Книга представляет собой справочное пособие по линейной алгебре. .Что пособие охватывает как основные теоретические вопросы линейной алгебры, так и ее численные методы. Описание ведется с учетом особенностей реализации методов на ЭВМ. Отличительной чертой данного справочного пособия является отсутствие доказательств и теоретических обосновании приводимых фактов и методов.
Для студентом, аспирантов и научных сотрудников, деятельность которых связана с решением задач алгебры па ЭВМ.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие .... Глава 1. Основы теории
§ 1. Множества, элементы, операции........
Операции. Группа. Кольцо. Ноле. Линейной пространство. Оператор.
§ 2. Системы векторов............1('
Изоморфизм. Вектор. Линейная оооло'ша. Лшк.чгнан заппсююсть. Эквивалентные системы. Ранг. Сазис.
§ 3. Матрицы и операторы.........;. . . 21
Матрица. Матричные операции. Трасноннрование. Ооппяжешюсть. Диагональная матрица. Перестановочные матрицы. Треугольная матрица.
5 /i. Определители, миноры, дополнении.......28
Перестапопка. Определитель. Формула Вине — Коши. Ранг матрицы. Невырожденная матрица.
§ 5. Скалярное произведение.......... Si
Скалярное произведение. Ортогональность. Ортогональное дополнение. Длина, угол, расстояние. Проекции и перпендикуляр. Объем системы векторов.
§ 0. Системы линейных алгебраических уравнений .... 42
Теорема Кронексра — Капелли. Формулы Крамепа. Альтерпатаг.а и теорема Фредгольма. Псепдорсшеиие. Псендообратная матрица. Система и гиперплоскости. Проектор.
§ 7, Матрицы простой структуры......... 50
Матрица преобразопания координат. Эквивалентные матрицы. Подобные матрицы. Собственные значения и векторы. Характеристический многочлен. Матрица простой структуры. Соответствующая матрица.
8 3. Инвариантные подпространства........5(»
Инвариантное подпространство. Блочная матрица. Матричный многочлен. Корневой вектор. Теорема Кели — Гамильтона. Каноническая форма Жордана. Теорема Шура.
§ 'J. /.-матрицы...............64
/.-матрицы. Минимальный многочлен. Эквивалентные ^.-матрицы. Инвариантный многочлен. Каноническая форма Смита. Каноничс-екал форма Фробениуса. Каноническая форма Жордаяа.
§ 10. Нормальные матрицы . ... . . ........ 70
Нормальная матрица. Унитарная матрица. Эрмитова матрица. Ко-соармитова матрица.
§ 11. Мультипликативные представления матриц ..... 75 tU-разложение. Блочное LU-раэложение. Qfi-разложенис. Полярное разложение. Сингулярные числа. Сингулярное разложение. Кроне-керово произведение.
§ 12. Билинейные формы ............ 82
Билинейная форма. Квадратичная форма. Эрмитова билинейная форма. Эрмитова квадратичная форма. Матрица билинейной формы. Положительно определенная матрица. Конгруэнтность. Закон инерции квадратичных форм.
§ 13. Билинейно метрические пространства ....... 91
Матрица и определитель Грама. Нулевые подпространства. Ортогональный базис. Псевдоортогональный базис. Псевдодвойственныо базисы. Сопряженная система векторов.
§ 14. Векторные и матричные нормы ......... 98
Метрическое пространство. Нормированное пространство. Полнота нормированного пространства. Эквивалентность норм. Норма матрицы. Согласованная и подчиненная нормы,
§ 15. Функционалы в евклидовом пространство ...... 105
Функционал. Градиент. Функционал ошибки. Множество решений системы уравнений. Спуск по функционалу ошибки. Отношение Релея. Собственные значения. Теорема Куранта — Фишера. Функционал невязки.
§ 16. Возмущения и локализация .;........ 110
Степенной ряд. Число обусловленности. Оценка ошибки решения систем. Локализация собственных значении. Круги Гершгорина. Спектр и малые возмущения. Малые возмущения и сингулярное разложение.
§ 17. Матрицы типа теплицевых .......... 118
Теплицева матрица. Представление обратной матрицы. Циркулянт-пая матрица. Дискретное преобразование Фурье. Многоуровневые матрицы. Теплицев ранг.
§ 18. Матрицы с неотрицательными элементами ..... 129 Неотрицательная матрица. Теорема Перрона — Фробениуса. Циклическая матрица. Осцилляциониая матрица.
§ 19. Матрицы специального вида ...... ... 134
Якобиева матрица. Обобщенная проблема собственных значении. Некоторые разностные матрицы.
§ 20. Неравенства и оценки : ....... 141
Классические неравенства. Теорема Виландта — Гофмана. Спектр суммы эрмитовых' матриц. Сингулярные числа суммы матриц. Сингулярные числа произведения матриц. Спектр произведения эрмитовых матриц. Неравенства Г. Венля. Мажорирующие лослсдопа-тельности. Теоремы разделения.
Глава 2. Численные методы ... ........ 147
§ 21. Математические особенности машинной арифметики . . . 147 Система счисления. Округление. Фиксированная и плавающая запятая. Основные гипотезы. Свойства машинных операций. Прямой и обратный анализ ошибок.
§ 22. Элементарные матрицы и преобразования ...... 152
Матрица вращения. Последовательность преобразований вр'ащенпн. Циклические последовательности. Процесс исключения. Матрица отражения. Элементарные неунитарные матрицы.
§ 23. Ортогонализация .............
Процессы ортогонализации. Ортогонализация степенной последовательности. Трехчленные соотношения. Устойчивость и неустойчивость. Переортогонализация.
24. Основные разложения матрицы на множители .... 171
Метод Гаусса. Перестановки. Выбор ведущего элемента. Компактная схема. Метод квадратного корня. Метод вращений. Метод отражении. Нормализованный метод вращения. Метод ортогонализации. Сравнение разложений.
25. Решение систем с невырожденными матрицами .... 181
Обратная и прямая подстановки. Подстановка с нормировкой. Различные методы решения систем. Уточнение решения.
26. Особенности решения неустойчивых систем.....188
Непрерывность и разрывность решений. Сингулярное разложение. Главные проекции решения. Регуляризации.
27. Тактика решения систем общего вида.......193
Сведение к двухдиагональной системе. Решение двух диагональных систем. Оценка точности. Матрица неполного ранга. Сингулярное разложение двухдиагональной матрицы. Регуляризация.
Методы сопряженных направлений........201
Оищая схема. Выбор начального вектора. Условия на матрицы. Трехчленные соотношения. Матрицы в различных базисах. Минимизация функционала ошибок. Метод сопряженных градиентов. Метод ЛЛ*-мшшмальных итераций. Метод А*А-минимальных итераций. Метод эрмитова разложения. Метод неполного разложения. Методы двойственных направлений. Отклонение от решения. Связь с разложением матриц. Схема с уточнением.
Другие методы.............211
Метод оптимального исключения. Метод Жордана. Модификация обратной матрицы. Метод окаймления. Блочный метод квадратного корня. Методы для теплицевых матриц,
§ 30. Прямые и обратные итерации.........218
Прямые итерации. Обратные итерации. Сдвиги. Скорость и устойчивость. Сведение к почти треугольной матрице. Последовательности Рслея.
§ 31. QR- и QR-алгоритм. Сходимость. Инвариантность к почти треугольной форме. Инвариантность к блочно треугольной форме. Сдвиги. Квадратичная скорость. Комплексно сопряженные сдвиги. О^-алгоритм.
§ №. Эрмитовы матрицы............233
Вычисление знаков миноров якобиевоп матрицы. Метод бисекций. Обратные итерации и Рй-алгоритм. Эффективность QH-алгоритма со сдвигами. Метод вращений. Стратегии выбора элементов.
§ 33. Метод Лапцоша.............240
Вычислительная схема. Некоторые оценки. Аппроксимации Ритца. Геометрическая интерпретация. Особенности практической реализации.
§ 31 Общие вопросы теории итерационных методов решения систем линейных уравнений..........245
Итерационные методы: р-шаговый метод, стационарный метод, циклический метод, линейный метод. Оператор перехода. Скорость сходимости. Метод Ричардсона.
5 35. Методы релаксации............257
Точечный и блочный методы Якоби. Метод Гаусса — Зейделя. Метод последовательной верхней релаксации. Согласованно упорядоченные матрицы. Теория выбора оптимального параметра релаксации. Метод симметричной последовательной верхней релаксации.
§ 3(i. Итерационные методы для систем с монотонными матрицами 269
Монотонные матрицы. Регулярное расщепление матриц. Теория сходимости. М-матпипа. Матпина Стнлтьеса.
§ 37. Методы расщепления (методы переменных направлений) 272 Необходимые и достаточные условия сходимости. Коммутативный случай. Метод Писмана — Рэкфорда. Выбор последовательности параметров. Некоммутативный случай. Попеременно треугольный метод.
§ 38. Чебышевские итерационные методы.......279
Многочлены ЧеОышева. ДвухшаговыН метод Ричардсона. Двухшаго-вый чебышевский метод. Одношаговый чебышевский метод. Упорядочивание параметров. Циклический чебышевский метод.
§ 39. Нелинейные итерационные методы....... 280
Метод наискорейшего спуска, метод минимальных невязок, метод минимальных ошибок. Обобщенный метод минимальных итераций Ланцоша. Обобщенный метод сопряженных градиентов.
§ 40. Итерационные методы решения систем с вырожденными
матрицами..............• 298
Стационарные методы. Достаточное условие сходимости. Методы релаксации Методы расщепления. Обобщенный метод сопряженных градиентов. Метод фиктивных компонент. Решение несовместных систем.
опо
Литература.................ow>
Предметный указатель .............312
ПРЕДИСЛОВИЕ
Линейная алгебра со своим математическим аппаратом и численными методами исключительно активно проникает в самые различные области, в особенности связанные с вычислениями. Построение процесса решения сложной проблемы на осноне сведения к последовательности решений задач линейной алгебры является в настоящее время одним из важнейших направлений развития вычислительной математики.
Как правило, в прикладных задачах линейная алгебра играет вспомогательную роль. С точки зрения специалиста, решающего основную проблему, единственное, что требуется от линейной алгебры,— это предложить подходящий способ решения его частной задачи. Довольно часто такой способ можно выбрать из уже имеющегося обширного багажа теоретических и практических знаний в области линейной алгебры. Однако не менее часто это сделать не удается. Оказывается, что существующие знания lie учитывают специфику основной проблемы, и поэтому невозможно решить задачу даже с использованием ЭВМ с нужной степенью эффективности из-за недостаточной скорости, точности пли нехватки ресурсов вычислительной техники. После этого начинается утомительный поиск необходимых фактов с целью конструирования подходящего численного метода.
Настоящая книга предназначена для оказания помощи читателю в осуществлении такого поиска. Она представляет собой монографию справочного характера. Главная ее отличительная черта заключается в полном отсутствии каких-либо доказательств. Изложены только факты, определения и вычислительные схемы. В -необходимых случаях приведены краткие пояснения. Материал систематизирован и описан таким образом, что каждый ноаый факт является, в основном, следствием предыдущих. Поэтому данную книгу можно рассматривать и как конспективное изложение основ теории матриц п численных методов. Порядок расположения определений и фактов в целом соответствует порядку их изложения в курсах линейной алгебры и численных методов, читаемых в высших учебных заведениях.
Весь материал книги разбит па две главы. Первая глава посвящена основам теории, вторая — численным методам. Содер-
Цена: 300руб.
