между собой, связи между аналитическими и численными методами. Дамы примеры применения методов, в качестве приложения приведены примеры программ на языке Фортран.
Для математиков-вычислителей, механиков, физиков, инженеров-исследователей, аспирантов и студентов вузов.
От редактора перевода
В естественных науках за последние 25—30 лет выделилось новое и весьма перспективное направление, связанное с применением вычислительных методов. Важность этого направления и его самостоятельность подтверждаются, в частности, появлением в научной литературе таких словосочетаний, как «вычислительная физика», «вычислительная гидродинамика» и т. п. Подобные названия давно уже никого не шокируют, более того, они характеризуют подход к исследованиям, существенно отличный от классического и тесно связанный с приближенным анализом.
Целый ряд вычислительных методов, предназначенных для решения самых разнообразных задач математической физики и техники, базируется на идеях советских ученых И. Г. Бубнова и Б. Г. Галёркина. Несмотря на то что эти идеи были выдвинуты еще в «домашинную» эпоху, когда последним словом вычислительной техники был арифмометр, они оказались чрезвычайно плодотворными и после перехода к массовому использованию ЭВМ в научно-инженерной практике. Идеи Бубнова — Галёркина помогли развитию вариационных методов, методов взвешенных невязок, наконец, способствовали разработке метода конечных элементов и таких его многочисленных модификаций, как, например, спектральный метод или метод граничных элементов.
Автор предлагаемой вниманию читателя книги австралийский ученый К. Флетчер известен у нас в стране своими работами по теории численных методов и некоторым их приложениям, главным образом к решению задач гидрогазодинамики. В свою очередь он хорошо знает и активно использует труды математиков и механиков советской школы, начиная с Б. Г. Галёркина и кончая нашими современниками — А. А. Дородницыным, О. М. Бело-церковским, Г. И. Петровым. В книге Флетчер сделал попытку (на наш взгляд, весьма удачную) изложить целую серию вычислительных методов, разработанных на основе представлений Галёркина. Книга разбита на семь глав, она начинается с изложения традиционного метода Галёркина, за которым следуют главы, посвященные методу конечных элементов, спектральным методам, обобщенным методам Галёркина, а также сравнению эффективности изложенных методов и конечно-разностных подходов.
Оглавление
От редактора перевода ....................... 5
Предисловие............................ 7
Глава 1. Традиционные методы Галёркина......'........ 10
§ 1.1. Введение ....................... Ю
§ 1.2. Простые примеры ................... 14
1.2.1. Обыкновенное дифференциальное уравнение....... 14
1.2.2. Задача на собственные значения............ 19
1.2.3. Течение вязкой жидкости в канале ......... . 24
1.2.4. Нестационарная теплопередача ............ 27
1.2.5. Уравнение Бюргерса................. 30
§ 1.3. Метод взвешенных невязок............... 36
1.3.1. Метод подобластей.................. 39
1.3.2. Метод коллокаций.................. . 40
1.3.3. Метод наименьших квадратов............. 41
1.3.4. Метод моментов ................... 42
1.3.5. Метод Галёркина................... 43
1.3.6. Обобщенный метод Галёркина............. 45
1.3.7. Сравнение методов взвешенных невязок ....... 45
§ 1.4. Связь с другими методами............... 55
§ 1.5. Теоретические свойства................. 59
§ 1.6. Приложения...................... 67
1.6.1. Свободная конвекция в прямоугольном вырезе...... 67
1.6.2. Гидродинамическая устойчивость ........... 71
1.6.3. Распространение звуковых волн в каналах ...... 73
1.6.4. Течение вокруг наклонного профиля ......... 78
1.6.5. Задача о микропластинчатом диске .......... 83
1.6.6. Другие приложения традиционных методов Галёркина . . 84
§ 1.7. Заключение........................ 85
Литература......................... 86
Глава 2. Вычислительные методы Галёркииа . ............ 90
§ 2.1. Трудности реализации традиционного метода Галёркина 90
§ 2.2. Решение для узловых значений............. 95
§ 2.3. Использование поверочных и пробных функций низкого
порядка........................ 96
§ 2.4. Использование конечных элементов при рассмотрении задач
со сложной геометрией................. 98
§ 2.5. Применение ортогональных поверочных и пробных функций 102
§ 2.6. Расчет нелинейных членов в физическом пространстве 103
§ 2.7. Преимущества вычислительных методов Галёркина .... 104
f~2r8v Заключение....................... 105
Литература.......................... 105
ОГЛАВЛЕНИЕ
351
Глава 3. Метод Галёркина с конечными элементами.......... 106
§ 3.1. Пробные функции и конечные элементы......... 107
3.1.1. Одномерные элементы ................ 107
3.1.2. Прямоугольные элементы в двух и трех измерениях ... 112
3.1.3. Треугольные элементы ................ 119
§ 3.2. Примеры ....................... 121
3.2.1. Упрощенное уравнение Штурма — Лиувилля...... 122
3.2.2. Течение вязкой жидкости в канале.......... 127
3.2.3. Течение невязкой несжимаемой жидкости ....... 132
3.2.4. Нестационарная теплопередача ............ 137
3.2.5. Уравнение Бюргерса......,.......... 139
§ 3.3. Связь с конечно-разностными формулами ........ 145
§ 3.4. Теоретические свойства................. 151
3.4.1. Сходимость .................• • • • 151
3.4.2. Оценки погрешностей................. 155
3.4.3. Оптимальные оценки погрешностей и суперсходимость . . 158
3.4.4. Численные результаты, касающиеся сходимости .... 161 § 3.5. Приложения ..................... 163
3.5.1. Конвективная теплопередача ............. 164
3.5.2. Течение вязкой несжимаемой жидкости ........ 167
3.5.3. Исследование течений со струйными закрылками .... 169
3.5.4. Распространение звуковых волн в каналах...... 172
3.5.5. Приливные течения.................. 175
3.5.6. Прогноз погоды ................... 179
§ 3.6. Заключение....................... 181
Литература......................... 182
Глава 4. Пути усовершенствования метода Галёркина с конечными элементами ......................... 185
§ 4.1. Расщепление во времени.............; . . 185
4.1.1. Тепловая задача о входег в сопло........... 188
4.1.2. Течение вязкой сжимаемой жидкости ......... 191
§ 4.2. Подгонка невязок методом наименьших квадратов .... 195
§ 4.3. Специальные пробные функции............. 200
4.3.1. Особенности..................... 200
4.3.2. Пристенные турбулентные течения........... 203
4.3.3. Формулировка Дородницына для задач о пограничном слое 205 § 4.4. Интегральные уравнения................. 208
4.4.1. Метод граничных элементов.............. 212
§ 4.5. Заключение....................... 217
Литература ......................... 218
Глава 5. Спектральные методы................... 220
§ 5.1. Выбор пробных функций................ 220
§ 5.2. Примеры ....................... 226
5.2.1. Нестационарная теплопередача.......... . . 226
5.2.2. Уравнение Бюргерса................. 228
§ 5.3. Приемы, предназначенные для улучшения эффективности 233
5.3.1. Рекуррентные соотношения.............. 234
5.3.2. Нелинейные члены.................. 235
5.3.3. Разностное моделирование изменений во времени .... 238 § 5.4. Другие варианты спектральных методов......... 240
5.4.1. Псевдоспектральный метод............. . 240
5.4.2. Тау-метод ...................... 243
§ 5.5. Ортонормированный метод интегральных соотношений . . . 244
§ 5.6. Приложения ..................... 251
352 ОГЛАВЛЕНИЕ
5.6.1. Глобальное атмосферное моделирование......... 251
5.6.2. Прямое моделирование турбулентности ........ 255
5.6.3. Другие приложения спектральных методов...... 259
§ 5.7. Заключение....................... 260
Литература .......•................... 261
Глава в. Сравнение конечно-разностных, конечно-элементных и спектральных методов..................... 264
§ 6,1. Типы задач и дифференциальных уравнений в частных производных . :..................... 265
§ 6.2. Граничные условия и сложная геометрия границ..... 267
§ 6.3. Вычислительная эффективность............. 270
§ 6.4. Простота составления программ и легкость их изменения 271
§ 6.5. Контрольные случаи.................. 272
6.5.1. Уравнение Бюргерса................. 273
6.5.2. Модельные параболические уравнения......... 276
6.5.3. Конвекция пассивной скалярной характеристики .... 280
6.5.4. Моделирование процессов в открытом океане..... 283
§ 6.6. Заключение.....:................. 286
Литература ......................... 287
Глава 7. Обобщенные методы Галёркина............... 289
§ 7.1. Обоснование необходимости обобщения ......... 289
§ 7.2. Теоретические основы................ 295
7.2.1. Метод Петрова—Галёркина .:............ 295
7.2.2. Построение поверочной функции гр*.......... 296
§ 7.3. Задачи об установившихся процессах конвекции — диффузии 304
7.3.1. Одномерные схемы высшего порядка.......... 304
7.3.2. Двумерные задачи................... 305
§ 7.4. Параболические задачи ................. 312
7.4.1. Уравнение нестационарного процесса конвекции — диффузии........................ 312
7.4.2. Уравнение Бюргерса................. 314
§ 7.5. Гиперболические задачи ................ 316
§ 7.6. Заключение....................... 321
Литература .................,....... 321
Приложение I. Программа BURG1 ................. 323
Приложение 2. Программа BURG4 ................. 336
Предметный указатель........................ 347
Цена: 300руб.
