Книга представляет собой учебное пособие по курсу математического анализа. Она не является учебником и не следует официальным программам курса математического анализа, хотя формально знаний основ анализа не предполагается. Книга рассчитана в первую очередь на студентов, знакомых уже с элементами дифференциального и интегрального исчисления и желающих углубить свои знания. В гл. 1 дается аксиоматическое построение теории вещественных чисел. В гл. 2 излагаются элементы теории множеств и теории математических структур. Гл. 3 посвящена метрическим пространствам. В гл. 4 строится общая теория пределов, использующая упрощенную схему фильтров Картана. В гл. 5 рассматривается понятие непрерывности и изучаются элементарные трансцендентные функции. В гл. 6 излагается теория рядов — числовых и функциональных. Гл. 7—8 посвящены собственно дифференциальному исчислению, а гл. 9—интегральному исчислению. Гл. 10 вводит читателя в теорию аналитических функций; ее методы используются, в частности, в гл. 11 о несобственных интегралах.
ОГЛАВЛЕНИЕ
/*
Предисловие......................... °
ЧАСТЬПЕРВАЯ ВВЕДЕНИЕ В АНАЛИЗ
Глава 1. Вещественные числа............... 13
§ 1.1. Первоначальные сведения о множествах...... 13
§ 1.2. Аксиомы вещественных чисел........... 16
§ 1.3. Следствия из аксиом сложения.......... 18
§ 1.4. Следствия из аксиом умножения......... 19
§ 1.5. Следствия из аксиом порядка........... 22
§ 1.6. Следствия из аксиомы о верхней грани...... 25
§ 1.7. Принцип Архимеда и его следствия........ 29
§ 1.8. Принцип вложенных отрезков Кантора...... 35
§ 1.9. Расширенная область вещественных чисел..... 36
Дополнение к главе 1. Логическая символика . . 38
Задачи......................... 39
Историческая справка................. 40
Глава 2. Элементы теории множеств............ 41
§ 2.1. Операции над множествами............ 41
§ 2.2. Эквивалентность множеств............ 43
§ 2.3. Счетные множества................ 46
§ 2.4. Множества мощности континуума......... 49
§ 2.5. Понятие о математической структуре. Изоморфизм
структур..................... 50
§ 2.6. Пространство п измерении............ оо
§ 2.7. Комплексные числа................ 60
§ 2.8. Общее понятие функции. График......... 65
Задачи......................... 67
Историческая справка ................. 68
Глава 3, Метрические пространства............ 70
§ 3.1. Определения и примеры............. 70
§ 3.2. Открытые множества............... 78
§ 3.3. Сходящиеся последовательности и гомеоморфизм . . 81
§ 3.4. Предельные точки................ 91
§ 3.5. Замкнутые множества .............. 95
§ 3.6. Всюду плотные множества и замыкания...... 97
§ 3.7. Полные пространства............... 100
§ 3.8. Пополнение................... 1°7
t ОГЛАВЛЕНИЕ
§ 3.9. Компактность..................Ill
Задачи .................X......119
Историческая справка..........1......121
Глава 4. Общая теория пределов...............122
§ 4.1. Определение предела...............122
§ 4.2. Общие теоремы о пределах............131
§ 4.3. Пределы числовых функций............132
§ 4.4. Предельные точки функции............139
§ 4.5. Функции, неубывающие по направлению.....141
§ 4.6. Основные теоремы о числовых последовательностях 144
§ 4.7. Пределы векторных функций...........148
Задачи.........................151
Историческая справка..................153
Глава 5. Непрерывные функции..............154
§ 5.1. Непрерывные функции на метрическом пространстве 154 § 5.2. Непрерывные числовые функции на числопой оси 162
§ 5.3. Монотонные функции...............165
§ 5.4. Логарифм....................169
§ 5.5. Экспонента.....................172
§ 5.6. Тригонометрические функции..........k 181
§ 5.7. Приложения тригонометрических функций.....188
§ 5.8. Векторные непрерывные функции векторного переменного .....................195
§ 5.9. Последовательности функций...........203
Задачи......................... 208
Историческая справка.................210
Глава 6. Ряды...................... 211
§ 6.1. Числовые ряды. Знакоположительные ряды . . . .211
§ 6.2. Ряды с любыми вещественными членами .....219
§ 6.3. Действия с рядами................221
§ 6.4. Ряды векторов..................227
§ 6.5. Ряды функций..................236
§ 6.6. Степенные ряды................ . 238
Задачи ........................242
Историческая справка.................246
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Глава 7. Производная...................249
§ 7.1. Определение производной.............249
§ 7.2. Второе определение производной.........258
§ 7.3. Дифференциал..................260
§ 7.4. Теоремы о конечных приращениях........262
§ 7.5. Расположение кривой относительно своей касательной 264
§ 7.6. Правила Лопиталя................ 268
Задачи.........................270
Историческая справка ,..,,..,,..,,.,,, 273
ОГЛАВЛЕНИЕ q
Глава 8. Высшие производные...............274
§ 8.1. Определения и примеры.............274
§ 8.2. Формула Тейлора................277
§ 8.3. Анализ поведения функции в окрестности данной
точки......................280
§ 8.4. Высшие дифференциалы .............285
§ 8.5. Ряд Тейлора..................286
§ 8.6. Эгспонента и тригонометрические функции в комплексной области.................289
§ 8.7. Гиперболические функции........... . 294
Задачи........."................297
Историческая справка .................299
Глава 9. Интеграл Римана.................300
§ 9.1. Определение интеграла и теоремы существования 300
§ 9.2. Зачем нужен интеграл?..............314
§ 9.3. Интеграл как функция верхнего предела.....321
§ 9.4. Техника неопределенного интегрирования.....327
§ 9.5. Вычисление определенных интегралов.......338
§ 9.6. Приложения интеграла..............348
§ 9.7. Интегрирование и дифференцирование последовательности функций................373
§ 9.8. Интегрирование и дифференцирование по параметру 379
§ 9.9. Криволинейные интегралы............385
Задачи.........................393
Историческая справка..................396
Глава 10. Аналитические функции.............397
§ 10.1. Определения и примеры.............397
§ 10.2. Криволинейные интегралы от комплексных функций 406
§ 10.3. Теорема Коши и ее следствия..........414
§ 10.4. Вычеты и изолированные особые точки......428
§ 10.5. Отображения и элементарные функции......440
Задачи.........................450
Историческая справка ................. 453
Глава 11. Несобственные интегралы............455
§ 11.1. Несобственные интегралы первого рода...... 455
§ 11.2. Несобственные интегралы второго и третьего рода 468 § 11.3. Вычисление несобственных интегралов с помощью
вычетов..................... 473
§ 11.4. Несобственные интегралы, содержащие параметр 483
§ 11.5. Гамма-функция и бета-функция Эйлера...... 495
Задачи......................... 508
Историческая справка .............. ... 509
Указания и ответы к задачам................. 510
Алфавитный указатель ,,,,.,..,,..........523
ПРЕДИСЛОВИЕ
Математический анализ есть большая область математики, связанная с понятиями функции, производной и интеграла. К настоящему времени эта область обнимает большое количество меньших областей—дифференциальные уравнения (обыкновенные и в частных производных), интегральные уравнения, функции комплексного переменного, дифференциальную геометрию, вариационное исчисление и другие. Но если содержание математического анализа можно считать установившимся, то во взглядах на его структуру происходят значительные перемены. В классическом курсе 20-х годов Э. Гурса весь анализ представлен как бы на огромной равнине— на едином уровне абстракции; в книгах нашего времени большое внимание уделяется выявлению в анализе различных «этажей» абстракции, т. е. различных «структур» (Бурбаки), характеризующих математико-логнческие основы исходных построений. Обращение к основам приводит к ясности существа дела, освобождая математика от учета конкретной индивидуальности объекта, а понимание существа дела позволяет немедленно включить в рассмотрение новые объекты с иной индивидуальностью, но с тем же глубинным устройством.
Так, было известно доказательство Пикара существования и единственности решения дифференциального уравнения, основанное на методе последовательных приближений искомой функции на отрезке другими функциями, получающимися по определенным правилам. А затем был сформулирован (Банахом и другими) «метод неподвижной точки», которым была доказана та же теорема. Он обнаружил существенную часть в доказательстве Пикара: наличие сжимающего оператора в некотором метрическом пространстве. Вся же обстановка — числовые функции на отрезке, дифференциальное уравнение —
ПРЕДИСЛОВИЕ 7
оказалась несущественной. В результате «метод неподвижной точки» не только сделал более прозрачным, «геометрическим» доказательство теоремы Пикара, но и дал возможность, развивая заложенную в нем идею, доказывать множество теорем существования, где речь шла даже не о функциях на отрезке и не о дифференциальных уравнениях. То же относится к геометрии гильбертова пространства, к исчислению дифференцируемых функционалов и многому другому.
В этой книге мы излагаем основные концепции математического анализа применительно к функциям одного переменного. Однако «одно переменное» мы понимаем в несколько расширенном смысле. Дело в том, что для таких основных понятий анализа, как предел и непрерывность, разница между классическими случаями одного и нескольких переменных не столь существенна; в этих главах мы предпочитаем вести изложение в оптимальной общности, понимая под «одним переменным», например, точку метрического пространства. Но когда дело доходит до дифференцирования и интегрирования, разница между указанными классическими случаями становится уже весьма ощутимой, и мы ограничиваемся там функциями «на самом деле» от одного переменного — вначале вещественного, а затем комплексного. Однако значения этих функций лишь вначале числовые; далее они векторные, даже принадлежащие к нормированному пространству, что открывает' широкий круг приложений. Аналитические функции составляют в нашем построении неотъемлемую часть анализа. Мы не касаемся в этой книге всей обширной области дифференциального и интегрального исчисления функций нескольких переменных, изложение которой требует по крайней мере еще целого тома.
Мы не ввели в книгу интеграл Лебега, поскольку в рассматриваемых здесь задачах анализа встречаются лишь непрерывные функции (или функции, обладающие конечном числом точек разрыва), для интегрирования которых достаточно интеграла Римана. В более высоких задачах анализа^ например в теории интегральных уравнений, решающая роль, интеграла Лебега неоспорима. Но изложение теории интеграла Лебега в данной книге могло бы переакцентировать внимание читателя в специфические тонкости теории функций действительного переменного и теории меры. Поэтому мы оставили за рамками книги интеграл Лебега и его приложения.
Цена: 150руб.
