В справочнике излагаются способы построения аналитических функций, конформно отображающих одну заданную область на другую. Основное внимание уделено практическим приемам нахождения отображающих функций главным образом при помощи интеграла Кристоффеля — Шварца.
Приводится справочный материал по теории функций комплексного переменного, необходимый при первом ознакомлении с методами конформных отображений.
В конце помещен каталог конформных отображений, наиболее часто встречающихся в современной литературе и весьма полезных для различных приложений (гидромеханика, аэромеханика, теория упругости, теория фильтрации, теплотехника, гидротехника, электротехника, радиотехника, теория электростатических и магнитных полей, электронная оптика и др.).
Рассчитан на студентов, инженеров, научных работников, а также на всех тех, кто имеет дело с применением конформных отображений к различным техническим задачам.
Предисловие
Предлагаемый вниманию справочник рассчитан на самый широкий круг читателей. Он будет полезен студентам, изучающим теорию функций комплексного переменного, инженерам и научным работникам, ведущим свои исследования в тех областях приложения математики, в которых используется аппарат теории функций комплексного переменного, в частности метод конформных отображений, наконец всем тем, кто хотя бы в какой-то мере соприкасается с такими областями, как гидромеханика, теория фильтрации, теория упругости, теплотехника, гидротехника, электротехника, радиотехника, электронная оптика и многими другими. Справочником может воспользоваться и тот читатель, который встречается с предметом впервые.
В главе 1-даны основные понятия, на которых строится вся теория функций комплексного переменного. Здесь также приводятся некоторые сведения из теории функций комплексного переменного, необходимые для понимания последующих разделов справочника.
Глава 2 посвящена изучению элементарных функций комплексного переменного с геометрической точки зрения, т. е. в этой главе устанавливаются основные геометрические свойства элементарных функций, знание которых необходимо при отыскании областей, конформно отображающихся при помощи этих функций и их комбинаций.
В главе 3 решается основная и наиболее трудная задача теории конформных отображений — отыскание аналитической функции, конформно отображающей одну наперед заданную область на другую заданную область. Такая задача имеет большое практическое значение, однако достаточно эффективных методов ее решения в общем случае не существует и до настоящего времени. Мы приводим классическое решение этой задачи при помощи интеграла Кристоффеля —Шварца, который в ряде частных случаев позволяет найти искомую отображающую функцию в замкнутом виде, т. е. в виде некоторого явного конечного выражения. В этой главе приведен полный вывод формулы Кристоффеля — Шварца и рассмотрен ряд примеров конформного отображения верхней полуплоскости на наперед заданные многоугольники (дву-, тре-, Четырех-, пяти- и шестиугольники).
В конце справочника помещен каталог конформных отображений наиболее часто встречающихся областей, а также список литературы, рекомендуемой для дальнейшего изучения предмета.
Таким образом, настоящий справочник имеет двоякое назначение: во-первых, он дает фактическую справку о способах отыскания отображающих функций; во-вторых, в нем рассмотрены и собраны многочис- . ленные примеры различных областей и функций, точно реализующих конформное отображение этих областей на некоторую каноническую (простейшую) область, что делает удобным использование конформных А —, „о„,а„мм пячличных задач.
ую; tn-uiav-.u, ,.~ „___
ний ппи пешении различных задач.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие
Глава 1. Элементы теории функций комплексного
переменного ........ 5
§ 1. Комплексные числа ....... 5
1. Понятие комплексного числа и его геометрическая интерпретация .... 5
2. Действия над комплексными числами 9 § 2. Функции комплексного переменного . . . 19
3. Основные геометрические понятия . . 19
4. Примеры некоторых односвязных областей 21
5. Понятие функции и отображения . . 25
6. Основные элементарные функции . 31 § 3. Аналитические и гармонические функции . 36.
7. Дифференцируемость и аналитичность . 36
8. Связь аналитических функций с гармоническими ........ 40
§ 4. Интеграл от функции комплексного переменного............ 42
9. Понятие интеграла и его свойства . . 42
10. Теорема Коши ....... 45
11. Интегральная формула Коши ... 50 § 5. Ряды и изолированные особые точки однозначных аналитических функций ... 52
12. Числовые и функциональные ряды . . 52
13. Ряд Тейлора ....... 55
14. Ряд Лорана и классификация особых точек. Понятия вычета...... 60
§ 6. Обобщенное понятие аналитической функции 66
15. Аналитическое продолжение ... 66
16. Римановы поверхности .... 69 § 7. Конформное отображение ..... 71
17. Геометрический смысл модуля и аргумента производной ....... 71
18. Понятие конформного отображения . 73
19. Основные принципы теории конформных отображений ....... 74
Глава 2. Конформные отображения элементарными
функциями......... 78
§ 1. Линейная функция ...... 7-8
20. Целая линейная функция.....78
21. Функция w = —•....... 80
22. Дробно-линейная функция ... 82
23. Отображение окружности при заданных коэффициентах дробно-линейной функции 88
24. Отображение данной окружности на заданную окружность ...... 95
25. Отображение двух окружностей на две окружности........ ЮО
§ 2. Показательная и логарифмическая функции 103
26. Функция w — e*....... юз
27. Функция г = Lnw....... Ю5
§ 3. Степенная функция...... . 107
28. Общие соображения ..... 107
29. Функция w = г2 ....... Ю9
30. Функция w = г"2....... 111
§ 4. Тригонометрические и гиперболические функции ........... из
31. Функция w = cos z...... цз
32. Функция w — tgz . . •..... Ц5
Гла$а 3. Конформные отображения при помощи
интеграла Кристоффеля —Шварца . . . 116
§ 1. Интеграл Кристоффеля — Шварца . . . 117
33. Отображение прямолинейного многоугольника. Формула Кристоффеля — Шварца 117
34. Некоторые случаи отображения многоугольника ........ 121
35. О константах интеграла Кристоффеля—' Шварца ......... 123
36. Определение констант в случае правильного многоугольника...... 125
37. Определение констант в случае неправильного четырехугольника ... .126
§ 2. Эллиптические интегралы и функции . 131
38. Эллиптические интегралы . . . ijj
39. Эллиптические функции Якоби . . 137 § 3. Отображение двуугольников ... . 144
40. Двуугольник {0; 0}....... 144
( Р Р \
41. Двуугольник \—i--— | .... 148
§ 4. Отображение треугольников..... 150
42. Произвольный треугольник ... . 150
43. Треугольник JO; у; -g-j..... 155
44. Треугольник (0;6;1—0}..... 157
45. Треугольник (0; — 6; 1 + 0} . . . . 160
/ 311
46. Треугольник \—l'"2~;"2V..... 162
47. Треугольник {—1; 1—Э; 1+6} . . . . 165
48. Треугольник {—(1+6); 6; 2} .... 167
49. Треугольник {—1+6;— 0; 2} .... 168
251
§ 5. Отображение четырехугольников . . • 169 /1 1 1 1\ IRQ
50. Прямоугольник \"?Г'> "Jp ~2"> ~2"| • • •
/113 1\ .,,
51. Четырехугольник |~?Г'~<Г'1Г;—Т/' ' '
( 1 М 52. Четырехугольники |-—l;-^; 2;-2~|
......• 172
53. Четырехугольники j—1\1;-^\-^
-2;у;2;|-}....... 175
54. Четырехугольник {0;1;0;0} .... 177 6. Отображение пятиугольников .... 180
[3 1 1 Ь
55. Пятиугольник г-^-; 0; -^\ -тр -^ t . . • 180
56. Пятиугольник |о; у; 2; у; 0 | . . . . 183
till I 57. Пятиугольник | — -у; -g-; "у. 2; -^"
. . 185
Каталог конформных отображений . . . . 188 Литература . ........ . 247
Цена: 150руб.
