Оптимальное управление. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., ФсГм ин С. В.—М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1979. /
Книга написана на основе преподавания курса «Оптимальное управление» на механико-математическом факультете МГУ. Она состоит из трех концентров: 1) элементарный вывод основных условий экстремума и решение конкретных задач; 2) применение теорем дифференциального исчисления в банаховых пространствах к доказательству необходимых условий экстремума; 3) дополнительные вопросы теории экстремальных задач. Особенностью книги является единый подход к различным задачам на экстремум.
Книга согласована с учебником А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа».
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................ 7
Глава I. Введение . . . ........,........ . 11
§ 1.1. Как возникают экстремальные задачи? ...... 11
1.1.1. Классическая изопериметрическая задача. Задача Дидоны (12). 1.1.2. Другие старинные экстремальные задачи в геометрии (16). 1.1.3. Вариационный принцип Ферма и принцип Гюйгенса. Задача о преломлении свЛа (20). 1.1.4. Задача о брахистохроне. Зарождение вариационного исчисления (24).
1.1.5. Аэродинамическая задача Ньютона (27).
1.1.6. Задача о рационе и транспортная задача (28).
1.1.7. Задача о быстродействии (29).
§ 1.2. Как формализуются экстремальные задачи? .... 29 1.2.1. Основные определения (29). 1.2.2. Простейшие примеры формализации экстремальных задач (31). 1.2.3. Формализация задачи Ньютона (33). 1.2.4. Различные формализации классической изопе-риметрической задачи и задачи о брахистохроне. Простейшая задача о быстродействии (35). 1.2.5. Формализация транспортной задачи и задачи о рационе (38). 1.2.6. Основные классы экстремальных задач (39).
§ 1.3. Правило множителей Лагранжа и теорема Куна—Так-
кера....................... 44
1.3.1. Теорема Ферма (44). 1.3.2. Правило множителей Лагранжа (47). 1.3.3. Теорема Куна — Так-кера (52). 1.3.4. Доказательство конечномерной теоремы отделимости (57).
§ 1,4. Простейшая задача классического вариационного исчисления и ее обобщения.............. 58
1.4.1/ Уравнение Эйлера (58). 1.4.2. Необходимые условия в задаче Больца. Условия трансверсальности {64). 1.4.3. Расширения простейшей задачи (66). 1.4.4. Игольчатые вариации. Условие Вейер-штрасса (74). 1.4.5. Изопериметрическая задача и задача со старшими производными (77).
§ 1,5. Задача Лагранжа и основная задача оптимального
управления.................... 80
1.5.1. Постановки задач (80), 1.5.2. Необходимые условия в задаче Лагранжа (82). 1,5.3. Принцип
максимума Понтрягина (84). 1.5.4. Доказательство принципа максимума в задаче со свободным концом (87). § 1,6. Решение задач.................. 94
1.6.1. Геометрические экстремальные задачи (95).
1.6.2. Аэродинамическая задача Ньютона (99).
1.6.3. Простейшая задача о быстродействии (103). ,
1.6.4. Классическая изопериметрическая задача и задача Чаплыгина (107). 1.675. Задача о брахистохроне и некоторые задачи геометрии (112).
Глава II. Аппарат теории экстремальных задач ..... 115
§ 2.1. Предварительные сведения из функционального анализа ....................... 115
2.1.1. Линейные нормированные и банаховы пространства (115). 2.1.2. Произведение пространств. Фактор-пространство (117). 2.1.3. Теорема Хана —i Банаха и ее следствия (120). 2.1.4. Теоремы отделимости (123). 2.1.5. Теорема Банаха об'обратном операторе и лемма о правом обратном отображении (127)., 2.1.6. Лемма о замкнутости образа (129). 2.1.7. Лемма об аннуляторе яща регулярного оператора (130). 2.1.8: Абсолютно непрерывные функции (130). 2.1.9. Теорема Рисса об общем виде линейного функционала в пространстве С, Формула Дирихле (134).
§ 2.2. Основы дифференциального исчисления в линейных
нормированных пространствах .......... 136
2.2.1 > Производная по направлению, первая вариация, производные Гато и Фреше, строгая дифференцируе-мость (137), 2.2.2. Теорема о суперпозиции дифференцируемых отображений (144). 2.2.3. Теорема о ._ среднем и ее следствия (147). 2.2.4. Дифференцирование в произведении пространств. Частные производные. Теорема о полном дифференциале (151).
2.2.5. Производные высших порядков. Формула Тейлора (154).
§ 2.3. Теорема о неявной функции ........... 161
2.3.1: Формулировка теоремы о существовании неявной функции (161). 2.3.2. Модифицированный принцип сжимающих отображений (162). 2.3.3. Доказательство теоремы (163). 2.3.4. Классические теоремы о неявной функции и обратном отображении (166). 2.3.5. Касательное пространство и теорема Люстер-ника (171).
§ 2.4. Дифференцируемость некоторых конкретных отображений ....."................. 174
2.4.1. Оператор Немыцкого и оператор дифференци-, альной связи (174). 2.4.2. Интегральный функционал (178). 2.4.3, Оператор краевых -условий (181).
§ 2.5. Необходимые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений .............. 183
2.5.1. Основные предположения (184). 2.5.2. Локальная ^теорема существования (186). 2.5.3. Теорема единственности (189), 2.5.4. Линейные дифференци-
альные уравнения (191). 2.5.5. Глобальная теорема о существовании и непрерывной зависимости решения, от начальных данных и параметров (195). 2.5.6. Теорема о дифференцируемой зависимости решений от начальных данных (201). 2.5.7. Классическая теорема о дифференцируемой зависимости решений от начальных данных (204). ,
§ 2.6*.vЭлементы выпуклого анализа . .......... 208
2.6.1. Основные определения (208). 2.6.2. Выпуклые множества и функции в линейных топологических пространствах (216). -2.6.3. Преобразование Лежан-дра—Юнга— Фенхеля. Теорема Фенхеля—Моро (224).
2.6.4. Субдиффереяциал. Теорема Моро—Рокафел-лара. Теорема Дубовицкого—Милютина (229).
Глава III. Принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями........................ 238
§ 3.1. Элементарные задачи.....'.......... 238
3.1.1. Элементарные з'адачи без ограничений (238).
3.1.2. Элементарная задача линейного программирования (243). 3.1.3. Задача Больца (244). 3.1.4. Элементарная задача оптимального управления (247).
3.1.5. Принцип Лагранжа для задач с равенствами и неравенствами (248).
§ 3.2. Принцип Лагранжа для гладких задач с ограничениями типа равенств и неравенств....... . 252
3.2.1. Формулировка теоремы (252). 3.2.2. Правило множителей для гладких задач с равенствами (253).
3.2.3. Редукция задачи (256). 3.2.4. Доказательство теоремы (257).
§ 3.3*. Принцип Лагранжа и двойственность в задачах выпуклого программирования ............ 261
3.3.1. Теорема Куна—Таккера (субдифференциальная форма) (261). 3.3.2. Метод возмущений и теория двойственности (263). 3.3.3. Линейное программирование:' теорема существования и теорема двойственности (269). 3.3.4. Теорема двойственности для задачи о кратчайшем расстоянии. Лемма Хоффмана и лемма о минимаксе (275).
§ 3.4*. Необходимые условия второго порядка и достаточные условия экстремума в гладких задачах .... 287 3.4.1. Гладкие задачи с равенствами (287). 3.4.2, Гладкие задачи с равенствами и неравенствами—необходимые условия второго порядка (289). 3.4.3. Достаточные условия экстремума для гладких задач с равенствами и неравенствами (293).
Глава IV. Принцип Лагранжа в задачах классического вариационного исчисления и оптимального управления . . . 297
§ 4.1. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа ..... "297
4.1.1. Постановка задачи и формулировка теоремы
. (297). 4.1.2. Редукция задачи Лагранжа к гладкой
задаче (303). 4.1.3. Обобщенная лемма Дюбуа — Рей-
мона (306). 4.1.4. Вывод условий стационарности
(308). 4.1.5. Задача со старшими производными. Уравнение Эйлера — Пуассона (310).
§ 4.2. Принцип максимума Понтрягина .......,. . 314
4.2.1. Постановка задачи оптимального управления (314). 4.2.2. Формулировку принципа максимума. Принцип Лагранжа в задаче оптимального управления (319). 4.2.3. Игольчатые вариации (322). 4.2.4. Редукция к конечномерной задаче (326). 4.2,5. Доказательство принципа максимума (328). 4.2.6. Доказательство леммы о пакете иголок (335). 4.2.7. Дока-зательствол'еммыоб интегральных функционалах (345). ' §4.3*. Задачи оптимального управления, линейные по фазовым переменным ................ 347
4.3.1. Редукция задачи оптимального управления, линейной по фазовым переменным, к задаче'ляпу-новского типа (347). 4.3.2. Теорема Ляпунова (350). 4.3.3. Принцип Лагранжа для ляпуновских задач (353). 4.3.4. Теорема двойственности (361). 4.3S5. Принцип максимума для задач оптимального управления, линейных по фазовым переменным (366). § 4.4. Применение общей теории к простейшей задаче классического вариационного исчисления ....... 37Q.
4.4.1. Уравнение Эйлера. Условие Вейерштрасса. Условие Лежандра (370). 4.4.2. Условия второго порядка для слабого экстремума. Условия Лежандра и Якоби (373). 4.4.3. Гамильтоновформализм. Теорема об интегральном инварианте (377). 4.4.4. Достаточные условия абсолютного "экстремума в простейшей задаче (386). 4.4.5. Сопряженные точки. Достаточные условия сильного и слабого экстремума (391). 4.4.6. Теорема Э. Нётер (402). 4.4.7. Вариационный • принцип и законы сохранения в механике (407).
Комментарии и путеводитель по литературе ........ 411
Литература ........................ 414
Список основных обозначений ............... 420
Предметный указатель............•........ 425
ПРЕДИСЛОВИЕ
Одной из характерных особенностей современной эпохи является все возрастающее внимание к проблемам управления. Как никогда прежде, ощущается потребность в. плодотворном и эффективном использовании природных богатств, огромных людских ресурсов, материальных и технических средств. Говоря о наиболее приметных явлениях научно-технического прогресса в XX веке, обычно называют расщепление атома, освоение космоса, создание электронной вычислительной техники. На этом фоне теория управления выглядит пока менее эффектно, хотя в развитии, современной цивилизации она уже играет выдающуюся роль, и есть основание думать, что в будущем эта роль станет еще значительней.
Всюду, где имеется возможность активного участия человека, возникает проблема отыскания наилучшего, или, как говорят, оптимального из возможных управлений. Вызванные к жизни потребностями экономики и техники, оптимизационные проблемы потребовали в свою очередь создания новых разделов математики»
В 40-х годах исследование задач экономики породило новое направление анализа, получившее название линейного и выпуклого программирования. В те же годы приобрели актуальность задачи управления летательными аппаратами и технологическими процессами сложной структуры. Соответствующая математическая теория была создана в середине пятидесятых годов и получила название теории оптимального управления. Выдающуюся роль сыграл в этом «принцип максимума» Л. Cj 'Понтрягина. В теории оптимального управления произошел синтез идей и методов исследования, с одной стороны восходящих к классикам вариационного исчисления, а
Цена: 150руб.
