Устойчивые многочлены. — М.: Наука, 198 176 с.
Книга посвящена изложению основ теория устойчивых мноН членов, играющих основную роль в проблемах устойчивости систе] автоматического регулирования и других динамических смете! На простом элементарном материале книга вводит в круг важны идей классической алгебры и анализа. В последней главе, бола трудной по содержанию, изложены основные результаты об устоя чивости целых функций и, в частности, квазимногочленов.
Для школьников старших классов, студентов вузов и любителе математики.
»»«»•
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .................. g
Глава 1. Вводная................ 9
J1. Постановка задачи...............9
Многочлены в их корни. — Задача о расположении корней. — Устойчивые многочлены.
2. Многочлены малых степеней и теорема Стодолы .... 12 Устойчивые многочлены первой и второй степени. — Многочлены с положительными коэффициентами.
3 История задачи................14
Максвелл. — Вышнеградский. — Эрмит. — Раус. — Стодола и Гур-виц. — Льенар и Шипар.
Глава 2. Теоретическая •.....,...«... 17
1. Амплитудно-фазовый критерий устойчивости ...... 17
Многочлены g и h. — Амплитудно-фазовая характеристика. — Многочлены без чисто мнимых корней. — Многочлены с вещественными коэффициентами. — Амплитудно-фазовая характеристика многочленов третьей степени. — Фазовая функция и фазовая характеристика.
— Фазовые характеристики многочленов третьей степени.— Фазовая функция произведения.— Амплитудно-фазовый критерий устойчивости.— Критерий Вышнеградского.
2. Теорема Эрмита — Билера............39
Амплитудно-фазовая характеристика устойчивого многочлена.— Многочлены с перемежающимися корнями. — Теорема Эрмита — Бклера.
3. Индекс рациональной функции...........48
Полюсы рациональной функции и ее главные коэффициенты. — Индекс рациональной функции. — Простейшие свойства индекса, •» Индекс инверсной функции.
4. Индекс и условие устойчивости...........58
Устойчивые многочлены и индекс функций h/g и g/ft. — Многочлены с вещественными положительными коэффициентами.
Глава 3. Вычислительная.............66
1. Вычисление индекса...............66
Алгорифм вычисления индекса. — Ряд Штурма. — Число перемен знака.— Теорема Штурма об индексе. — Теорема Штурма о числе
корней.
2. Теорема Рауса.................77
Индекс на всей оси. — Регулярный случай. •* Формулы деления
с остатком.— Алгорифм вычисления индекса в регулярном случае.— критерий того, что индекс рациональной функции равен степени знаменателя.— Критерий Рауса,
1* о
3. Теоремы Гурвица и Льенара — Шипара........8|
Матрица Гурвица многочлена. — Критерий Гурвица устойчивости многочлена с вещественными коэффициентами. — Критерий Гурвица устойчивости многочлена с произвольными комплексными коэффициентами. — Матрица Гурвица многочленов одинаковой степени. >-* Критерий Льенара — Шипара.
4. Квадратичная форма, ассоциированная с рациональной функцией...................91
Квадратичные формы. — Разложение рациональной функции на ! простейшие дроби. — Вычет рациональной функции в полюсе. — Разложение рациональной функции в ряд..— Ганкелевы формы, ас«' j социированные с рациональной функцией. — Рациональные функ« i ции, все полюсы которых вещественны и просты.— Рациональные ! функции, для которых ассоциированная гзнкелева форма положи* тельно определена. — Редукция условия Сильвестра к условию Гурвица.
5. Теорема Шура.................И]
Многочлен f*. — Определение и свойства преобразования Шура. — Многочлен F(z, ?). — Многочлен f.. —Теорема Шура. — Вспомогательная лемма. — Доказательство теоремы Гурвица.
Глава 4. Дополнительная .............121
1. Теоремы Чеботарева и Понтрягина.........12
Целые функции.—Амплитудно-фазовая характеристика целой функции. •— Условия Эрмита — Билера. — Вещественные пары целых функций. — Сильно устойчивые целые функции и формулировка теоремы Чеботарева. — Квазимногочлены. — Результаты Понтряги-на.
2. Необходимые сведения из теории функций комплексного
переменного.................-13
Регулярные функции. — Принцип максимума модуля. — Теорема о неявной функции. — Мероморфные функции. — Принцип аргумента. *t Теорема Руше. — Лемма о существовании корня.
3. Доказательство теоремы Чеботарева.........14
Равносильность условий (А), (Б) и (В). — Доказательство теоремы Чеботарева. — Доказательство предложений о вещественных парах функций из п. 1.
4. Квазимногочлены без главного члена.........15
Две вспомогательные леммы. — Доказательство теоремы.
5. Доказательство теоремы Понтрягина ... ...... 15
Квазимногочлены с постоянными коэффициентами. — Квазимного-ч^ены с переменными коэффициентами. — Доказательство теоремы Понтрягина.
6. Вещественные тригонометрические многочлены.....16
Введение. — Тригонометрические многочлены с постоянными коэффициентами, в» Тригонометрические многочлены с главным членом. — Число корней тригонометрического многочлена.
7. Теорема Эрмита — Билера для квазимногочленов .... 17 Квазимногочлены и тригонометрические многочлены. — Теорема Эрмита — Билера для квазимногочленов.
Литература...................17
ПРЕДИСЛОВИЕ
Вопрос об устойчивости положения равновесия динамической системы, как известно, сводится (при весьма общих предположениях) к вопросу, расположены ли слева от мнимой оси корни характеристического уравнения линеаризованной системы. Это объясняет живой и непрекращающийся интерес, проявляемый математиками и инженерами к задаче о характеризации многочленов, корни которых расположены слева от мнимой оси (мы будем называть такие многочлены
устойчивыми).
Цель этой книги — изложить решение задачи о характеризации устойчивых многочленов в максимально простом виде, доступном каждому любителю математики, владеющему алгеброй в объеме, лишь незначительно превышающем объем курса средней школы (требуется знать формулировку основной теоремы алгебры, уметь строить графики простейших рациональных функций, владеть определением предела, уметь обращаться с комплексными числами и т. п.). Кроме того, желательно (но для основного текста необяза-тельно) владеть понятием производной и .знать, как производная применяется в задаче об отыскании точек локального экстремума. Исключением являются последние три пункта главы 3, где волей-неволей необходимо предполагать владение теорией определите-лей (поскольку определители входят в формулировку доказываемых в этих пунктах теорем).
Основной текст книги содержит три главы, разбитые на пункты. В п. 1 первой, вводной, главы обсуждается проблема локализации корней многочлена, дается определение устойчивого многочлена и объясняется роль таких многочленов в задаче об устойчиво-
Цена: 150руб.
