Введение в теорию множеств и общую топологию. Александров П. С. Главная редакция физжо-математической литературы издательства •Наука», М., 1977, 368 стр.
Первые три главы книги представляют собой изложение фактов теории множеств с так называемой «наивной» точки зрения. В главах 4—6 дается изложение основных топологических фактов, касающихся метрических и топологических пространств. Особое внимание при этом обращается на метризационные теоремы и понятия компактности (бикомпактности) и паракомпактности.
Книга является учебным пособием для студентов физико-математических факультетов университетов. Она может быть использована также аспирантами различных специальностей, нуждающимися в теории множеств и топологии.
Книгу можно рассматривать как введение в современные разделы общей топологии.
Ил л, }2*Ч5ибл. 39.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие................... -л1....... 5
Глава первая. О бесконечных множествах.............. . 7
•§ 1. Понятие множества........................ 7
§ 2. Подмножества. Операции над множествами............ 8
§ 3. Взаимно однозначное соответствие между множествами, Отображение одного множества на другое. Разбиение множества на подмножества.
Семейства множеств и покрытия................. 12
§ 4. Теоремы о счетных множествах............ ...... 18
§ 5. Понятие о частично упорядоченном и (линейно) упорядоченном множестве . . ' . '.....,.................... 23
§ 6. О сравнении мощностей ..*............. ........ 28
Глава вторая. Действительные числа ....... г ........' . 34
§ I. Дедекиндовское определение иррационального числа........ ,84
4 2. Сечения в множестве действительных чисел. Верхняя и нижняя грани 37
§ 3. Действия над действительными числами................ 42
| 4. Разложение действительных чисел в двоичные дроби. Мощность континуума............................. 47
Глава третья. Упорядоченные и вполне упорядоченные множества.
Трансфинитные числа...................... 52
§ 1. Упорядоченные множества.................... 52
§ 2. Определение и примеры вполне упорядоченных множеств...... 57
§ 3. Основные теоремы о вполне упорядоченных множествах...... 62
^ 4. Счетные трансфинитные числа (порядковые числа второго класса).
Понятие конфинальности. Аксиома выбора............ 69
§ 5. Теорема Цермело . . '....................... 78
§ 6. Теоремы о кардинальных числах................. 84
•§ 7. Регулярные и иррегулярные порядковые числа. О наименьшем начальном числе, которому конфинален данный порядковый тип..... 92
Глава четвертая. Метрические и топологические пространства . . . . . >9б § 1. Определения и простейшие свойства метрических н топологических
прбстранств........................... 96
§ 2. Непрерывные отображения................... 112
§ 3. Связность............................ 118
§ 4. Базы и вес топологического пространства............ . 127
§ 5. Подмножества прямой и плоскости................ 135
3 6. Некоторые классические примеры метрических пространств и их
свойства............................. 147
ОГЛАВЛЕНИЕ
4
§ 7. Пространства со счетной базой..................15S
§ 8. Аксиомы отделимости ;......................164
§ 9. Ограниченные множества в Rn\ теоремы Больцано—Вейерштрасса,
Кантора и Бореля—Лебега. Теорема Коши............180
Глава пятая. Компактные и полные метрические пространства .... 18&
§ 1. Компактность в данном пространстве и компактность в себе .... 188
§ 2. Непрерывные отображения компактов............... 195
§ 3. Связность в компактных пространствах..............202
§ 4. Компакты как непрерывные образы канторова дисконтинуума . . .211 § 5. Определение и примеры полных метрических пространств ..... 219-
§ 6. Пополнение метрического пространства..............225
§ 7. Простейшие свойства полных метрических пространств.......229
§ 8. Компактность и полнота.....................230
§ 9. Множества, являющиеся одновременно множествами Fa и GU в компактных метрических пространствах................232
Глава шестая. Условия типа компактности и метризация топологических
пространств . . ........................238-
§ 1. Бикомпактные пространства . .".................238
§ 2. Непрерывные отображения бикомпактных пространств......248
§ 3. Теорема Вейерштрасса—Стоуна.................251
§ 4. Топологическое .произведение и теоремы Тихонова........254
§ 5. Внутренняя характеристика вполне регулярных пространств . . . 26& § 6. Максимальное бикомпактное расширение вполне регулярного пространства.........'....................270
§ 7. Построение всех бикомпактных расширений данного вполне регулярного пространства . i......................275
§ 8. Свойства связности и нульмерности для бикомпактов.......282
§ 9. Некоторые универсальные бикомпактные пространства.......288
§ 10. Диадические бикомпакты.....................291
§ 11. Открытые покрытия; паракомпактность и другие свойства типа компактности............................295 •
§ 12. Локально бикомпактные пространства..............311
§ 13. Метризационные теоремы Александрова — Урысона и Нагата — Смирнова ...............................315
Прибавление к главе шестой. Теорема о мощности бикомпактов с первой
аксиомой счетности.......................319-
Прибавление. Проекционные спектры и абсолют............323-
§ 1. Общее понятие обратного спектра топологических'пространств. Абстрактные проекционные спектры.................323-
§ 2. Проекционные спектры над семействами разбиений.........332
§ 3. Теорема реализации 'для абстрактных спектров..........342
§ 4. Леммы о неприводимых замкнутых отображениях.........345
§ 5. Абсолют регулярного пространс:ва...............34&
§ 6. Экстремально несвязные пространства...............354
§ 7. Соабсолютные пространства ....................358
Литература..............................362-
Предметный указатель........................ . 364
ПРЕДИСЛОВИЕ*)
Эта книга была задумана как . второе издание моей книги «Введение в общую теорию множеств и функций», изданной в 1948 г. Однако вскоре же после начала- работы над этим вторым изданием мне стало ясно, что речь фактически идет о написании новой книги, а не о .новом издании уже написанной; и действительно, из старой книги в новую были перенесены без существенных изменений лишь первые три главы. В переработанном виде материал шестой и седьмой глав старой книги был частично взят мною в пятую главу новой книги. Составляющие основную часть новой книги главы четвертая и шестая написаны заново, лишь с небольшими заимствованиями из Прибавлений к двум последним главам старой книги. Однако Сохранился и общий ее дух, состоящий в элементарном и—как я надеюсь — логически тщательном изложении рассуждений: формулирдвок и доказательств, и пронизывающий всю книгу так называемый «наивный» подход к основным понятиям теории множеств, непревзойденным образом воплощенный в классической книге Ф. Хаус-дорфа «Теория множеств».
Как мне кажется, предлагаемая вниманию читателя книга в ее теперешнем виде может служить руководством для первого ознакомления с общей топологией, т. е. с теорией топологических пространств, с обращением особого внимания на их важнейший частный случай—метризуемые пространства. Отсюда следует и специальное внимание, уделяемое нами проблеме метризации топологических пространств. С другой стороны,, чрезвычайно большое место в книге занимают пространства, обладающие тем или иным свойством «типа компактности», т. е. прежде всего бикомпактные (и локально бикомпактные), а также паракомпакт-ные пространства. Эти последние тесным образом связаны с общей проблемой метризации. Если прибавить, что вполне регулярные, или тихоновские, пространства суть не что иное, как подпространства бикомпактов, то станет ясным, что выделение,
*) В списке литературы читатель найдет работы, лишь непосредственно связанные с теми или иными местами основного текста.
Цена: 150руб.
