Книга отличается от традиционных руководств по линейной алгебре тем, что материал излагается в тесной связи с многочисленными приложениями. В виде отдельных глав представлены метод исключения Гаусса, ортогональные проекции, положительно определенные матрицы, линейное программирование и теория игр. Автор знаком советским читателям по переводу его (в соавторстве с Дж. Фиксом) «Теории метода конечных элементов» (М.: Мир, 1977)-
Книга, несомненно, окажется полезной математикам-прикладникам различных специальностей; она заинтересует также и преподавателей, аспирантов и студентов университетов и втузов, преподающих или изучающих линейную алгебру и ее приложения.
От редактора перевода
Традиционные курсы линейной алгебры, читаемые в высших учебных заведениях, и соответствующие учебные пособия, как правило, мало затрагивают прикладную сторону предмета. Но в то же время линейная алгебра служит основой всех методов вычислительной математики, являясь в этом смысле чисто прикладной наукой.
Предлагаемая вашему вниманию книга написана известным американским математиком Гильбертом Стренгом на основе курса лекций для студентов Массачусетского технологического института, который читался им с учетом именно этих обстоятельств, и это оказало существенное влияние как на стиль изложения материала, так и на его выбор. Например, в виде отдельных глав здесь представлены метод исключения Гаусса, положительно определенные матрицы и даже линейное программирование, и в то же время жорданова форма матрицы и линейные преобразования рассматриваются в виде кратких приложений. В книге рассматриваются также вопросы об ортогональном проектировании векторов на подпространства и дается представление о методе конечных элементов, который в настоящее время становится основным средством приближенного решения уравнений математической физики. Отдельная глава посвящена вычислениям с матрицами и, в частности, итерационным методам решения систем линейных алгебраических уравнений, играющим важную роль в вычислительной математике.
Каждая глава содержит большое число примеров и упражнений, которые также призваны способствовать развитию у читателя навыков в решении прикладных задач.
Оглавление
От редактора перевода ....................... I
Предисловие............................ ' *
Глава 1. МЕТОД ИСКЛЮЧЕНИЯ ГАУССА............. \\
§ 1.1. Введение .........................
§ 1.2. Пример применения метода исключения Гаусса .......
§ 1.3. Матричные обозначения и умножение матриц........ t?
§ 1.4. Эквивалентность метода исключения Гаусса и разложения на
треугольные матрицы................... 30
§ 1.5. Перестановки строк, обращения и ошибки округления ... 3S
§ 1.6. Ленточные матрицы, симметрические матрицы и их применения 52
Обзорные упражнения ................... вС
Глава 2. ТЕОРИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ
§ 2.1. Векторные пространства и подпространства ........ .
§ 2.2. Решение т уравнений с п неизвестными ...... . . . .
§ 2.3. Линейная независимость, базис и размерность ...... .
§ 2.4. Четыре основных подпространства- .............
§ 2.5. Ортогональность векторов и подпространств .........
§ 2.6. Пары подпространств и произведения матриц ........ .
Обзорные упражнения ................... Ч*
Глава 3. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ ПРОЕКЦИИ И МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
3.1. Скалярные произведения и транспонирование .....••'
3.2. Проекции на подпространства и аппроксимации по методу на-именьших квадратов .......... . ........ •
Оглавление . 453
§ 3.3. Ортогональные базисы, ортогональные матрицы и ортогонали-
зацня Грана—Шмидта................... 146
§ 3.4. Псевдообращение и сингулярное разложение........ 164
§ 3.5. Взвешенные наименьшие квадраты............. 174
Обзорные упражнения................... 180
Глава 4. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ..................... 182
§ 4.1. Введение ......................... 182
§ 4.2. Свойства определителя................... 185
§ 4.3. Формулы для определителя................ 191
§ 4.4. Применения определителей................. 200
Обзорные упражнения................... 208
Глава 5. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ И СОБСТВЕННЫЕ ВЕКТОРЫ 210
§ 5.1. Введение ......................... 210
§ 5.2. Диагональная форма матрицы............... 221
§ 5.3. Разностные уравнения и степени Л*........... . 227
§ 5.4. Дифференциальные уравнения и экспонента eAt....... 239
§ 5.5. Комплексный случай: эрмитовы и унитарные матрицы ... 251
§ 5.6. Преобразования подобия и треугольные формы....... 267
Обзорные упражнения................... 277
i
Глава 6. ПОЛОЖИТЕЛЬНО ОПРЕДЕЛЕННЫЕ МАТРИЦЫ..... 279
§ 6.1. Максимумы, минимумы и седловые точки.......... 279
§ 6.2. Критерии положительной определенности.......... 286
§ 6.3. Полуопределенные и неопределенные матрицы. Обобщенная
задача на собственные значения Ах — КВх......... 295
§ 6.4. Принципы минимума и отношение Релея.......... 304
§ 6.5. Принцип Релея — Ритца и метод конечных элементов .... 315
Глава 7. ВЫЧИСЛЕНИЯ С МАТРИЦАМИ............. 322
§ 7.1. Введение ......................... 322
§ 7.2. Норма и число обусловленности матрицы......... 324
§ 7.3. Вычисление собственных значений............. 332
§ 7.4. Итерационные методы решения системы Ах = Ь ....... 343
Глава 8. ЛИНЕЙНОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ И ТЕОРИЯ ИГР-. . 353
§ 8.1. Линейные неравенства................... 353
§ 8.2. Симплекс-метод...................... 360
§ 8.3. Теория двойственности................... 374
§ 8.4. Сетевые модели...................... 388
§ 8.5. Теория игр и теорема о минимаксе............ 395
Приложение А. ЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ, МАТРИЦЫ И
ЗАМЕНЫ БАЗИСОВ................ 407
Приложение В. ЖОРДАНОВА ФОРМА МАТРИЦЫ......... 416
Список литературы . .,....................... 423
Решения......................."1...... 424
Указатель............................. 446
Цена: 300руб.
