АННОТАЦИЯ
Книга представляет собой большое собрание интегралов и формул (около 12000), относящихся к элементарным и специальным функциям. В четвертом издании значительно расширены разделы, посвященные неопределенным и определенным интегралам от элементарных функций и определенным интегралам от специальных функций. Включены интегралы от специальных функций, отсутствовавшие в предыдущем издании. В связи с этим главы, относящиеся к специальным функциям, дополнены необходимыми разделами.
Глава об интегральных преобразованиях, имевшаяся в третьем издании, исключена. Ее материал размещен в других частях книги.
Книга предназначена для научно-исследовательских институтов, лабораторий, конструкторских бюро и научных работников в области математики, физики, техники.
Пятое издание печатается с матриц четвертого с добавлением в конце книги списка исправлений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Из предисловия к первому изданию.................... tCf
Из предисловия к третьему изданию.................... 10
Из предисловия к четвертому изданию.................... 11
Предисловие к пятому изданию...................... 11
О порядке следования формул............,.......... 12
0. ВВЕДЕНИЕ
0.1. Конечные суммы .......................... 15
0.11. Прогрессии (15). 0.12. Суммы степеней натуральных чисел (15). 0.13. Суммы величин, обратных натуральным числам (16). 0.14. Суммы произведений величин, обратных натуральным числам (17). 0.15. Суммы биномиальных коэффициентов (17).
0.2. Числовые ряды и бесконечные произведения.............. 19
0.21. Сходимость числовых рядов (19)- 0.22. Признаки сходимости (19). 0.23—0.24. Примеры числовых рядов (21). 0.25. Бесконечные произведения (25). 0.26. Примеры бесконечных произведений (26).
0.3. Функциональные ряды....................... 26.
0.30. Определения и теоремы (26). 0.31. Степенные ряды (27). 0.32. Тригонометрические ряды (30). 0.33. Асимптотические ряды (32).
0.4. Некоторые формулы дифференциального исчисления.......... . 32!
0.41. Дифференцирование определенного интеграла по параметру (32)-.. 0.42. Производная «-го порядка от произведения (33). 0.43. Производная n-го порядка от сложной функции (33).
1. ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ
1.1. Степени биномов.......................... 35*
1.11. Степенные ряды (35). 1.12. Ряды рациональных дробей (36).
1.2. Показательная функция....................... 36;
1.21. Представление в виде ряда (36). 1.22. Функциональные соотношения (37). 1.23. Ряды показательных функций (37).
1.3—1.4. Тригонометрические и гиперболические функции........... 37
1.30. Введение (37). 1.31. Основные функциональные соотношения (38). 1.32. Выражение степеней тригонометрических и гиперболических функций через функции кратных аргументов (дуг) (39). 1.33. Выражение тригонометрических и гиперболических функций кратных аргументов (дуг)-через степени этих функций (41). 1.34. Некоторые суммы тригонометрических и гиперболических функций (43). 1.35. Суммы степеней кратных дуп (44). 1.36. Суммы произведений тригонометрических функций кратных. дуг (46). 1.37. Суммы тангенсов кратных дуг (46). 1.38. Суммы, приводящие к гиперболическим тангенсам и к гиперболическим котангенсам (46). 1.39. Представление косинусов и синусов кратных дуг в виде конечных, произведений (47). 1.41. Разложение тригонометрических и гиперболических функций в степенные ряды (48). 1.42. Разложение на простейшие дроби (50). 1.43. Представление в виде бесконечного произведения (51). 1.44—1.45. Тригонометрические ряды (52). 1.46. Ряды произведений показательных и тригонометрических функций (56). 1.47. Ряды гиперболических функций (56). 1.48. «Угол параллельности» Лобачевского П (х) (57). 1.49. Гиперболическая амплитуда (гудерманиан) gd x (57)..
1.5. Логарифмическая функция ...................... 58
1.51. Представление в виде ряда (58). 1.52. Ряды логарифмических функций (60).
1.6. Обратные тригонометрические и обратные гиперболические функции .... 61
1.61. Область определения (61). 1.62—1.63. Функциональные соотношения (61). 1.64. Представление в виде ряда (65).
2. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИИ
2.0. Введение ............................... 67
2.00. Замечания общего характера (67). 2.01. Основные интегралы (68). 2.02. Общие формулы (69).
2.1. Рациональные функции......................... 70
2.10. Общие правила интегрирования (70). 2.11—2.13. Формы, содержащие биномы a-\-bxh (72). 2.14. Формы, содержащие биномы 1 ± хп (77). 2.15. Формы, содержащие пары биномов: а + Ъх и а + РЖ (80). 2.16. Формы, содержащие трехчлены а -\- bxk + cx2h (81). 2.17. Формы, содержащие квадратный трехчлен а + Ьх + сх2 и степени ж (82). 2.18. Формы, содержащие квадратный трехчлен а + Ьх + сх2 и бином а + РЖ (84).
2.2. Алгебраические функции...................., . . , 84
2.20, Введение (84). 2.21. Формы, содержащие] бином a+bxh и Y~x (85). 2.22—2.23. Формы, содержащие У (а + bx)k (86). 2.24. Формы, содержащие У а+bx и бином а+$х (89). 2.25. Формы, содержащие J/a+bz+cz2 (94).
2.26. Формы, содержащие У а + Ьх-\-сх2 и целые степени ж (95).
2.27. Формы, содержащие У а + сх2 и целые степени х (100). 2.28. Формы, содержащие У а-\- bx^-сх2 и многочлены первой и второй степени (103). 2.29. Интегралы, приводящиеся к эллиптическим и псевдоэллиптическим (104).
2.3. Показательная функция ........................ 106
2.31. Формы, содержащие еах (106). 2.32. Показательная и рациональные функции от х (106).
2.4. Гиперболические функции........................ 107
2.41—2.43. Степени sh х, ch х, th х и cth х (107). 2.44—2.45. Рациональные функции от гиперболических функций (121). 2.46. Алгебраические функции от гиперболических функций (127). 2.47. Гиперболические функции и степенная функция (133). 2.48. Гиперболические функции, показательная и степенная функции (142).
2.5—2.6. Тригонометрические функции.................... 143
2.50. Введение (143). 2.51—2.52. Степени тригонометрических функций (144). 2.53—2.54. Синусы и косинусы кратных дуг, линейных и более сложных функций аргумента (153). 2.55—2.56. Рациональные функции от синуса и косинуса (161). 2.57. Формы, содержащие \fa ± b sin х , У a^b cos х или приводящиеся к этому виду (167). 2.58—2.62. Интегралы, приводящиеся к эллиптическим и псевдоэллиптическим (171). 2.63—2.65. Тригонометрические функции и степенная функция (196). 2.66. Тригонометрические функции и показательная функция (208). 2.67. Тригонометрические функции и гиперболические функции (212).
2.7. Логарифмическая функция; функции, обратные гиперболическим..... 217
2.71. Логарифмическая функция (217). 2.72—2.73. Логарифмическая и алгебраическая функции (217). 2.74. Обратные гиперболические функции (220).
2.8. Обратные тригонометрические функции................. 221
2.81. Арксинус и арккосинус (221). 2.82. Арксеканс и арккосеканс, арктангенс и арккотангенс (221). 2.83. Арксинус, арккосинус и алгебраическая функция (222). 2.84. Арксеканс, арккосеканс и степени х (223). '2.85. Арктангенс, арккотангенс и алгебраическая функция (223).
3—4. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ
3.0. Введение............................... 225
3.01. Теоремы общего характера (225). 3.02. Замена переменного в определенном интеграле (226). 3.03. Формулы общего характера (227). 3.04. Несобственные интегралы (229). 3.05. Главные значения несобственных интегралов (230).
3.1—3.2. Степенные и алгебраические функции................ 231
3.11. Рациональные функции (231). 3.12. Произведения рациональных функций и выражений, приводящихся к квадратным корням из многочленов первой я второй степени (233) 3.13 — 3.17. Выражения, приводящиеся к квадратным корням из многочленов третьей и четвертой степени, и их произведения с рациональными функциями (233). 3.18. Выражения, приводящиеся к корням четвертой степени из многочленов второй степени, и их произведения с рациональными функциями (296). 3.19—3.23. Степени х и биномов вида a -j- fix (298). 3.24—3.27. Степени х, биномов вида а + fix? в многочленов от х (306).
3.3—3.4. Показательная функция.................. . . . . 318
3.31. Показательная функция (318). 3.32—3.34. Показательная функция от более сложных аргументов (320). 3.35. Показательная функция и рациональные функции (324). 3.36—3.37. Показательная функция и алгебраические функции (329). 3.38—3.39. Показательная функция и степенная функция с произвольными показателями степени (331). 3.41—3.44. Рациональные функции от степенной и показательной функций (339). 3.45. Алгебраические функции от показательной функции и степенная функция (349). 3.46—3.48. Показательная функция от более сложных аргументов и степенная функция (351).
3.5. Гиперболические функции....................... 358
3.51. Гиперболические функции (358). 3.52—3.53. Гиперболические функции и алгебраические функции (361). 3.54. Гиперболические функции и показательная функция (370). 3.55—3.56. Гиперболические, показательные и степенные функции (374).
3.6—4.1. Тригонометрические функции ................... 379
3.61. Рациональные функции от синусов и косинусов и тригонометрические функции кратных дуг (379). 3.62. Степени тригонометрических функций (383). 3.63. Степени тригонометрических функций и тригонометрические функции от линейной функции аргумента (386). 3.64—3.65. Степени тригонометрических функций и рациональная функция от тригонометрических функций (391). 3.66. Формы, содержащие степени линейных функций от тригонометрических функций (396). 3.67. Квадратные корни из выражений, содержащих тригонометрические функции (400). 3.68. Различные формы от степеней тригонометрических функций (403). 3.69—3.71. Тригонометрические функции от более сложных аргументов (409). 3.72—3.74. Тригонометрические и рациональные функции (419). 3.75. Тригонометрические и алгебраические функции (432). 3.76—3.77. Тригонометрические и степенная функции (434). 3.78—3.81. Рациональные функции от х и от тригонометрических функций (446). 3.82—3.83. Степени тригонометрических функций и степенная функция (460). 3.84. Интегралы, содержащие выражения \f \—A2 sin2 х, ]/1—A:2 cos2 а; и сходные с ними (474). 3.85—3.88. Тригонометрические функции от более сложных аргументов и степенная функция (478). 3.89—3.91. Тригонометрические и показательная функции (490). 3.92. Тригонометрические функции от более сложных аргументов и показательная функция (498). 3.93. Тригонометрические и показательные функции от тригонометрических функций (500). 3.94—3.97. Тригонометрические, показательная и степенная функции (503).3.98—3.99. Тригонометрические и гиперболические функции (517). 4.11—4.12. Тригонометрические, гиперболические и степенная функции (525). 4.13. Тригонометрические, гиперболические и показательная функции (533). 4.14. Тригонометрические, гиперболические, показательная и степенная функции (535).
4.2—4.4. Логарифмическая функция ..................... 537
4.21. Логарифмическая функция (537). 4.22 Логарифмическая функция от более сложных аргументов (539). 4.23. Логарифмическая и рациональ-
ная функции (546), 4.24. Логарифмическая и алгебраическая функции (549). 4.25. Логарифмическая и степенная функции (551). 4.26—4.27. Степени логарифма и степенная функция (553). 4.28. Рациональная функция In x и степенная функция (566). 4.29—4.32. Логарифмическая функция от более сложных аргументов и степенная функция (569). 4.33 — 4.34. Логарифмическая и показательная функции (587). 4.35—4.36. Логарифмическая, показательная и степенная функции (589). 4.37. Логарифмическая и гиперболические функции (594). 4.38—4.41. Логарифмическая и тригонометрические функции (597). 4.42 — 4.43. Логарифмическая, тригонометрические и степенная функции (612). 4.44. Логарифмическая, тригонометрические и показательная функции (619).
4.5. Обратные тригонометрические функции ................. 619
4.51. Обратные тригонометрические функции (619). 4.52. Арксинус, арккосинус и степенная функция (620). 4.53—4.54. Арктангенс, арккотангенс и степенная функция (621). 4.55. Обратные тригонометрические и показательная функции (625). 4.56. Арктангенс и гиперболическая функция (626). 4.57. Обратные и прямые тригонометрические функции (626). 4.58. Обратная и прямая тригонометрические и степенная функции (628). 4.59. Обратные тригонометрические и логарифмическая функции (628).
-4.6. Кратные интегралы .......................... 628
4.60. Замена переменных в кратных интегралах (628). 4.61. Перемена порядка интегрирования и замена переменных (629). 4.62. Двойные и тройные интегралы с постоянными пределами (632). 4.63 — 4.64. Многократные интегралы (634>.
5. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
5.1. Эллиптические интегралы и функции ................... 640
5.11. Полные эллиптические интегралы (640). 5.12. Эллиптические интегралы (641). 5.13. Эллиптические функции Якоби (643). 5.14. Эллиптические функции Вейерштрасса (645).
5»2. Интегральная показательная функция .................. 646
5.21. Интегральная показательная функция (646). 5.22. Интегральная показательнай и степенная функции (646). 5.23. Интегральная показательная и показательная функции (646).
5.3. Интегральный синус и интегральный косинус .............. 646
5.4. Интеграл вероятности и интегралы Френеля ............... 647
5.5. Цилиндрические функции ....................... 647
6—7. ОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ОТ СПЕЦИАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ
6.1. Эллиптические интегралы и функции .................. 649
6.11. Формы, содержащие F (x, k) (649). 6.12. Формы, содержащие Е (x, k) (650). 6.13. Интегрирование эллиптических интегралов по модулю (650). 6.14—6.15. Полные эллиптические интегралы (651). 6.16. Тэта-функции (652).
0.2—6.3. Интегральная показательная функция и родственные ей функции . . . 653
6.21. Интегральный логарифм (653). 6.22— 6.23. Интегральная показательная функция (655). 6.24—6.26. Интегральные синус и косинус (657). 6.27. Интегральный гиперболический синус и косинус (661). 6.28 — 6.31. Интеграл вероятности (662). 6.32. Интегралы Френеля (667).
6.4. Гамма-функция и родственные ей функции ................ 669
6.41. Гамма-функция (669). 6.42. Гамма-функция, показательная и степенная функции (670). 6.43. Гамма-функция и тригонометрические функции (674). 6.44. Логарифм гамма-функции (675). 6.45. Неполная гамма-функция (676). 6.46—6.47. Функция Ц(х) (678).
6,5 — 6.7. Цилиндрические функции ..................... 679
6.51. Цилиндрические функции (679). 6.52. Цилиндрические функции а: и ж2 (686). 6.53 — 6.54. Цилиндрические функции и рациональные функ-
ции (691). 6.55. Цилиндрические и алгебраические функции (695). 6.56—6.58. Цилиндрические и степенные функции (697). 6.59. Цилиндрические функции от более сложных аргументов и степенная функция (714). 6.61. Цилиндрические и показательная функции (721). 6.62—6.63. Цилиндрические, показательная и степенная функции (725). 6.64. Цилиндрические функции от более сложных аргументов, показательная и степенная функции (734). 6.65. Цилиндрические и показательная функции от более сложных аргументов и степенная функция (737). 6.66. Цилиндрические, гиперболические и показательная функции (740). 6.67—6.68. Цилиндрические и тригонометрические функции (744). 6.69—6.74. Цилиндрические, тригонометрические и степенная функции (757). 6.75. Цилиндрические, тригонометрические, показательная а степенная функции (776). 6.76. Цилиндрические, тригонометрические и гиперболические функции (781). 6.77. Цилиндрические функции, логарифм и арктангенс (781). 6.78. Цилиндрические функции и другие специальные функции (782). 6.79. Интегрирование цилиндрических функций по индексу (784).
6.8. Функции, родственные цилиндрическим................. 789
6.81. Функции Струве (789). 6.82. Функции Струве, показательная и степенная функции (791). 6.83. Функции Струве и тригонометрические функции (792). 6.84—6.85. Функции Струве и цилиндрические функции (793). 6.86. Функции Ломмеля (798). 6.87. Функции Томсона (801).
6.9. Функции Матье............................ 802
6.91. Функции Матье (802). 6.92. Функции Матье, гиперболические и тригонометрические функции (803). 6.93. Функции Матье и цилиндрические функции (807).
7.1—7.2. Шаровые функции ........................ 808
7.11. Шаровые'функции (808). 7.12—7.13. Шаровые функции и степенная функция (809)1 7.14. Шаровые, степенная и показательная функции (817). 7.15. Шаровые и гиперболические функиии (820). 7.16. Шаровые, степенная и тригонометрические функции (820). 7.17. Шаровые функции и интеграл вероятности (824). 7.18. Шаровые и цилиндрические функции (824). 7.19. Шаровые функции и функции, родственные цилиндрическим (831). 7.21. Интегрирование шаровых функций по индексу (833). 7.22. Полиномы Лежандра, рациональные и алгебраические функции (834). 7.23. Полиномы Лежандра и степенная функция (836). 7.24. Полиномы Лежандра а другие элементарные функции (837). 7.25. Полиномы' Лежандра и цилиндрические функции (839).
7.3—7.4. Ортогональные многочлены .................... 840
7.31. Многочлены Гегенбауэра С"^(х) и степенная функция (840). 7.32. Многочлены С^(х) и другие элементарные функции (844). 7.33. Многочлены С^(х) и цилиндрические функции. Интегрирование по индексу функций Гегенбауэра (845). 7.34. Многочлены Чебышёва и степенная функция (847). 7.35. Многочлены Чебышёва и другие элементарные функции (849). 7.36. Многочлены Чебышёва и цилиндрические функции (850). 7.37—7.38. Полиномы Эрмита (850). 7.39. Полиномы Якоби (855). 7.41—7.42. Полиномы Лагерра (857).
7.5. Гипергеометрические функции ..................... 862
7.51. Гипергеометрические и степенная функции (862). 7.52. Гипергео-метрические и показательная функции (864). 7.53. Гипергеометрические и тригонометрические функции (867). 7.54. Гипергеометрические и цилиндрические функции (867).
7.6. Вырожденные гинергеометрические функции............... 871
7.61. Вырожденные гипергеометрические функции и степенная функция (871). 7.62—7.63. Вырожденные гипергеометрические функции и показательная функция (873). 7.64. Вырожденные гипергеометрические функции и тригонометрические функции (883). 7.65. Вырожденные гипергеометрические функции и цилиндрические функции (884). 7.66. Вырожденные гипергеометрические, цилиндрические и степенная функции (885). 7.67. Вырожденные гипергеометрические функции, цилиндрические, показательная
Цена: 600руб.
