Книга содержит изложение основных математических проблем теории прохождения излучения через вещество. Наряду с классическим материалом в ней рассмотрены весьма плодотворный метод Кейза разложения по сингулярным собственным функциям характеристического уравнения переноса и метод инвариантного погружения Амбарцумяна — Чандрасекара — Беллмана. Описаны численные методы теории переноса.
Книга, несомненно, будет полезна как широкому кругу математиков, интересующихся физикой, так и физикам.
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
В 1960 г. К. Кейз сформулировал новый подход к решению задач теории переноса, основанный на разложении фазовой плотности излучения по собственным функциям однородного кинетического уравнения [18]. Сама по себе идея не нова, она лежит в основе метода Фурье, который широко используется в различных областях и с которым непосредственно связан популярный метод разделения переменных в математической физике. Для реализации метода Фурье необходимо, чтобы в распоряжении исследователя находился достаточно мощный набор функций, по которым проводится разложение и которые некоторым определенным образом связаны с рассматриваемой задачей (как правило, роль такого набора играет система собственных функций одного из операторов, входящих в задачу). Но именно«вто условие, на первый взгляд, не выполняется в теории переноса излучения. Оказывается, например, что в частном случае плоской геометрии и при разумных предположениях об индикатрисе рассеяния однородное уравнение переноса обладает лишь конечным числом линейно независимых собственных функций и чем «лучше» индикатриса, тем меньше их число. Эти собственные функции весьма хороши во многих отношениях: пространственные и угловые переменные в них разделяются, они непрерывны и т. д., но их слишком мало. :
Ситуация изменилась после того, как Кейз обнаружил, что если расширить класс допустимых функций, включив в него наряду с классическими и сингулярные (обобщенные) функции, то резко расширится и система собственных функций уравнения переноса. Наряду с конечным («дискретным») набором классических собственных функций возникает целый континуум сингулярных собственных функций, и этих собственных функций в совокупности уже будет достаточно для применения метода Фурье.
Находка Кейза послужила отправным пунктом для большого количества работ. Оказалось, что метод Кейза применим в довольно широком классе задач теории переноса и во многих случаях позволяет получить решение в замкнутой форме. Очевидно, что явные решения в такой трудной теории, как теория переноса, имеют не только эстетическую ценность. Они дают представление об основных закономерностях, и их можно использовать для проверки точности различных приближенных и вычислительных
Оглавление
От редактора перевода.....................t *
Предисловие ......«.............'.'.'.'!.% *
Глава 1. Основные положения.............' 4 «
1.1. Введение .....................* «ь
1.2. Определения..................! ! ! ! 11,
1.3. Уравнение переноса................'.'.'. 15
Глава 2. Общие свойства уравнения переноса и его решений ~~ 18
2.1. Свойства симметрии решений уравнения переноса .... 18
2.2. Односкоростное приближение .............. 26
2.3. Единственность и граничные условия.......... 27 •
2.4. Граничные условия и поверхностные источники..... 31
2.5. Стационарная задача; единственность и связь с нестационарной задачей ...................... 32
2.6. Функции Грина..................... 36
2.7. Теорема взаимности для односкоростного уравнения пере- ' носа........................., 37
Глава 3. Перенос нейтронов без воспроизводства в соударениях.................... 43
3.1. Основные предположения................ 43
3.2. Истечение в вакуум .'................. . 44^
3.3. Перенос нейтронов в чисто поглощающих средах. Общие результаты...................... 45'
3.4. Приложение общих результатов к задаче о стационарном истечении в вакуум .................... 47
3.5. Приложение к случаю стационарных источников в чисто - ,' поглощающей среде.............-....... Щ,'
3.6. Интегральные уравнения................ $Bf\
3.7. Вероятность выхода.........*".......... 6*1
Глава 4. Решения однородного односкоростного уравнения
переноса ...............,,„* ." 73
4.1. Введение ....................?^. . 73
4.2. Собственные функции однородного уравнения. Допустило* пространство функций,................ . '4
4.3. Вычисление дискретных собственных значений и собственных функций..................... 76
4.4. Континуум собственных функций............ 82
4.5. Ортогональность и нормировка (случай целого отрезка) . • 83
Оглавление 383
4.6. Теорема полноты (случай целого отрезка)........ 88
4.7. Характерные приложения теоремы полноты и необходимость ее обобщения.................. 93
4.8. Теорема полноты для половинного отрезка........ 95
4.9. Соотношения ортогональности для половинного отрезка 100
4.10. Случай анизотропного рассеяния............ 105
Глава 5. Применение метода разложения по сингулярным
собственным функциям............ из
5.1. Введение ....................... ИЗ
5.2. Функция Грина для бесконечной среды.......... 114
5.3. Моменты функций Грина................ 119
5.4. Асимптотическое поведение фазовой плотности нейтронов при малых и больших г в случае изотропного точечного источника 126
5.5. Альбедная задача.................... 131
5.6. Проблема Милна.................... 135
5.7. Функция Грина для полупространства.......... 137
5.8. Задачи для двух смежных полупространств ........ 138
Глава 6. Явный вид решений некоторых задач о прохождении
излучения через полупространство и плоские слои 146
6.1. Введение ....................... 146
6.2. Тождества, содержащие функцию X(z)......... 147
6.3. Применение тождеств для X-функции к некоторым задачам
для полупространства................. 153
6.4. Некоторые явные формулы для проблем Милна..... 158
6.5. Тождества для Х-функции и некоторые точные результаты
для двух смежных полупространств........... 173
6.6. Проблема критичности................. 175
6.7. Альбедная задача для плоского слоя.......... 186
6.8. Линейно анизотропное рассеяние............ 187
6.9. Полупространство без поглощения с анизотропным рассеянием [44] ....................... 192
6.10. Линейно анизотропное рассеяние [44].......... 197
Глава 7. Нестационарные задачи............ 199
7.1. Введение........................ 199
7.2. Разложение по нормальным модам относительно пространственной переменной................._ • 200
7.3. Разложение по нормальным модам относительно временной *
• переменной...................... 206
7.4. Функция Грина для задачи Коши в случае бесконечной среды1......................... 210
7.5. Альбедные задачи................... • 217
Глава 8. Численные методы............... 221
8.1. Введение ......•................ 221
8.2. Метод сферических гармоник. Общие вопросы ..... 222
8.3. Диффузионное, или Pi-приближение..........« 223
8.4. Р^-метод в плоской геометрии.............. 235
8.5. Метод сферических гармоник для других геометрий . . . 246
8.6. Двойной Рь-метод ................... 250
8.7. Общие замечания о методах дискретных ординат..... 255
384 Оглавление
8.8- Метод гауссовых квадратур. Эквивалентность методу сферических гармоник.................... 256
8.9. Sjv-метод........................... 258
Глава 9. Инвариантное погружение........... 262
9.1. Введение ....".•................... 262
9.2. Уравнения для задачи о плоском слое.......'. . . 263
9.3. Задачи для полупространства.............. 268
Глава 10. Задачи теории переноса из других областей физики 271
10.1. Введение ....................... 271
10.2. Распространение звука................. 271
10.3. Плазменные задачи................... 278
10.4. Электрический разряд в газе.............. 294
10.5. Перенос излучения в звездных атмосферах....... 295
Приложение А. Сферические функции........... 304
Приложение В. Разложение фазовой плотности по сферическим функциям........... 305
Приложение С. Связь между функциями фазовой плотности
при различных источниках ...... 309
Приложение D. Теоремы существования и единственности для уравнения переноса, зависящего от
энергии [92] .............. 314
Приложение Е. Функции Еп(х) ............ 327
Приложение F. Случай кратных корней......... 329
Приложение G. Класс разложимых функций....... 332
Приложение Н. Прямое вычисление моментов функции плот~ ности (изотропный точечный источник) ................. 334
Приложение I. Задачи теории переноса в различных геометриях ................ 339
Приложение J. Задачи без азимутальной симметрии . . . 350
Приложение К. Вывод формулы (34d) разд. 4.9..... 356
Приложение L. Таблицы значений функции Х(г)..... 357
Список литературы..................... 380
Цена: 300руб.
