В книге систематически излагается теория распределений Соболева —Шварца (в нашей терминологии — теория обобщенных функций). Особое внимание уделяется представлению распределений с помощью аналитических функций. Рассматривается ряд недавних результатов, связанных с аналитическим представлением распределений. Даются приложения теории распределений к квантовой теории поля, теории электрических цепей, теории вероятностен и математической статистике.
Книга представляет интерес для широких кругов научных работников, аспирантов и студентов —математиков, физиков и инженеров (особенно электриков), владеющих основами вещественного и комплексного анализа.
ОТ РЕДАКТОРА
Предлагаемая вниманию читателя монография „Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье" написана известным немецким математиком (ныне работающим в США) профессором Гансом Бре-мерманом — специалистом по теории функций многих комплексных переменных, теории обобщенных функций и их приложениям к математической биологии.
В этой книге излагается теория распределений Соболева — Шварца. Основная ее особенность состоит в том, что в ней устанавливается и систематически изучается связь между распределениями и аналитическими функциями, а именно: распределения представляются через граничные значения функций, аналитических в трубчатых радиальных областях, примыкающих друг к другу по общему остову. Для этого вводится новая операция над распределениями, называемая аналитическим представлением, и подробно изучаются ее свойства. Устанавливается связь аналитического представления с обобщенным интегралом Кошн и обобщенным преобразованием Карлемана — Фурье. Излагается ряд новых результатов, связанных с аналитическим представлением распределений. Даются интересные приложения теории распределений и, в частности, ее аналитического аппарата к квантовой теории поля, теории электрических целей, теории вероятностей и математической статистике.
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора Предисловие
Глава 1. Введение ......................
1.1. Функция Хевисайда и задача о ее производной .
1.2. Функция Хевисайда как идеализация ......
1.3. Теория Темпля и Лайтхилла ..........
1.4. Обобщенные функции .............
1.5. Распределения Шварца .............
1.6. Производные обобщенных функций .......
1.7. Особенности ..................
1.8. Представления функций вещественного переменного с помощью аналитических функций комплексного переменного .............
1.9. Представление распределений ..........
Часть 1. Теория Шварца
Глава 2. Распределения Шварца ...............
2.1. Обобщенные функции .............
2.2. Классы функций (С ) и (С°°), сходимость и норма
2.3. Функции класса (С°°) с компактным носителем .
2.4. Пространства (& к) и (@'д) ..........
Пространства (5$) и (<#'), распределения Шварца Пространства (?) и (Ч ) ............
.. Мультипликаторы ...............
2.8. Дифференцирование распределений ......
2.9. Первообразные распределений. Случай я = 1 . .
2.10. Первообразные высших порядков .......
2.11. Первообразные распределений. Случай я > 1 . .
2.12. Сходимость обобщенных функций .......
2.5. 2.6. 2.7.
Глава 3. Регуляризация, локализация и носители распределений
3.1. Регуляризация функций ............
3.2. Приближение функции с помощью ее регуляризации .... ................
3.3. Регуляризация характеристических функций . .
3.4. Разложение единицы . ..... . ......
16 18
19 20
22 22 23 25 26
26 27 27 28 28 30 31 33
35 35
36 38 39
3.5. Покрытие и разложение единицы для Е"
3.6. Существование разложений единицы frm' ' ' ЗЭ ствующих конечным покрытиям комп^ "' множеств..... к°мпактных
3'7' ?1Р1ЩеНИе В "У™ Распределения' в' oWn^;,; *
................
3.8. Носитель распределений ....... !.''"'
3.9. Характеризация (Ч') ....... ......
ЗгШ, (&)' плотно в ? '''*'
.„
43
....... 4.
, (&)' плотно в (?) .......... .'.'.'*' 45
3.11. Изменение основных функций вне носител'я 'распределения ................. 46
3.12. Продолжение распределений с компактным но-' сителем из (Ql) на (?') ............. 46
3.13. Локализация распределений ....... '.'.'. 47
Глава 4. Распределения конечного порядка .......... 49
4.1. Пространства (#?) и (я'™} .......... 49
4.2. Пространства (Qsm) a (2""}. Распределения порядка т ................... 49
4.3. Норма в пространстве (^^) .......... 50
4.4. Распределения с компактными носителями имеют конечный порядок ............... 51
4.5. Обращение в нуль распределений конечного порядка ..................... 54
4.6. Распределение с точечным носителем ...... 57
4.7. Первообразные распределений конечного порядка 58
Добавление 1 ........................ 60
АЛЛ. Топологические пространства, сходимость в то-
пологии ................... 60
АЛ .2. Топологические линейные пространства .... 61
А. 1.3. Топология в (g) ...... ......... 62
А. 1.4. Топология в (®) ............... 63
Часть II. Связь с
аналитическими функциями
Глава 5. Представление распределений с помощью аналитиче-
ских функций ................... "°
5.1. Представление Коши распределений из (?') • • • 66
5.2. Обращение функции Т(г) в нуль на бесконечности. Разложение Лорана для Т(г) ..._.•• ***
5.3. Граничные значения гармонических функций . .
5.4. Гармоническое представление функций класса
(Г'п\ . . . • 'и
(^ ) ................. •. • • • у!
5.5. Теорема о представлении функции .......
Оглавление
271
5.6. Теорема о представлении распределений из (3') 73
5.7. Распределения как граничные значения гармонических функций................ 74
5.8. Неединственность аналитического представления 75
5.9. Аналитическое представление распределений
из (&').................... 76
Глава 6. Промежуточные пространства (©а) и (©„)..... 80
6.1. Асимптотические грани............. 80
6.2. Пространства (@а) и (©'„)........... 81
6.3. Производные в (@а)............•. . 81
6.4. Продолжение распределений из (&') на (0а) . . 82
6.5. Теорема представления для (©Li), « = 1..... 84
6.6. Представление распределений из (©„) при произвольном о................... 85
6.7. Представление распределений из (®'а) с помощью деления на полином.............. 88
Глава 7. Примеры аналитических представлений....... 89
7.1. 6(г), представление Коши 6-функции..... 89
7.2. Распределение 6+............... 89
7.3. Существование lim 7(* + 'e)......... 93
е-»+о
7.4. Аналитическое представление с+........ 93
7.5. Главная часть Р (t~n)............. 94
7.6. Эквивалентность Р(/~') и главного значения Коши..................... 95
7.7. Интегрирование вокруг полюса........ 96
7.8. Тождества, связывающие 6+) Р (t~n), б и б_ . . 96
7.9. б+, б_ и Р (t~l) как обобщенные функции в (s>'1) 97
7.10. Произведение Р (t~l) на функцию класса (С1) . 98
7.11. Аналитическое представление полиномов .... 98
7.12. Аналитическое представление функции Хеви-сайда H(t).................. 99
7.13. Аналитическое представление е(/) и tkH(t), k^O 100
оо
7.14. Распределение tay(t)dt, а вещественно ... 101
— 00
7.15. Аналитическое представление функций из L2 . , 103
7.16. Аналитическое представление е~*....... 103
7.17. Пример аналитической функции, которая не дает представления распределения ......... 103
7.18. Преобразование Гильберта.......... 105
272 Оглавление
Добавление 2........................ Ю7
А.2.1. Вычисление интеграла ............ 107
А.2.2. Вычисление предела............. 107
А.2.3. Обращение предела в нуль.......... 108
А.2.4. Граничные значения функции f*(x + te) в точках
непрерывности ................ 108
А:2.5. Граничные значения f*(x + ie.); общий случай . 109
А.2.6. Воспроизводящие ядра............ ПО
Часть III. Преобразования Фурье, свертка
Глава 8. Преобразования Фурье............... 113
8.1. Обозначения ................. 113
8.2. Преобразование Фурье функций класса ?,, . . . 113
8.3. Преобразование Фурье функций класса L2 . . . 114
8.4. Формула Парсеваля.............. 115
8.5. Основания для обобщения определения .... 115
8.6. Представление Коши преобразований Фурье функций классов L, и L,........... 116
8.7. Преобразование Фурье Н(1)е''г и (ю - z)~l . . 118
8.8. Распределения медленного роста. Обобщенное преобразование Фурье............. 119
8.9. Теорема об обращении zT(f, z)........ 120
8.10. Связь с преобразованием Лапласа....... 120
8.11. Преобразование Фурье функций из (<^) .... 121
8.12. Пространство (8) быстро убывающих функций 122
8.13. Преобразование Фурье функций из (S) .... 123
8.14. Распределения медленного роста. Пространство
(S') ...............'...... 123
8.15. Преобразование Фурье распределений медленного роста .................. 124
8.16. Преобразование -Т функций медленного роста . 124
8.17. Обратное преобразование Фурье........ 125
8.18. Производные в (S') . . . . "........._. 126
8.19. Первообразные преобразований Фурье функций класса (С1).................. 127
8.20. Производные функций медленного роста .... 127
8.21. Распределения медленного роста как производные конечного порядка от функций медленного роста..................... 127
8.22. Обобщенное преобразование Фурье распределений медленного роста ............. 128
8.23. Эквивалентность <Га, еш} и ff~(T) для Ге(й') 129
8.24. Аналитичность (Гм, eia>z) для Ге=(<П..... Jo?
8.25. Примеры................... '-51
8.26. IT (ta, г), а - вещественное. Дифференцирование
и интегрирование дробного порядка...... J;™
8.27. Пространство (%)............... 1Л
8.28. Преобразование Фурье функций из (2>) и (Я) . 137
8.29. Пространство (2'). Преобразование Фурье распределений из (©') .............. 139
.30. Преобразование Фурье обобщенных функции
140
8.30.
из (Ж')
8.31. Теорема об обращении преобразования Фурье обобщенных функций из (&') и (S'} ...... НО
8.32. Мультипликаторы ............... 140
8.33. Преобразование Фурье распределений с компактным носителем ................ 141
Глава 9. Свертка ...................... 14!
9.1. Свертка функций из LJ и L2 ........... 143
9.2. Преобразование Фурье свертки функций из Ll 144
9.3. Преобразование Фурье сверток функций из Ls . 145
9.4. Ассоциативность свертки функций из LI .... 146
9.5. Аналитическое представление свертки функции
из LI ................. ". . . . 146
9.6. Примеры ... ................ 147
9.7. Свертка распределений с функциями класса (С00) 148
9.8. Носитель и классификация сверток Т * ср для Ге(й') .................... 149
9.9. Преобразование Фурье свертки Г*ср для
Г «=(«'), 4>е=(8) ............... 149
9.10. Свертка распределений ............ 150
9.11. Примеры ................... 151
9.12. Применение к обыкновенным дифференциальным ур — -^„..м.еп-
тами .
9.13. Интегра
9.14. Пример
9.15. Свертка вида g(t — x)j(x)dx ........ 156
• * J
о
9.16. Операционное исчисление ........... 157
9.17. Обыкновенные дифференциальные уравнения
с кусочно-постоянными коэффициентами .... 158
Добавление 3 .... ................... . 161
А.3.1. Обращение преобразования Фурье для непре-
рывных. функций из L, ............ 161
^.3.2. Единственность почти всюду граничных значе-
ний гармонических представлений ....... 162
^,3.3. Обращение преобразования Фурье для функций
из L]. Общий случай .......... ... 163
V.3.4. Преобразование Фурье функций класса (С"!)
с компактным носителем .... ....... 163
А.3.5, Сохранение нормы в LJ. Специальный случай . 164
[рименение к uutxmiuu.____
ным уравнениям с постоянными коэффициентами .....................152
9.13. Интегральные уравнения типа свертки.....154
...........155
А
А.З
А.З
274 „
Оглавление
A.3.G. Приближение функций из L2 функциями класса
(С00).....................165
А.3.7. Полнота 12..................166
А.3.8. Норма преобразования Планшереля......166
А.3.9. Теорема Планшереля.............168
А.3.10. Формула Парсеваля..............168
А.3.11. Каждое распределение в (g') является производной конечного порядка непрерывной функции 170 А.3.12. Каждое распределение в (8') является производной конечного порядка функции медленного роста .......
171 Часть IV. Приложения
Глава 10. Электрические цепи................172
10.1. Емкость, сопротивление и индуктивность. Законы Кирхгофа................172
10.2. Пример................ . . . 173
10.3. Произвольная внешняя э. д. с.........176
10.4. Многоконтурные цепи. Комплексный ИдМпеданс . 177
10.5. Четырехполюсники..............179
10.6. Линейные фильтры..............181
"лава 11. Дисперсионные соотношения. Умножение распределений .......................186
11.1. Абсорбтивная и дисперсивная части......186
11.2. Дисперсионное соотношение..........186
11.3. Дисперсионное соотношение с вычитаниями . . 188
11.4. Диссипация энергии и проблема умножения распределений ................ 190
11.5. Интерпретация примера............192
11.6. Связь с квантовой теорией поля........192 •
лава 12. б-функция и обобщенное преобразование Фурье
в теории вероятностей н статистике ........ 194
12.1. Распределение вероятностей..........194
12.2. Разрывное распределение вероятностей .... 194
12.3. Дискретный случай............. . 195
12.4. Спектр....................195
12.5. Характеристические функции.........196
12.6. Моменты...................197
12.7. Преобразование Фурье распределений вероятностей ....................197
12.8. Примеры...................'9°
Часть V. Аналитическое представление и преобразования
Фурье многих переменных
ава 13. Аналитическое представление. Случай нескольких переменных
Оглавление 275
13.1. Аналитические функции многих комплексных переменных.................199
13.2. га-гармонические функции..........200
13.3. Функции на ?" как граничные значения /г-гар-монических функций.............201
13.4. /i-гармоническое продолжение равномерно непрерывных функций.............203
13.5. Пространства (@а ..., а„) и {^'а .... а) • • • 205
13.6. n-гармоническое продолжение функций из (00) 206
13.7. Теорема о представлении для распределений
из (©ц)...................206
13.8. Представление аналитическими функциями . . 207
13.9. Пространства (§) и (S')...........209
13.10. Представление распределений из (S') .... 209
Глава 14. Преобразования Фурье функций многих переменных 212
14.1. Преобразование Фурье функций из /.,.... 212
14.2. Преобразование Фурье функций из (8) . . . 213
14.3. Обратное преобразование Фурье функций
из I, и (S)................. 213
14.4. Свертка функций из LI........... 214
14.5. Формула Парсеваля............. 214
14.6. Преобразование Фурье распределений из (S') 215
14.7. Функции медленного роста.......... 216
14.8. Обобщенные преобразования Фурье..... 216
14.9. Эквивалентность обобщенного преобразования Фурье и аналитического представления обычного преобразования Фурье......... 217
14.10. Пространство (Ж).............. 218
14.11. Преобразования Фурье функций из (Si) и (Z) 219
14.12. Пространство (%'). Преобразование Фурье распределений из (©')............221
14.13. Преобразование Фурье обобщенных функций
из-(Ж')................... 221
14.14. Теорема обращения для преобразований Фурье элементов из (S>') и (Ж')........... 222
14.15. Мультипликаторы.............. 222
14.16. Преобразование Фурье распределений с компактным носителем............. 222
14.17. Свертка распределений ............ 223
14.18. Многократная свертка............ 224
Глава 15. Аналитическое представление преобразований Фурье
распределений с носителем в световом конусе . . . 225
15.1. Световой конус, трубы будущего и прошлого 225
15.2. Преобразование Фурье распределений с носителем в конусе будущего........... 225
15.3. Вычисление ядра................ 226
276 Оглавление
15.4. Представление Владимирова для
''г)) .............. 230
15.5. Преобразование Фурье распределений с носите-
лем в световом конусе ............ 231
Таблица аналитических представлений и пре-
образований Фурье .............. 234
Библиография ................ 238
Дополнение. Несколько замечаний об аналитических предста-
влениях и о произведениях распределений .... 245
Литература ................... 265
Предметный указатель ............. 267
Цена: 150руб.
