Книга входит в завоевавшую мировое признание энциклопедию современной математики «Элементы математики», созданную группой французских ученых, выступающих под псевдонимом Н. Бурбаки.
В 1972 г. издательством «Мир» был выпущен перевод гл. IV—VI книги «Группы и алгебры Ли», а сейчас предлагается перевод ее начальных глав (в таком же порядке выходили французские издания). Книга отражает самые современные результаты в этой области. В ней имеется обширный материал по теории алгебр Ли, свободных алгебр Ли и групп Ли.
Книга предназначена для широкого круга математиков различных специальностей — от студентов до научных работников.
ОТ РЕДАКТОРОВ ПЕРЕВОДА
В 1972 г. издательством „Мир" был выпущен перевод глав IV — VI книги Н. Бурбаки „Группы и алгебры Ли", входящей в известный трактат „Элементы математики". Французское издание этих глав относится к 1968 г. Ко времени работы над русским изданием гл. IV — VI начальные главы книги еще не были полностью опубликованы, и тогда пришлось нарушить привычный порядок издания.
Настоящий выпуск заполняет образовавшийся пробел: он содержит перевод трех первых глав книги. Французские издания этих глав вышли в разное время: гл. I — вторым изданием в 1971 г., гл. II и III—первым изданием в 1972 г. Глава I посвящена алгебрам Ли, гл. II—свободным алгебрам Ли и гл. III — группам Ли. Логическая зависимость этих глав от других частей трактата указана в примечаниях в начале глав.
Короткое авторское введение имеется в гл. IV — VI (см. русское издание 1972 г.); в этих начальных главах авторское введение отсутствует.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов перевода....................._ »
Глава I. Алгебры Ли....................... 7
, • •
§ 1. Определение алгебр Ли................... 7
1. Алгебры.......................... у
2. Алгебры Ли.......................] g
3. Коммутативные алгебры Ли...............\ ц
4. Идеалы.......................... ц
5. Произвольный ряд, нижний центральный ряд........ 12
6. Верхний центральный ряд................ . 13
7. Расширения......................', . J4
8. Полупрямые произведения................. 15
9. Замена кольца скаляров.................. 19
с
§ 2. Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли..... 20
1. Определение универсальной обертывающей алгебры..... 20
2. Универсальная обертывающая алгебра произведения алгебр
Ли............................ 22
3. Универсальная обертывающая алгебра подалгебры алгебры Ли 22
4. Универсальная обертывающая алгебра алгебры Ли, противоположной к данной..................... 24
5. Симметрическая алгебра модуля.............. 24
6. Фильтрация универсальной обертывающей алгебры ..... 26
7. Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта........... 28
8. Продолжение дифференцирований.............. 33
9. Расширение основного кольца................ 35
§ 3. Представления . ....................... 36
1. Представления....................' . • • 36
2. Тензорное произведение представлений ........... 39
3. Представления в модулях гомоморфизмов . . ,........ 40
4. Примеры.......................... ~
5. Инвариантные элементы.................. .**'
6. Билинейные инвариантные формы.............. ™
7. Элемент Казимира...................• • *'
8. Расширение кольца скаляров................
§ 4. Нильпотентные алгебоы Ли.................
40
1. Определение нильпотентных алгебр Ли.........* " 52
2. Теорема Энгеля....................• • м
3. Наибольший идеал нильпотентности представления...... J*:
4. Наибольший нильпотентный идеал алгебры Ли........• gg
5. Расширение поля скаляров..............' ' '. 56-
§ 5. Разрешимые алгебры Ли..................\
58
1. Определение разрешимых алгебр Ли
2. Радикал алгебры "Ли........
3. Нильпотентный радикал алгебры Ли .
4. Критерий разрешимости......
5. Новые свойства радикала......
6. Расширение поля скаляров.....
57 58 61 63 64
ОГЛАВЛЕНИЕ 493
$ 6. Полупростые алгебры Ли .................. 64
1. Определение полупростых алгебр Ли............ 64
2. Полупростота представлений................ 66
3. Полупростые и нильпотентные элементы в полупростых алгебрах Ли......................... 69
4. Редуктивные алгебры Ли................. 71
5. Применение: один критерий полупростоты представлений . . 74
6. Редуктивные подалгебры алгебры Ли............ 75
7. Примеры полупростых алгебр Ли............. 76
8. Теорема Леви — Мальцева................. 78
9. Теорема об инвариантах.................. 82
10. Замена поля скаляров................... 85
§ 7. Теорема Адо ........................ 86
1. Коэффициенты представления ............... 86
2. Теорема о продолжении.................. 86
3. Теорема Адо........................ 89
Упражнения к § 1........................... 91
Упражнения к§2.......................... 100
Упражнения к § 3.......................... Ю2
Упражнения к§4.......................... 107
Упражнения к§5.......................... Ц4
Упражнения к § 6.......................... 116
Упражнения к§7.......................... 122
Глава II. Свободные алгебры Ли ................. 124
§ /. Обертывающая биалгебра алгебры Ли............ 124
1. Примитивные элементы коалгебры............. 124
2. Примитивные элементы биалгебры............. 126
3. Фильтрованные биалгебры................. 127
4. Обертывающая биалгебра алгебры Ли........... 128
5. Структура коалгебры Ug в случае нулевой характеристики 130
6. Структура фильтрованных биалгебр в случае характеристики 0.......................... 133
§ 2. Свободные алгебры Ли................... 136
1. Напоминание о свободных алгебрах............ 136
2. Построение свободной алгебры Ли............. 137
3. Задания алгебры Ли образующими и определяющими соотношениями......................... 138
4. Многочлены Ли и подстановки............... 139
5. Функториальные свойства................. 140
6. Градуировки......................'. . 141
7. Нижний центральный ряд................. 144
8. Дифференцирование свободных алгебр Ли......... 145
9. Теорема об исключении.................. 146
10. Семейства Холла в свободном группоиде ......... 148
11. Базис Холла свободной алгебры Ли............ 151
§ 3. Универсальная обертывающая алгебра свободной алгебры Ли 154
1. Универсальная обертывающая алгебра для алгебры L (X) . . 154
2. Проектирование А+ (X) на L (X).............. 156
3. Размерность однородных компонент алгебры Ли L (X) . . . . 157
§ 4. Центральные фильтрации ......... . . \Щ:\
1. Вещественные фильтрации ................. igj^l
2. Функция порядка ...................... 161 'I
3. Градуированная алгебра, ассоциированная с фильтрованной *> алгеброй ........................... igjyj
4. Центральные фильтрации на группе ............ Igis
5. Пример центральной фильтрации ... ........... jgjj*
6. Целочисленные центральные фильтрации .......... \ftf*
(
§ 5. Алгебры Магнуса ...................... 1в»1
1. Алгебры Магнуса ................. ..... 169>i
2. Группа Магнуса ...................... 170 ;
3. Группа Магнуса и свободная группа ............ iff '
4. Нижний центральный ряд свободной группы ...... ... 172 •
5. р-фильтрация в свободных группах ............. 175
§ 6. Ряд Хаусдорфа ....................... 17&
1. Экспонента и логарифм в фильтрованных алгебрах ..... 175
2. Группа Хаусдорфа .................. -,- . . 17S
3. Формальные ряды Ли ................... 180
4. Ряд Хаусдорфа ........ ............... 181
5. Подстановки в ряд Хаусдорфа .............. . 18*
§ 7. Сходимость ряда Хаусдорфа (вещественный или комплексный . ,.
случай) ............................ 18ft
1. Непрерывные многочлены со значениями в g ........ 187'
2. Групускула, определенная полной нормированной алгеброй Ли 18S
3. Экспоненциальное отображение в полных нормированных : ассоциативных алгебрах .................. 192:';
§ 8. Сходимость 'ряда Хаусдорфа (ультраметрический случай) . . 19$
1. р-адическая оценка рядов exp, log и Н ........... 19*
2. Нормированные алгебры Ли ............. • • • 196
3. Группа, определенная полной нормированной алгеброй Ли . . 19»
4. Экспоненциальное отображение в полных нормированных ассоциативных алгебрах ................. • 19*
Дополнение. Функция Мёбиуса
Упражнения к § 1 Упражнения к§2 Упражнения к § 3 ......
Упражнения к§4 Упражнения к§5 Упражнения к§6 Упражнения к§7 Упражнения к § 8 Упражнения К дополнению
Глава III. Группы Ли § /. Группы Ли
ft
1. Определение группы Ли ............... " 234
2. Морфизмы групп Ли ................ ... ^
3. Подгруппы Ли ......... • ............ 236
4. Полупрямые- произведения групп Ли ...........
6. Фактормногообразия но группе Ли............. 238
6. Однородные пространства и факторгруппы......... 24Y
7. Орбиты....."..................... 244
8. Векторные расслоения с операторами........... 245
9. Локальное определение группы Ли............. 249
10. Групускулы........................ 251
11. Куски законов действия.................. 253
§ 2. Группа векторов, касательных к группе Ли......... 258
1. Касательные законы композиции............. . 258
2. Группа касательных векторов к группе Ли......... 260
3. Случай групускул..................... 263
•§ 3. Переход от группы Ли к ее алгебре Ли........... 233
1. Свертка точечных распределений на группе Ли...... 263
2. Свойства функториальности................ 267
3. Случай группы, действующей на многообразии....... 270
4. Свгртка точечных распределений и функций........ 271
5. Поля точечных распределений, определенные действием группы на многообразии.................. 274
6. Инвариантные поля точечных распределений на группе Ли 276
7. Алгебра Ли группы Ли.................. 278
8. Свойства функториальности алгебры Ли.......... 282
9. Алгебра Ли группы обратимых элементов алгебры..... 285
10. Алгебры Ли некоторых линейных групп.......... 286
11. Линейные представления.................. 288
12. Присоединенное представление............... 294
13. Тензоры и инвариантные формы.............. 298
14. Формула Маурера — Картана............... 299
15. Конструкция инвариантных дифференциальных форм .... 301
16. Мера Хаара на группе Ли.....,............ 332
17. Левый дифференциал................... 306
18. Алгебра Ли групускулы Ли................ 308
§ 4. Переход от алгебр Ли к группам Ли............ 311
1. Переход от мсрфизмов алгебр Ли к морфизмам групп Ли . . 311
2. Переход от алгебр Ли к группам Ли............ 313
3. Экспоненциальные отображения............... 317
4. Функториальность экспоненциальных отображений...... 322
5. Индуцированная структура на подгруппе.......... 323
6. Первообразные для дифференциальных форм со значениями
в алгебре Ли........................ 325
7. Переход от законов инфинитезимального действия к законам действия.......................... 329
§ 5. Формальные вычисления в группах Ли............ 332
1. Коэффициенты capv.................... 333
2. Операция коммутирования в алгебре Ли.......... 334
3. Степени.......................... 333
4. Экспоненциальное отображение................ 339
§ 6. Вещественные или комплексные группы Ли.......... 340
1. Переход от морфизмов алгебр Ли к морфизмам групп Ли 340
2. Интегральные подгруппы ................_. 342
3. Переход от алгебр Ли к группам Ли........... '348
4. Экспоненциальное отображение.............. 349
496 ОГЛАВЛЕНИЕ
5. Применение к линейным представлениям.......... 353
6. Нормальные интегральные подгруппы........... 354
7. Первообразные дифференциальных форм со значениями
в алгебре Ли...................... . 357
8. Переход от законов инфинитезимального действия к законам действия.......................... 357
9. Экспоненциальное отображение в линейной группе..... 359
10. Комплексификация вещественной конечномерной группы Ли 362
§ 7. Группы Ли над ультраметрическими полями........, 367
1. Переход от алгебр Ли к группам Ли............ 367
2. Экспоненциальные отображения............... 368
3. Стандартные группы.................... 369
4. Фильтрация стандартных групп . . . •............ 370
5. Степени в стандартных группах............... 373
6. Логарифмическое отображение............... 374
§ 8. Группы Ли над R или Qp.................. 379
1. Непрерывные морфизмы.................. 379
2. Замкнутые подгруппы................... 382
§ 9. Коммутаторы, централизаторы, нормализаторы в группе Ли 385
1. Коммутаторы в топологической группе........... 385
2. Коммутаторы в группе Ли................. 385
3. Централизаторы...................... 390
4. Нормализаторы....................... 391
5. Нильпотентные группы Ли................. 392
6. Разрешимые группы Ли.................. 397
7. Радикал группы Ли..................... 399
8. Полупростые группы Ли.................. 400
§ 10. Группа автоморфизмов группы Ли............. 406
1. Инфинитезимальные автоморфизмы............. 406
2. Группа автоморфизмов группы Ли (вещественный или комплексный случай)...................... 410
3. Группа автоморфизмов группы Ли (ультраметрический случай) 416
Дополнение. Операции над линейными представлениями..... 417
Упражнения к § 1 .......................... 418
Упражнения к§3.......................... 420
Упражнения к§4.......................... 423
Упражнения к § 5.......................... 429
Упражнения к § 6.......................... 429
Упражнения к§7.......................... 436
Упражнения к§8.......................... 440
Упражнения к § 9.........................« 441
Упражнения к § 10.....,.................... 452
Исторический очерк к главам I—III.................. 453
Библиография............................. 477
Приложение. Коалгебры. Ю. А. Бахтурин............... 480
Указатель обозначений........................ 483
Указатель терминов.......................... 485
Сводка некоторых свойств конечномерных алгебр Ли над полем характеристики 0............................ 490
Цена: 300руб.
