Мамедов М. Д.
М 22 Математическая теория иерархических структур. — Б.: Азернешр, 1938.—216 с., ил.
Книга посвящена актуальным прикладным вопросам теории управления сложными системами. Главными результатами, изложенными в ней, могут считаться подходы, позволяющие на основе априорных оценок отбрасывать или присоединять отдельные элементы к общей системе в статических — первые две главы — или динамических — три последние главы — задачах. Большое внимание уделяется системам, элементы которых описываются линейными дифференциальными уравнениями с квадратичным функционалом. Предназначена для научных работников и инженеров, занимающихся проблемами анализа оптимального управления сложными системами, а также студентов и аспирантов, разрабатывающих смежные вопросы.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящая книга посвящена актуальным прикладным вопросам теории управления сложными системами. Сильно развивающаяся в последние десятилетия общая теория систем подчас носит достаточно абстрактный характер, причем такой этап ее развития, по-видимому, не только необходим, но и неизбежен. Выводы, которые при этом можно сделать, носят хотя и ценный, но всегда общий, методологический вид, который трудно или даже невозможно непосредственно использовать в практике управления и организации систем. Данная работа выгодно отличается тем, что ее результаты могут применяться как для дальнейшего развития общей теории систем, ее математических аспектов, так и для решения достаточно широкого класса задач практики.
Главными результатами, изложенными в книге, могут считаться подходы, позволяющие на основе априорных оценок отбрасывать или присоединять отдельные элементы к общей системе в статических или динамических задачах. Трудность решения подобной проблемы усугубляется тем, что автором рассматриваются только целенаправленные элементы и системы. Для статических задач такое присоединение элементов, их композиция в общую систему делаются на основе аналитических зависимостей, впервые выведенных автором, которые составляют некоторый критерий композиции подсистем и элементов. В динамических задачах главный упор сделан на методы получения решения в сложных иерархических системах с целенаправленным поведением.
Практическая ценность монографий подобного типа становится очевидной лишь после публикации, однако несомненен теоретический вклад автора в анализ иерархических структур: математические аспекты такого анализа могут быть распространены и на другие виды систем. Большое внимание, уделенное в книге системам, элементы
3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие . .........'. 3
Введение .............. 5
Глава 1. ОПИСАНИЕ ЦЕЛЕНАПРАВЛЕННЫХ СИСТЕМ . . 19
§ 1. Теоретико-множественное описание целенаправленной
системы ............. 21
1.1. Определение формального и неформального подчинения в системе........... 21
1.2. Иерархическая структура системы..... 25
1.3. Простые системы. Эквивалентность управлений . 27
1.4. Принцип композиции систем...... 32
§ 2. Критерии композиции элементов....... 37
2.1. Простейшая И-структура........ 37
2.2. Критерий композиции......... 40
2.3. Оценка критерия композиции ....... 43
2.4. Взаимовлияние элементов....... 46
2.5. Критерий композиции при разных способах влияния элементов............ 48
§ 3. Композиция элементов в систему...... 51
3.1. Композиция с помощью решения оптимизационных задач.............. 51
3.2. Композиция произвольных И-структур .... 54
3.3. Оптимальное разбиение системы ..... 60
Глава 2. АНАЛИЗ СИСТЕМ С ИЕРАРХИЧЕСКОЙ СТРУКТУРОЙ. СТАТИЧЕСКИЙ СЛУЧАИ ...... 65
§ 1. Иерархические структуры с линейными ограничениями . 67
1.1. Формулирование общей иерархической задачи . . 67
1.2. И-структура блочной матрицы...... 71
1.3. Задачи линейного программирования в элементах И-структуры............ 75
1.4. Иерархическая система с отсутствием рефлексии у подчиненных элементов......... 77
§ 2. Критерий композиции в задачах линейного программирования ............. 79
2.1. Устойчивость оптимального решения задач линейного программирования.......... 79
2.2. Критерий композиции линейных элементов ... 82
2.3. Определение частных производных в постоптимальном анализе............ 84
§ 3. Методы анализа решения в И-структурах .... 87
217
3.1. Использование постоптимального анализа в элементах .............. 87"
3.2. Общий случай решения в двухуровневой И-струк-туре .............. 89
3.3. Неединственность решения в И-структуре ... 92 3 4. Примеры анализа оптимального управления в И-структуре . . .......... 94
Глава 3. АНАЛИЗ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ В
ПОЛНЫХ СИСТЕМАХ......... 106
§ 1. Вариационные принципы анализа оптимизационных
проблем ............. 108
1.1. Принцип оптимальности Ферма...... 108
1.2. Условия оптимальности в задачах с ограничениями НО
1.3. Уравнение Эйлера ......... 111
§ 2. Принцип оптимальности......... 113
2.1. Формулирование принципа оптимальности . . .113
2.2. Аналитическое выражение принципа оптимальности 117 23. Сокращение вариантов перебора при использовании принципа оптимальности ......... 120
§ 3. Принцип локальных оценок........ 121
3.1. Определение локальных оценок...... 121
3.2. Доказательство принципа локальных оценок . . 124 § 4. Необходимые условия оптимальности в форме принципа максимума............ 126
4.1 Формулирование принципа максимума .... 126
4.2. Применение принципа максимума..... 128
4.3. Связь принципа максимума с принципом оптимальности и вариационными принципами...... 130
Глава 4. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В СИСТЕМАХ СО
СТРОГИМ ПОДЧИНЕНИЕМ ЭЛЕМЕНТОВ ... 133
§ 1. Проекции оптимальной траектории и анализ сложной
задачи . ............ 135
1.1. Определение проекции оптимальной траектории . 135
1.2. Организация итерационного процесса решения . 138
1.3. Итерационный процесс в линейной задаче . . .141
1.4. Доказательство сходимости итерационного процесса 143 § 2. Организация вычислений в нелинейных задачах . . 148
2.1. Формулирование подзадач как элементов общей задачи.............. 148
2.2. Оценка скорости сходимости итерационной процедуры решения ........... 150
2.3. Линеаризация при наличии разрывов . . . .152 § 3. Примеры анализа управления в динамических И-струк-
турах.............. 160
§ 4. Пример решения динамической задачи с помощью проекций ............. 171
4.1. Формулирование задачи........ 171
4.2. Организация вычислений....... 174
4.3. Интерпретация численных результатов решения модельной задачи........... 178
218
Глава 5. ДИНАМИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА С ЛИНЕЙНЫМИ ОГРАНИЧЕНИЯМИ И КВАДРАТИЧНЫМ ФУНКЦИОНАЛОМ ..............180
§ 1. Анализ оптимального управления в линейных системах
с квадратичным функционалом ....... 181
1.1. Матричное уравнение Риккати...... 18J
1.2. Связь решения с уравнениями Беллмана . . . 188
1.3. И-структура уравнений Риккати ..... 190
1.4. Общий случай учета внешнего влияния . . . 194 •§ 2. Анализ оптимального управления в динамических И-
структурах ............197
2.1. И-структура с элементами, описываемыми уравнениями Риккати ...........197
2.2. Уравнения Риккати в простейшей И-структуре . . 200
2.3. Плата за децентрализации в системе, решение которой описывается уравнениями Риккати .... 205
2.4. Многоуровневая структура элементов с линейными ограниченями и квадратичным функционалом . . . 207
Литература...............213
Цена: 150руб.
