343 с. Перед загл. авт. Н. Я. Виленкин, К. А. Бохан, И. А. Марон и др.
Первая часть содержит свыше 1500 задач для самостоятельного решения по трем важнейшим разделам анализа: введению в математический анализ, дифференциальному исчислению функций одной переменной а интегральному исчислению. Каждый параграф начинается решением типичных примеров и задач. Почти ко всем примерам и задачам в конце задачника даны ответы.
Предназначена книга для студентов пединститутов.
ПРЕДИСЛОВИЕ
*
Предлагаемый вниманию читателей «Задачник по курсу математического анализа» предназначен в основном для студентов педагогических институтов (хотя большая часть задачника может быть использована и студентами других учебных заведений — университетов, втузов с расширенным курсом математики и т. д.). Это определило в значительной степени подбор задач. При отборе материала авторы руководствовались действующей программой по математическому анализу для пединститутов. Лишь в нескольких местах они вышли за рамки этой программы (отдельные вопросы теории дифференциальных уравнений, тройных интегралов и т. д.). Разумеется, изучение основного материала не опирается на эти добавления.
Выбирая те или иные задачи, авторы отдавали предпочтение задачам, связанным со школьным курсом математики — ведь выпускникам пединститутов придется потом прилагать знания, полученные в курсе математического анализа, при изложении в школе таких вопросов, как функция, предел, производная и т. д. Поэтому, например, раздел «Введение в анализ» содержит гораздо больше задач, чем это обычно принято, а раздел «Дифференциальные уравнения» разработан менее подробно.
Многие задачи связаны с применением математического анализа к исследованию элементарных функций и уравнений, рекуррентно заданных последовательностей и т. д. Большое внимание уделено суммированию конечных последовательностей и рядов, заданию областей на плоскости и в пространстве системами неравенств, решению геометрических задач.
Наряду с этим многие задачи ставят целью выяснение смысла основных понятий анализа — предела последовательности и функции, непрерывности, производной и интеграла и т. д. На наш взгляд, для студента пединститута важно не столько умение быстро вйчис-лять пределы, сколько ясное и четкое понимание сути понятия предела, роли и места каждого слова в определении предела.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ......................... 3
РАЗДЕЛ 1
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ Глава 1. Понятие функции
§ 1. Вещественные числа ...................... 5
§ 2. Абсолютная величина вещественного числа ........... 9
§ 3. Функция одного переменного................. . 11
§ 4. Область существования (область определения) функции...... 22
§ 5. Обратная функция ...................... 33
Глава 2. Графики
§ 6. Элементарное исследование функции .............. 34
§ 7. Графики функций ....................... 44
Глава 3. Числовые последовательности и теория пределов
§ 8. Числовые последовательности ................. 60
§ 9. Предел числовой последовательности ............ 67
§ 10. Предел функций. Бесконечно большие функции......... 79
§ 11. Техника нахождения пределов функций............. 82
§ 12. Функции, заданные как пределы ............... 94
Глава 4. Непрерывность функции
§ 13. Непрерывность и точка разрыва функций ........... 96
§ 14. Свойства непрерывных функций ............... 106
§ 15. Равномерная непрерывность функций............. 111
РАЗДЕЛ 2
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Глава 1. Производные функций
§ 1. Задачи, приводящие к понятию производной .......... 116
§ 2. Вычисление производных .................. 119
§ 3. Дифференцируемость функций ................ 126
§ 4. Различные приложения производной ............. 132
Глава 2. Дифференциал функции
§ 5. Дифференциал функции ................... 138
§ 6. Производные и дифференциалы высших порядков ........ 140
Глава 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
§ 7. Теоремы о средних значениях функции ............. 146
§ 8. Правила Лопиталя ..................... 157
349
Глава 4. Исследование функции и построение графиков
§ 9. Экстремум функции. Наибольшее и наименьшее значения функции 161
§ 10. Направление вогнутости кривой. Точки перегиба ........ 172
§ 11. Асимптоты кривой ..................... 174
§ 12. Построение графиков функции ................. 177
§ 13. Кривые на плоскости .................... 188
РАЗДЕЛ 3 :А6 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ Глава 1. Неопределенный интеграл. Основные способы интегрирования
§ 1. Интегрирование путем разложения ............. 198
§ 2. Интегрирование путем подстановки ............. 202
§ 3. Интегрирование по частям ................. 208
Глава 2. Основные классы интегрируемых функций
§ 4. Интегрирование рациональных дробей ............. 216
§ 5. Интегрирование простейших алгебраических иррациональностей 220
§ 6. Интегрирование функций вида R (х, У'ах-'-\-bx-\-c) ........ 222
§ 7. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций 226
§ 8. Интегрирование некоторых трансцендентных функций ..... 230
Глава 3. Определенный интеграл
§ 9. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Непосред.,
ственное вычисление определенных интегралов.......... 232
§ 10. Основные свойства определенных интегралов .......... 239
§11. Вычисление определенных интегралов с помощью первообразных 253
§ 12. Замена переменной в определенном интеграле ......... 256
§ 13. Интегрирование по частям. Некоторые рекуррентные формулы 264
Глава 4. Приложения определенного интеграла
§ 14. Вычисление пределов с помощью определенных интегралов . . . 269 § 15. Вычисление средних значений функции с помощью определенного
интеграла ......................... 270
§ 16. Вычисление площадей фигур ................. 274
§ 17. Вычисление объемов тел ................... 280
§ 18. Вычисление длины дуги плоской кривой............. 286
§ 19. Вычисление площади поверхности вращения ......... 290
Глава 5. Приложение определенных интегралов к вопросам механики, физики, техники
§ 20. Вычисление давления, механической работы и других физических
величин .......................... 292
§ 21. Вычисление статических моментов и моментов инерции ..... 296
§ 22. Определение координат центров тяжести простых кривых, фигур и
пространственных тел. Теоремы Гульдена............ 298
Глава 6. Несобственные интегралы
§ 23. Вычисление интегралов с бесконечными пределами от непрерывных
функций ........................... 304
§ 24. Вычисление несобственных интегралов от неограниченных функций 307
§ 25. Геометрические и механические задачи, в которых встречаются
несобственные интегралы.................... 310
§ 26. Функции с ограниченным изменением и интеграл Стилтьеса . . . 313
Ответы ........................... 318
Цена: 150руб.
