ГЛАВА ВОСЬМАЯ .
ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления......................................... 11
263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) .................................... 11
264. Интеграл и задача об определении площади........... 14
265. Таблица основных интегралов.................... 17
266. Простейшие правила интегрирования........ . >...... 18
267. Примеры....;............................. 1?
268. Интегрирование путем замены, переменной ............ 23
269. Примеры.................................. 27
270. Интегрирование по частям......................> 31
' 271. Примеры .................................. 32
2. Интегрирование рациональных выражений.............. 36
272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде...... 36
273. Простые дроби-и их интегрирование...............,. 37
274. Разложение правильных дробей на простые.......-...'. 38
275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей...........-........................ 42
276. Выделение рациональной части интеграла............. 43
277. Примеры.................................. 47
3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы 50
/ /Я/~ff у. 1^ О \
278. Интегрирование выражений вида /?(лг, ~\/ - •"]";). Примеры 50
, \ У 1х ~г"/ • . i •
279. «Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры. . . '51 280; Формулы приведения........................ .... 54
281. Интегрирование выражений вида K(xt У ах* -)- Ьх -f- с). Подстановки Эйлера..................... . . ^..... 56
282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок......." 59
283. Примеры.................................. 60
284. Другие приемы вычисления...................... &>
285. Примеры.................................. 72
4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические
и показательную функции......................... 74
286. Интегрирование дифференциалов ЛЧяпдг, cosxjdx. .*. . . 74
287. Интегрирование выражений sin** cos".* . ... .^ ...,:.. 76
288. Примеры.......г..................... . . . . . 78
289. Обзор других случаев......................... 83
' '" •--
§ 5. Эллиптические интегралы.......................... 84
290. Общие замечания и определения................... 84
291. Вспомогательные преобразования ,................. 86
292. Приведение к канонической форме................. 88
293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода........• 90
ГЛАВА ДЕВЯТАЯ
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение и условия существования определенного интеграла ......................................... 94
294. Другой подход к. задаче о площади................. 94
295. Определение..............................~. . 96
296. Суммы Дарбу............................... 97
297. Условие существования интеграла..................100
298. Классы интегрируемых функций...................101
• 299. Свойства интегрируемых функций..................103
300. Примеры и дополнения.........................105
301. Нижний и верхний интегралы как пределы............106
§ 2. Свойства определенных интегралов................... 108
302. Интеграл по ориентированному промежутку........... 108
303. Свойства, выражаемые равенствами................. 109
304. Свойства, выражаемые неравенствами................ НО
305. Определенный интеграл как функция верхнего предела .... 115
306. Вторая теорема о среднем значении................. 117
§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов.... 120
307. Вычисление с помощью интегральных сумм............120
308. Основная формула интегрального исчисления...........123
309. Примеры . . ................................125
310. Другой вывод основной формулы..................128
311. Формулы приведения.........................i- 130
312. Примеры.....s.............................".131
313. Формула замены переменной в определенном интеграле.... 134
314. Примеры..................................135
315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена............ 141
316. Другой вывод формулы замены переменной...........143
§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов.........145
317. Формула Валлиса............................. 145
318. Формула Тейлора с дополнительным членом........... 146
319. Трансцендентность числа е. . . .'................... 146
320. Многочлены Лежандра......................... 148
321. Интегральные неравенства....................... 151
§ 5. Приближенное вычисление интегралов................. 153
322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций. . 153
323. Параболическое интерполирование.................. 156
324. Дробление промежутка интегрирования....... -....... 158
325. Дополнительный член формулы прямоугольников........ 159
326. Дополнительный член формулы трапеций............. 161
327. Дополнительный член формулы Симпсона............. 162
328. Примеры.................................. 164
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ I
ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, -МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
•
§ 1. Длина кривой.................................. 169-
329. Вычисление длины кривой............"............ 169
330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению................................ 171
331. Примеры.................................. 174
332. Натуральное уравнение плоской кривой.............. 180
333. Примеры.................................. 183
334. Длина дуги пространственной кривой................ 185.
§ 2. Площади и объемы......,.......................... 186
335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности .... 186
336. Площадь как предел.......................... 188
337. Классы квадрируемых областей................... 190
338. Выражение площади интегралом................... 192
339. Примеры.................................. 195
340. Определение понятия объема. Его свойства............ 202
341. Классы тел, имеющих объемы ......4............... 204
342. Выражение объема интегралом................... . 205
343. Примеры.................................. 208
344. Площадь поверхности вращения................... 214
345. Примеры.................................. 217
346. Площадь цилиндрической поверхности......,........ 220
347. Примеры.................................. 222
§ 3. Вычисление механических и физических величин........, 225
248. Схема применения определенного интеграла.......... . 225
349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой 228
350. Примеры..................................229
351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры................................... 230
352. Пример'ы.................................. 232
353. Механическая работа..........................233
354. Примеры............... . ....................235
355. Работа силы трения в плоской пяте................237
356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов......239
§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения............. 244.
357. Основные понятия. Уравнения первого порядка......... 244
358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение переменных............................. 245
359. Задачи................................... 247'
360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений. . . 253
361. Задачи..................................... 254
' ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ
БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
§ 1. Введение...........*........;................. 257
362. Основные понятия, ...,......:................257
363. Примеры................................. . 258 '
364. Основные теоремы...........................260
2. Сходимость положительных рядов................... 262
365. Условие сходимости положительного ряда.............262
366. Теоремы сравнения рядов....................... 264
367. Примеры..................................266
368. Признаки Коши и Даламбера. ,.-. .................. 270
369. Признак Раабе............................... 272
370. Примеры.........................;........274
371. Признак Куммера............... . ............277
372. Признак Гаусса..............................279
373. Интегральный признак Маклорена—Коши.............281
374. Признак Ермакова............•................285
375. Дополнения................................ 287
i 3. Сходимость произвольных рядов.................... . 293
376. Общее условие сходимости ряда.................. 293
377. Абсолютная сходимость........................ '294
378. Примеры ................................. . 296
379. Степенной ряд, его промежуток сходимости........... 298
380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты ...... 300
381. Знакопеременные 'ряды......................... 302
382. Примеры...............................'. . . 308
383. Преобразование Абеля . ..'...................... 305
384. Признаки Абеля и Дирихле..................... . 307
385. Примеры..............^.....................308
> 4. Свойства сходящихся рядов . ,\...................... 313
386. Сочетательное свойство . . . . .......... . ........ . 313
387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов. . . 315
388. Случай,неабсолютно сходящихся рядов . . . ........ •. . . 316-
389. Умножение рядов............................320
390. Примеры.....,. ,....... }'.................... 323
391. Общая теорема из теории пределов........ V....... 325
392. Дальнейшие теоремы, об умножении рядов............327
| 5. Повторные и двойные ряды.........................329
393. Повторные ряды v ....'..-...•...................> . 329
394. Двойные ряды. . * -.*. . . . ....................... 333
395. Примеры............................. . . ... 338
396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости . . 346
397. Примеры.................................. 348
398. Кратные ряды................................ 350
§6. Бесконечные произведения......................... 350
399. Основные понятия............................ 350
400. Примеры................. ................... 351
- 401. Основные теоремы. Связь с рядами................. 353
402. Примеры ..................,.,....,....'..... 356
| 7. Разложения элементарных функций . . . .......... ^. ... 364
403. Разложение-функции в степенной ряд; ряд Тейлора . . . . . . 364
404. Разложение в рад показательной, основных лригонометриче-; ских функций и др..........!................"'. -. 366
405. Логарифмический ряд.........................., 368
406. Формула Стерлинга...................._;........369
407. Биномиальный ряд...........,... ...... '.""".'.'. ....... 371"
\ 408. Разложение синуса и косинуса в, бесконечные произведения. 374
ОГЛАВЛЕНИЕ l-i
I
s 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование ' рядов ........................... ........ 378
409. Общие замечания........................ • 378
410. Вычисление числа я..................'...... 379
411. Вычисление логарифмов . ^ .'..................381
412. Вычисление корней ....*.................... 383
413. Преобразование рядов по Эйлеру . . . .<........ . . . . 384
414. Примеры.............................. 386
415. Преобразование Куммера . . . :................ 388
416. Преобразование Маркова..................... 392
§ 9. Суммирование расходящихся рядов................. 394
417. Введение.............................. 394
418. 'Метод степенных рядов . . . . ,.................. 396
419. Теорема Таубера..........................398
420. Метод средних арифметических.........,....-... 401
421. Взаимоотношение между методами Пуассона — Абеля и Че-заро.......................,..........403
422. Теорема Харди— Ландау..................... 405
423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов . 407
424. Другие методы обобщенного суммирования рядов......408
425. Примеры . . ;...........................413
426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования . . 416
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ -
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость...................... . 419
427. Вводные замечания ......... .^. . Г........... 419
428. Равномерная'и неравномерная сходимости ...........421
429. Условие равномерной сходимости . . ......... . .v. . . 425
430. Признаки равномерной сходимости рядов............ 427
§ 2. Функциональные свойства суммы ряда...............430
431. Непрерывность суммы ряда...........,.-'.......43U
432. Замечание о квази-равномерной сходимости .......... 432
433. Почленный переход к пределу ................... .434.
434. Почленное интегрирование рядов. . . .............. 436
435. Почленное дифференцирование рядов..............438
436. Точка зрения последовательности ................ 441
437. Непрерывное» суммы степеннбго ряда .............444
438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов . . . 447
§ 3. Приложения............................... 450
439. Примеры на непрерывность суммы ряда И на. почленный переход к пределу........................... 450
440. Примеры на почленное интегрирование рядов . . . ......457
441. Примеры на почленное дифференцирование рядов . ...... 468
442. Метод последовательных приближений' к теории неявных функций............ .'. . .'•-. . . . . . . ". . . . .;. . 474
443. Аналитическое определение тригонометрических функций . . 477
444. Пример непрерывной функции без производной . . ....*. 479
§ 4- Дополнительные сведения о степенных рядах . ......... 481
Hi' Действия "«л степенными рядами . . i............ . 481
446. Подстановка ряда в ряд ..... ; . . . . . .......... 485
447. Примеры.............................. 487
448. Деление степенных рядов . . .....................- 492
449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются . , 494
450. Решение уравнений рядами... . . <................ . 498
451. Обращение степенного ряда.................... . 502
452. Ряд Лагранжа...............................504
§ 5. Элементарные функции комплексной переменной......... 508
453. Комплексные числа........................... 508
454. Комплексная варианта и ее предел................. 511
455. Функции комплексной переменной.............; . . . 513
456. Степенные ряды............................. 515
457. Показательная функция.......................... 518
458. Логарифмическая функция...................... 520
459. Тригонометрические функции и им обратные.........; 522
460. Степенная функция...........................• 526
461. Примеры.................................. 527
§ 6. Обвертывающие и асимптотические ряды.Формула Эйлера—Мак-лорена.................................... . . 531
462. Примеры..................................531
463. Определения...............................533
v 464. Основные свойства асимптотических разложений ........536
465. Вывод формулы Эйлера—Маклорена................ 540
466. Исследование дополнительного члена................ 542
467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера—Маклорена 544
468. Другой вид формулы Эйлера—Маклорена............. 547
469. Формула и ряд Стирлинга....................... 550
ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ
НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ § 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами......552
470. Определение интегралов с бесконечными пределами......552
471. Применение основной формулы интегрального исчисления . . 554
472. Примеры .......'...........................555
473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы.............558
474. Сходимость интеграла в случае положительной функции . . . 559
475. Сходимость интеграла в общем случае..............561
476. Признаки Абеля и Дирихле...................... 563
477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду 566
478. Примеры................................ ; . 569
§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций..... 577
479. Определение интегралов от неограниченных функций ..... 527
480. Замечание относительно особых точек...............581
481. Применение основной формулы интегрального исчисления. Примеры .. . . ."..............................582
482. Условия и признаки существования интеграла.......... 584
483. Примеры. .^..................................587
484. Главные значения несобственных интегралов...........-.590
485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов....................................595
§ 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов..... 597
486. Простейшие свойства.................ч........ . 597
487. Теоремы о среднем значении..................... 600
488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов.........................;......602
489. Примеры..............................602
490. Замена переменных в несобственных интегралах.......604
491. Примеры . . ............'................605
§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов ..... 611
492. Некоторые замечательные интегралы..............611
493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм. Случай интегралов с конечными пределами . . . .615
494. Случай интегралов с бесконечным пределом..........617
495. Интегралы Фруллани.......................621
496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными
-- пределами ...........^.................623
497. Смешанные примеры и упражнения...............629
§ 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов ..... 641
498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей . 641
499. Примеры.............................. 642
500. Замечание по поводу приближенного.вычисления собственных интегралов.............................646
501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом.........................647
502. Использование асимптотических разложений..........650
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ
ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Элементарная теория......................... 654
503. Постановка задачи........................654
504. Равномерное стремление к предельной функции....... . 654
505. Перестановка двух предельных переходов.........' _. . 657
506. Предельный переход под знаком интеграла........... 659
507. Дифференцирование под знаком интеграла........... 661
508. Интегрирование под знаком интеграла............. 663
509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра . . 665
510. Введение множителя, зависящего лишь от х..........668
511. Примеры......................_........669
512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры.....680
§ 2. Равномерная сходимость интегралов............... . 682
513. Определение равномерной сходимости интегралов.......682
514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами......684
515. Достаточные признаки равномерной сходимости ........684
516. Другой случай равномерной сходимости............687
517. Примеры..............................689
§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов.......694
518. Предельный-переход под знаком интеграла..........694
519. Примеры'..............................697
520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру ............................... . 710
521. Интегрирование интеграла по параметру............ 714 .
522. Применение к вычислению некоторых интегралов .......717
523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла . . . 723
524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла......733
§ 4. Дополнения............................. . . .... 743
525. Лемма Арцела............................... 743
526. Предельный переход под знаком интеграла . . . .........745
527. Дифференцирование под знаком интеграла............ 748
528. Интегрирование под знаком интеграла............... 749
§ 5. Эйлеровы интегралы ....... .i.......... Jtv.........750
529. Эйлеров интеграл первого рода................ . . . 750
530. Эйлеров интеграл второго рода...................753
531. Простейшие свойства функции Г...................754,
532. Однозначное определение функции Г ее свойствами...... 760
533. Другая функциональная характеристика-функции Г. ..... .762
534. Примеры ....'..........,.:...................764
535. Логарифмическая производная функции Г. ............ 770
536. Теорема умножения для функции Г. ...... * ......... 772
, 537. Некоторые разложения в ряды и произведения ..... . . . . 774
538. Примеры и дополнения.........................775
539. Вычисление некоторых определенных интегралов ........ 782
540. Формула Стиряинга ...........................789
• 541. Вычисление эйлеровой постоянной..................792
' . 542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г... 793. Алфавитный v'" ........ .... 795
Цена: 300руб.
