АННОТАЦИЯ
В книге, помимо основных классических задач теории конечных разностей, содержатся также и главы, посвященные современным проблемам этой теории для аналитических функций комплексного пер'еменного.
Настоящее, третье издание не отличается от второго, вышедшего в 1959 году, исправлены лишь замеченные опечатки.
Книга рассчитана на студентов и аспирантов математических специальностей университетов и педагогических институтов. Она представляет большой интерес для научных работников в области математики
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к первому изданию................... 7
Предисловие ко второму изданию................... 8
Предисловие к третьему изданию...... ; . ........... 8
Введение. Постановка задач теории конечных разностей........ 9
1. Задача интерполяции.................• •. . . 9
2. Суммирование функций и уравнения в конечных разностях 10
3. Постановка задач теории конечных разностей для аналитиче- ~ ских функций комплексного переменного.......... . 12
Глава I. Задача интерполяции.................. . 14
§ 1. Общая постановка проблемы интерполяции.......... 14
1. Понятие разделенных разностей............... 14
2. Формула Лагранжа..................... 16
3. Формула Ньютона . :.................. . . 21
§ 2. Многочлены Чебышева ......... . .......... 23
§ 3. Формула Ньютона для равноотстоящих значений независимого
переменного.................... ..... 31
1. Первый вывод формулы Ньютона.............. 31
2. Второй вывод формулы Ньютона............... 33
3. Понятие обобщенной степени................. . 35
4. Примеры.......................... 36
§ 4. Различные представления разделенной разности в общем случае расположения узлов интерполяции . . . . . . . . . . . . 37
1. Первое представление разделенной разности......... 37
2. Второе представление разделенной разности и формула Ньютона при произвольных узлах интерполяции . . •........ . 38
3. Третье представление .разделенной разности и формула Эрмита 43
§ 5. Интерполяционный процесс при треугольной таблице .,...". 40
1. Постановка задачи и основные формулы.......~. . . . 46
2. Оценки остаточного члена в общей интерполяционной формуле и основные теоремы о представлении функций интерполяционным рядом.......................... 51
3. Основные теоремы о представлении функций общим интерполяционным рядом.....................• . 57
§ 6. Приближение функций ..'.................. 63
1. Постановка задач и свойства непрерывных функций..... 63
2. Приближение функций многочленами ..,,,..,,,,,. 67
ОГЛАВЛЕНИЕ
3. Сходимость интерполяционного процесса Лагранжа и теорема
С. Н. Бернштейна...................... 74
4. Многочлены С. Н. Бернштейна и их обобщение ....... 83
5. Приближение функций многочленами в комплексной плоскости. МногВчлены Фабера..................... 93
§ 7. Интерполяционная задача и проблема моментов в комплексной
плоскости..........................97
Глава П. Ряд Ньютона......................107
§ 1. Вспомогательные предложения................107
1. Некоторые часто встречающиеся оценки ...........107
2. .Гамма-функция, ее определение и основные свойства.....112
3. Асимптотическое представление Г (г).............116
4 Некоторые общие характеристики поведения целых аналитических функций.......................119
5 Некоторые свойства выпуклых областей. Опорная функция выпуклой области......................123
6. Связь между индикатрисой роста целой аналитической функции. первого порядка нормального типа и расположением особенностей ассоциированной с ней функции . ."......... 127
7. Плотность последовательности и показатель сходимости ... 131 § 2 Ряд Ньютона с узлами интерполяции 1, 2, 3,..........134
1. Абсцисса сходимости..................... 134
2. Свойства функций, представляемых «"-"•• "- —
3 D а о ni-i^i"»" **"
_____~ vjчпиии, представляемых рядом Ньютона .
3. Разложение аналитических функций в ряд Ньютона . 3. Ряд Ньютона при произвольных узлах интерполяции
1. Область сходимости ряда Ньютона......
о г т,,,., «л -----
146 151
... 162 . _ __„..«««. in ряда льютона..............162
2 Случай конечного числа предельных точек последовательности узлов интерполяции на конечной части плоскости......171
3 Интерполяционный процесс Ньютона в случае, когда узлы интерполяции имеют точку накопления только в бесконечности 177
4. Приложение интерполяционных процессов к решению некоторых вопросов теории чисел ................. 186
Глава III. Построение целой функции с заданными элементами . , . 201 § 1. Постановка задач и построение целой функции по ее значениям 201 1 Построение целой функции по ее значениям в некоторой последовательности точек.....................201
2. Интерполяция рациональными дробями и одна теорема о целых функциях................-..........208
3. Определение целой функции по значениям последовательных производных.........................212
4. Постановка общей задачи определения целой функции по заданным элементам............-....'......215
§ 2. Проблема моментов в комплексной области для целых функций
не выше первого порядка нормального типа.........216
§ 3. Частные случаи общей интерполяционной задачи......228
1. Заданы числа F (п), л = 0, 1, 2................. 228
2. Заданы числа F(n)(n), n = 0, 1, 2................230
" Заданы числа Д" F (п), п = 0, I, 2....... 231
о. заданы числа Ьа F (п), п = 0, I, 2, ... | 4. Заданы числа Д»р(-?), „ = <),'1,'2/
233-
ОГЛАВЛЕНИЕ g
§ 4. Линейные дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами и некоторые интерполяционные задачи, приводящиеся к решению подобных уравнений . . 234
1. Общие теоремы.....................t . 234
2. Заданы числа Я"'**'(s), 0*Ss*Sp — 1, я = 0, 1,2........236
3. Заданы числа F("P>(s), 0
1, 2.....................:.........244
Глава IV. Суммирование функций. Числа и многочлены Бернулли . . 247
§ 1. Постановка задачи. Случаи элементарного суммирования . . . 247
1 Связь между .задачами суммирования и нахождения функции
по заданной разности .................... 247
2. Случаи элементарного суммирования.............249
3. Общие замечания о решении уравнения Д/7 (*) = ф(.<с) .... 251
4. Решение уравнения &.F(x) =
1. Вычисление чисел Бернулли.................256
2 Дальнейшие свойства чисел Бернулли......,;.... 258
3. О малой теореме Ферма................., .'262
4 Другой вид производящей функции бернуллиевых чисел . , . 262
5. Теорема Штаудта......................264
6. Аналитические свойства многочленов Бернулли........ 269
7. Теорема умножения бернуллиевых многочленов.........270
8. Геометрические свойства многочленов Бернулли.......270
§ 3. Формула Эйлера....................... 273
1. Предварительные соображения................273
2. Строгий вывод формулы Эйлера с остаточным членом.....277
3. Остаточный член формулы Эйлера.............281
4. Другая форма остаточного члена формулы Эйлера......282
5. Формула Стирлинга.....................286
"лава V Уравнения в конечных разностях ............290
§ 1. Постановка задачи.................... . 290
§ 2. Линейные уравнения первого порядка............292
1. Однородное линейное уравнение...............292
2. Неоднородное линейное уравнение..........•. . . . 293
§ 3. Линейные уравнения. Общая теория............. 294
1. Общий вид линейных уравнений...............294
2. Основные теоремы о решениях линейного уравнения ..... 295
3. Линейная зависимость и независимость функций.......298
4. Свойства частных решений линейного однородного уравнения 302
5. Неоднородное линейное уравнение. Метод вариации постоянных 305
6. Выражение многократной суммы через однократную.....308 -
§ 4. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами . . . .311
1. Однороднее линейное уравнение. Характеристическое уравнение 311
2. Случай кратных корней...................313
3. Общее решение и линейная независимость частных решений. . 315
4. Решение неоднородного линейного уравнения......, . 318
5 Примеры..................,,,,.,.,, 319
g ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 5» Теорема Пуанкаре......................326
, 1. Постановка вопроса.....................326
2. Теорема Пуанкаре......................327
3. Теорема Перрона...................'.... 336
4. Пример к теореме Пуанкаре.................338
^§ 6. Теорема Гёльдера......................340
§ 7. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка..............344
1. Уравнения бесконечного порядка как обобщение линейных • разностных уравнений . . ..................344
2. Линейные однородные дифференциальные уравнения бесконечного порядка с постоянными коэффициентами........346
3. Обобщенные функции Бернулли, порождаемые оператором L(F) 357 4 Линейные неоднородные уравнения............. 359
5. Обобщения понятия периода функции............363
Литература по теории конечных разностей..............374
>( ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Теория конечных разностей имеет большое значение как для приближенных вычислений, в том числе для численного интегрирования и приближенного решения дифференциальных уравнений, так и для конструктивной теории функций действительного и комплексного переменного, теории вероятностей и теории чисел. По своей современной проблематике теория конечных разностей ближе всего к конструктивной теории функций, с которой она в значительной степени и сливается. Исторически основные линии развития теории конечных разностей в действительной области были определены работами Л. Эйлера, П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, а в наше время — работами С. Н. Бернштейна и его школы. За последние 20 лет получили у нас большое развитие и исследования в области комплексного переменного.
Предлагаемая читателям книги написана на основе книги «Конечные разности», часть 1, 1936 г., переработанной и дополненной рядом глав, в которых излагаются главным образом некоторые вопросы, относящиеся к проблематике конечных разностей для комплексного переменного с приложениями как в самой теории функций, так и в теории чисел. Если по конструктивной теории функций в действительной области существует большая отечественная литература, с которой можно познакомиться достаточно хорошо, например по книге И. П. Натансона «Конструктивная теория функций», то работы в области комплексного переменного рассеяны по различным статьям и книгам и представлены в нашей литературе значительно меньше. Для предлагаемой книги были использованы следующие учебники по конечным разностям: А. Марков «Исчисление конечных разностей», Д. Селиванов «Курс исчисления конечных разностей» и Н. Нёрлунд «Исчисление конечных разностей» (нем!), из которых был взят ряд задач и примеров. Новые главы книги излагают главным образом уже современную журнальную литературу. Для университетского курса конечных разностей можно взять главу 1, кроме, может быть, § 5 и некоторых пунктов § 6, отдельные части, по выбору, главы Н; главу IV и главу V без последнего параграфа. Остальные части
Цена: 300руб.
