13 Сборник задач по высшей математике: Учеб. пособие. — М.: Высш. шк. 1993. — 192 с.: ил. ISBN 5-06-002669-8
Пособие написано в соответствии с новой программой по высшей математике для вузов. Содержит элементы теории множеств, аналитическую геометрию на плоскости, теорию пределов, дифференциальное и интегральное исчисления функций одной перемытой, элементы высшей алгебры и ряды. По каждому разделу кратко излагаются основные теоретические сведения, приводятся решения типичных примеров и задач, даются задачи и упражнения для самостоятельной работы с ответами, решениями и указаниями.
Предисловие
Настоящий «Сборник задач по высшей математике» написан автором на основе многолетнего опыта чтения лекций и ведения семинарских занятий по высшей математике на нематематических факультетах в Московском государственном университете.
«Сборник» специально приспособлен к курсу высшей математики, читаемому на первом курсе студентам нематематических специальностей вузов (в настоящее время закончена работа над задачником для второго курса).
. В начале каждой темы приводятся основные теоретические сведения и формулы, необходимые для решения последующих задач. Формулировки определений и теорем даются по книге автора «Высшая математика», являющейся учебником по высшей математике для студентов нематематических специальностей вузов.
При подборе задач были использованы различные сборники задач по высшей математике, в частности широко известные задачники «Сборник задач и упражнений по математическому анализу» Б. П. Демидовича и «Сборник задач по высшей математике» В. П. Минорского.
«Сборник» может быть использован как под руководством преподавателя, так и для самостоятельного изучения материала, так как большинство задач имеют ответы, а некоторые из них — решения и указания. Поскольку в «Сборнике» имеется большое количество подробно решенных типовых примеров и задач, поясняющих теоретический материал и способствующих более глубокому пониманию, он может быть использован в высших технических учебных заведениях, техникумах, средней школе, а также в гимназиях, лицеях и колледжах.
Автор
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие...................................... 3
Глава 1. Вещественные (действительные) числа................. 4
§ 1. Основные понятия................................ 4
1. Представление вещественных чисел в виде бесконечных десятичных дробей (4). 2. Некоторые числовые множества (5).
§ 2. Грани числовых множеств........................... 5
§ 3. Абсолютная величина вещественного числа................ 7
Глава 2. Числовые последователыюста и теория пределов........... 9
§ 1. Числовые последовательности........................ 9
1. Определение числовой последовательности (9). 2. Ограниченные и неограниченные последовательности (10). 3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности (11).
§ 2. Сходящиеся последовательности....................... 12
1. Определение предела последовательности (12). 2. Основные свойства сходящихся последовательностей (14).
§ 3. Монотонные последовательности...................... 15
1. Определение монотонных последовательностей (15). 2. Признак сходимости монотонных последовательностей (16). 3. Число е (17).
Глава 3. Аналитическая геометрия ва плоскости................ 18
§ 1. Направленные отрезки и их величины. Числовая прямая........ 18
1. Ось и отрезки (18). 2. Числовая прямая (18).
§ 2. Прямоугольная (декартова) система координат.............. 19
§ 3. Простейшие задачи аналитической геометрии ва плоскости....... 21
§ 4. Полярные координаты............................. 22
§ 5. Уравнение линии как множество точек плоскости............. 24
§ 6. Линии первого порядка............................ 26
1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом (26). 2. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М(х\', у\) с данным угловым коэффициентом (26). 3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки M\(x\\ y\) и Мг(хг, уг) (26). 4. Общее уравнение
прямой (26). 5. Угол между двумя прямыми (28). 6. Нормальное уравнение прямой. Расстояние от точки до прямой (30).
§ 7. Смешанные задачи на прямую........................ 31
§ 8. Линии второго порядка............................ 32
1. Эллипс (32). 2. Гипербола (34). 3. Парабола (35).
Глава 4. Функция.................................. *
§ 1. Основные понятия............................... 36
1. Определение функции (36). 2. Четные в нечетные функции (38).
3. Периодические функции (40). 4. Графическое изображение функ- ,
1. Определение предела функции (44). 2. Свойства пределов. Непре-
0 оо
рывность функции (45). 3. Раскрытие неопределенностей вида - и —
О оо
(47). 4. Раскрытие неопределенностей вида оо—оо и 0 • оо (48). 5. Смешанные задачи на вычисление пределов (49). § 3. Сравнение бесконечно малых......................... 50
Глава 5. Дифференцирование........................... 54
§ 1. Понятие производной............................. 54
§ 2. Вычисление производных........................... 55
§ 3. Понятие дифференциала........................... 59
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков............. 61
1. Производные высших порядков (61). 2. Дифференциалы высших
порядков (62).
§ 5. Дифференцирование функций, заданных параметрически........ 62
§ 6. Основные теоремы дифференциального исчисления. Правило Логшта-
ля. Формула Тейлора............................. 63
1. Теорема Ферма (63). Теорема Ролля (63). Теорема Лагранжа (63). Теорема Коши (64). 2. Правило Лопиталя (64). 3. Формула Тейлора (68).
§ 7. Исследование функций и построение графиков............... 71
1. Признак монотонности функции (71). 2. Отыскание точек локального экстремума функции (71). 3. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции (73). 4. Асимптоты графика функции (74). 5. Схема исследования графика функции (76).
Глава 6. Интегрирование.............................. 82
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл................ 82
1. Основные сведения (82). 2. Основные свойства неопределенного интеграла (83). 3. Таблица основных интегралов (83).
§ 2. Основные методы интегрирования...................... 84
1. Непосредственное интегрирование (84). 2. Метод подстановки (87).
3. Метод интегрирования по частям (92). 4. Смешанные примеры (95).
§ 3. Интегрирование рациональных функций.................. 98
§ 4. Определенный интеграл.................•........... 102
1. Определение определенного интеграла (102). 2. Основные свойства определенного интеграла (103). 3. Формула Ньютона—Лейбница (103).
§ 5. Некоторые физические и геометрические приложения определенного
интеграла.................................... 105
1. Формулы площадей плоских фигур (105). 2. Формулы длин дуг плоских кривых (108). 3. Формулы объемов тел вращения (111).
4. Формулы площадей поверхностей вращения (112). 5. Формула работы переменной силы (115).
§ 6. Несобственные интегралы.......................... 116
1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования (116). 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций (118). 3. Признак сходимости несобственных интегралов (119)
§ 7. Приближенное вычисление определенных интегралов.......... 122
1. Формула трапеций (122). 2. Формула Симпсона (122).
Глава 7. Элементы высшей алгебры....................... 123
§ 1. Определители.................................. 123
191
1. Определители второго порядка (123). 2. Определители третьего
порядка (123). 3. Свойства определителей (124).
§ Z Исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными ....................................... 127
Глава 8. Рады.................................... 130
§ 1. Понятие числового ряда............................ 130
1. Основные определения (130). 2. Необходимое условие сходимости
ряда (132).
§ 2. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сходимости........ 134
1. Признак сравнения (134). 2. Признак Даламбера (134). 3. Интегральный признак (135). 4. Смешанные задачи (135).
§ 3. Знакопеременные ряды............................. 136
1. Знакочередующиеся ряды (136). 2. Абсолютная и условная сходимости рядов (136).
§ 4. Степенные ряды................................. 137
1. Определение и общие замечания. Интервал сходимости (137). 137
2. Разложение функций в степенные ряды (139). •
§ 5. Ряды Фурье................................... 143
1. Определение (143). 2. Ряд Фурье с периодом 21 (143).
Глава 9. Комплексные шсла........................... 145
Ответы, решевшв, указании............................ . 152
Цена: 150руб.
