ПРЕДИСЛОВИЕ
В нашей популярной и учебной математической литературе имеется еще мало книг, посвященных основным понятиям математики. Между тем необходимость в такого рода литературе в настоящее время определяется задачей подготовки кадров высоко квалифицированных учителей средней школы. И если учитель не имеет возможности полностью раскрыть школьникам сущность всех основных понятий математики, то сам он должен иметь о них полное и отчетливое представление.
Предлагаемая книга посвящена разъяснению одного из самых основных понятий математики — понятия линии. Кажущееся на первый взгляд очень простым, понятие линии требует для своего общего и полного определения довольно значительных сведений из теории точечных множеств, получившей особенное развитие за последние 50 лет. Именно этим можно объяснить то обстоятельство, что вопрос об определении понятия линии, поставленный еще в древности, нашел свое полное и отчетливое разрешение лишь в 20-х годах текущего столетия. Заслуга решения этого вопроса принадлежит советскому математику П. С. Урысону.
Настоящая книга рассчитана прежде всего на студентов университетов и педагогических институтов, как дополнительный материал к тем общим и специальным курсам, в которых учащихся знакомят с основами теории множеств. Эта книга имеет в виду также учителей средней школы, самостоятельно работающих над повышением уровня своих знаний. Под руководством учителя некоторые разделы книги могут быть использованы в работе школьных математических кружков.
Книга состоит из четырех глав: в первой главе дается краткий очерк развития понятия линии и выясняется вопрос
4 ПРЕДИСЛОВИЕ
о необходимости теории точечных множеств для общего определения понятия линии.
Вторая глава посвящена изложению необходимых сведений из теории точечных множеств. Наиболее трудными в ней являются теорема 5 § 5 и теоремы 2, 3 § 6. Этот материал при первом чтении можно пропустить и вернуться к нему, когда это станет необходимым для понимания последующего.
В третьей главе рассмотрено определение линии, данное Г. Кантором, до конца исчерпывающее вопрос для случая плоских линий.
Наконец, в четвертой главе дается общее определение линии и выясняются основные свойства линии, вытекающие из определения линии.
Как из общей теории множеств, так и из теории точечных множеств приведены лишь основные определения и факты. Для более полного ознакомления с этими вопросами мы отсылаем читателя к книге П. С. Александрова «Введение в общую теорию множеств и функций», особенно к главам I, VI, VII.
Лицам, которые пожелают глубже познакомиться с понятием линии, мы можем рекомендовать работу самого П. С. У р ы-сона «О канторовых многообразиях», ч. II, Канторовы кривые, помещенную во втором томе собрания сочинений П. С. Урысона, изданного под названием «Труды по топологии и другим областям математики», Москва, 1951 г.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ...................... 3
Глава I. Развитие понятия линии............ 5
§ 1. Исторический очерк................. 5
§ 2. «Кривые» Пеано.................. И
§ 3. Простые дуги. Линии, составленные из простых дуг . . 17 § 4. Значение теории точечных множеств в вопросе об
определении линии ................. 20
Глава II. Некоторые сведения из теории точечных
множеств..................... 23
§ 1. Основные понятия общей теории множеств..... 23
§ 2. Замкнутые и открытые множества......... 27
§ 3. Связность..................... 38
§ 4. Компактность................... 44
§ 5. Непрерывные отображения............. 51
§ 6. Свойства континуумов............... 57
Глава III. Канторовы линии............... 71
Глава IV. Общее определение линии.......... 82
§ 1. Определение линии. Основные свойства....... 82
§ 2. Индекс ветвления. Примеры............ 89
§ 3. Линии конечного ветвления............. 107
§ 4. Некоторые общие свойства линий......... . 126
Прибавление. О понятии размерности......... 130
Цена: 150руб.
