СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие........................ 4
§ 1. Как определяются математические понятия
§ 2. Расстояние в элементарной геометрии и его свойства . . 10
§ 3. Определение метрического пространства и расстояния . . 16
~ ---------««""« лппг"ГП 1HPTR ..... 23
,1 - - - 1 • -
§ 4. Некоторые примеры метрических прострлнств ..... ^о
§ 5. Пространство сообщений................ 33
§ 6. Автоматическое исправление ошибок в сообщениях . . 44
§7. Расстояния и нормы в многомерном пространстве ... 52
§ 8. Сглаживание ошибок экспериментальных измер.ний . . 65
§ 9. Более общие определения расстояния......... 69
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга является развитием лекции, прочитанной автором в Московском университете для школьников 9—10 классов. В не-й рассказывается, как из простого геометрического понятия с помощью математической абстракции возникло общее определение расстояния. Приведены различные примеры пространств с расстоянием, так называемых метрических пространств. При этом оказывается, что общее понятие расстояния связано с разнообразными математическими фактами.
На основе понятия расстояния можно изучать задачи о кратчайших путях на поверхностях, геометрические свойства многомерных пространств, методы помехоустойчивого кодирования сообщений, методы «сглаживания» результатов измерений и др.
На примере «расстояния» видно, какую роль в математике играет создание общих понятий, находящих порой самые неожиданные применения и связи. Кроме «расстояния», можно было бы еще указать на понятия «функции», «предела», «пространства», «преобразования» и менее известные в широкой аудитории понятия «изоморфизма», «группы», «кольца» и др. Среди этих понятий «расстояние»—одно из наиболее доступных для элементарного объяснения, чем, пожалуй, в основном обусловлен выбор темы этой книги.
Автору хотелось доступными для массового читателя средствами показать, как одна плодотворная идея освещает широкий круг вопросов и служит источником для получения неожиданных результатов или нового взгляда на какую-либо область знания. Эта ситуация, характерная для любой науки, в математике очень часто проявляется в наиболее чистом виде, i не заслоненная обилием необходимых, но мешающих подробностей, i
Материал, отобранный для книги, в основном диктуется этим общим замыслом.
Первые четыре параграфа как раз и должны раскрыть читателю, как происходит переход от обычного геометрического определения к общему понятию «расстояния» и что это новое «понятие» означает в различных конкретных случаях. В пятом параграфе описывается так называемое пространство сообщений, играющее важную роль в теории информации и общей теории связи.
Следующий параграф посвящен описанию методов кодирования' сообщений, при которых сообщение оказывается устойчивым к ошибкам, возникающим в процессах передачи. Так как во всех реальных средствах связи время от времени возможны ошибки, то эти методы кодирования' чрезвычайно существенны для современных систем связи и управления. Так, при передаче с борта космической ракеты на Землю, фотографии обратной стороны Луны использовались помехоустойчивые методы кодирования этого сообщения. Необходимо отметить, что основная идея этих методов состоит в надлежащем использовании свойств расстояния в пространстве сообщений.
Седьмой параграф несколько более сложен для понимания. В нем описывается важный класс пространств с расстоянием. В восьмом параграфе показано, как с помощью понятия расстояния можно получить методы сглаживания результатов измерений, т. е. фактически снижения ошибки в измерении каких-то опытных данных за счет соответствующей математической обработки. По существу в этом параграфе изложен так называемый метод наименьших квадратов. Дл'я понимания этого параграфа нужны некоторые сведения из дифференциального исчислзния. Читатель, не обладающий необходимыми познаниями, может этот параграф опустить.
В последнем параграфе рассматриваются возможные обобщения понятия расстояния. Здесь автору хотелось показать, что далеко не всякое обобщение является содержательным, т. е. обладающим интересными свойствами.
Придумать хорошее обобщение какого-либо математического понятия на самом деле не просто. В основе содержательного обобщения всегда лежат какие-то существенные свойства реального мира. В частности, важность понятия расстояния состоит в том, что целый ряд свойств многих реальных объектов связан с их взаимным расположением, которое часто можно охарактеризовать надлежащим образом определенным
Цена: 150руб.
