Математика

Физика

Химия

Биология

Техника и    технологии

Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного Бугров Я 1981.—448 с.
Бугров Я- С., Никольский С. М. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного.—М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981.—448 с.
Учебник вместе с двумя книгами тех же авторов «Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии» и «Дифференциальное и интегральное исчисление» соответствует новой программе по высшей математике для инженерно-технических специальностей вузов.
Книга содержит следующие разделы: Обыкновенные дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Векторный анализ. Ряды и интеграл Фурье. Простейшие задачи из теории уравнений математической физики. Функции комплексного переменного. Элементы операционного исчисления.
Для студентов инженерно-технических специальностей вузов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................ 7
Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения . , 9
§1.1. Задача, приводящая к дифференциальному уравнению 9
§ 1.2. Общие понятия.................. 10
§ 1.3. Простейшие дифференциальные уравнения первого
порядка .'.................... 22
§ 1.4. Теорема существования решения дифференциального
уравнения первого .порядка............ 32
§ 1.5. Метрическое пространство............. 36
§ 1.6. Доказательство теоремы существования решения дифференциального уравнения первого порядка .... 42 § 1.7. Метод Эйлера приближенного решения дифференциального уравнения первого порядка....... 46
§ 1.8. Уравнения, не разрешенные относительно производной....................... 48
§ 1.9. Особые решения................. 51
§ 1.10. Огибающая семейства кривых........... 53
§ 1.11. Дифференциальное уравнение второго порядка ... 55 § 1J2; Система из двух дифференциальных уравнений первого порядка................... 57
§ 1J3. Дифференциальные уравнения n-го порядка .... 60
§ 1.14. Понижение порядка дифференциального уравнения 64
§ 1.15. Линейные уравнения высшего порядка...... 67
§ 1Л6. Линейные однородные уравнения «-го порядка с постоянными коэффициентами............ 75
§ 1.17, Метод вариации постоянных........... 81
§ 1.18. Частное решение неоднородного дифференциального
уравнения с постоянными коэффициентами..... 83
§ 1.19. Системы дифференциальных уравнений. Фазовое пространство.................... 90
§ 1.20. Линейная однородная система дифференциальных
уравнений.................... 94
§ 1.21. Общее решение линейной однородной системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффи-
QQ
циентами...........,......... аэ
§ 1.22. Сведение системы уравнений к одному уравнению 107 § 1.23. Неоднородная система линейных дифференциальных
уравнений с постоянными коэффициентами..... Ю9
§ 1.24. Интегрирование дифференциальных уравнений при
помощи степенных рядов.............. "4
§ 1.25. Элементы теории устойчивости.......... 118
§ 1.26. Классификация точек покоя . , ,........ 126
Глава 2. Кратные интегралы.............. 136
§ 2.1. Введение..................... 136
§ 2.2. Сведения из теории меры Жордана........ ; 142
§ 2.3. Свойства кратных интегралов. Теоремы существования . . ,.................... 149
§ 2.4. Интеграл как функция от параметра. Сведение кратного интеграла к повторным ........... 153.
§ 2.5. Доказательство существования интеграла от непрерывной функции................. 164
§ 2.6. Замена переменных. Простейший случай. ..... 166
§ 2,7. Замена переменных. Общий случай ........ 167
§ 2.8. Полярная система координат в плоскости ..... 171
§ 2.9. Полярная система координат в пространстве. ... 174
§ 2.10. Цилиндрические координаты , .......... 176
§ 2.11. Площадь поверхности. .............. 178
§ 2.12. Координаты центра масс............. 184
§ 2.13. Несобственные интегралы ...... >...... 189
§.2.14. Несобственный интеграл с особенностями вдоль линии 194
§ 2.15. Несобственный интеграл, зависящий от параметра 195
Глава 3. Векторный анализ ............... 205
§ 3.1. Кусочно-гладкая ориентированная кривая ..... [205
§ 3.2. Криволинейный интеграл первого рода...... 208
§ 3.3. Интеграл от вектора вдоль кривой........ 210
•§ 3.4. Поле потенциала................. 215
§ 3.5. Дифференциальное уравнение в полных дифференциалах...................... 225
§ 3.6. Ориентация плоской области........... 227
§ 3.7. Формула Грина. ................. 229
ОГЛАВЛЕНИЕ 5
§ 3.8. • Интеграл по поверхности первого рода...... 234
§ 3.9. Ориентация поверхности............. 236
§ 3.10. Система координат и ориентация поверхности . . . 239
§ 3.11. Интеграл по ориентированной плоской области. . . 244
§ 3.12. Поток вектора через ориентированную поверхность 247
§ 3.13. Дивергенция. Теорема Гаусса—Остроградского. . . 251
§ 3.14. Соленоидальное поле............... 259
§ 3.15. Формула Стокса................. 263
Глава. 4. Ряды Фурье. Интеграл Фурье......... 267
§ 4.1. Тригонометрические ряды............. 267
§ 4.2. Сходимость тригонометрических рядов....... 273
§ 4.3. Ряд Фурье.................... 275
§ 4.4. Признаки сходимости рядов Фурье........ 279
§ 4,5. Ортогональные свойства тригонометрических функций 283
§ 4.6. Коэффициенты Фурье............... 284
§ 4.7. Оценка коэффициентов Фурье.....,..... 286
§ 4.8. Пространство функций со скалярным произведением 286
§ 4.9. Ортогональная система функций......... 290
§ 4.10. Полнота тригонометрических функций....... 295
§ 4.11. Комплексная форма ряда Фурье......... 299
§ 4.12. Понятие интеграла Фурье. Повторный интеграл Фурье 300
§ 4.13. Косинус- и синус-преобразования Фурье...... 308
§ 4.14. Примеры..................... 309
§ 4.15. Приближение интеграла Фурье.......... 313
Глава 5. Уравнения математической физики....... 315
§ 5.1. Температура тела............. .^. . 315
§ 5.2. Задача Дирихле................. 317
§ 5.3. Задача Дирихле для круга............ 319
§ 5.4. Задача Дирихле для полуплоскости........ 321
§ 5.5. Уравнение теплопроводности в стержне ...... 323
§ 5.6. Теплопроводность для бесконечного стержня. . . . 329
§ 5.7, Малые колебания струны............. 331
§ 5.8. Колебание бесконечной струны. Формула Даламбера 335
§ 5.9. Колебание круглой мембраны........... 337
§ 5.10. Общая задача Штурма —Лиувилля ........ 343
§ 5.11. Интеграл энергии (Дирихле)........... 345
Глава 6. Теория функций комплексного переменного ... 351
§ 6.1. Понятие функции.комплексного переменного .... 351
§ 6.2. Производная функции комплексного переменного 3G4
§6.3. Условия Даламбера—Эйлера (Коши—Римава) . . . 362
§ 6.4. Гармонические функции.............. 365
§ 6.5. Обратная функция................ 369
§ 6.6. Интегрирование функций комплексного переменного 376
§ 6.7. Формула Коши........................ 382
§ 6.8. Интеграл типа Коши.............. . 385
§ 6.9. Степенной ряд.................. 387
§ 6.10. Ряд Лорана.................• . 389
§6.11. Классификация изолированных особых точек. Вычеты 395
§ 6.12. Классификация особых точек на бесконечности. . . 402
§ 6.13. Теорема о вычетах................ 405
§ 6.14, Вычисление интегралов при помощи вычетов .... 406
§ 6.15. Линейная функция. Дробно-линейная функция . . . 413
Глава 7. Операционное исчисление........... • 420
§7.1. Изображение Лапласа.................. 420
§ 7.2. Изображение простейших функций и свойства изобра?
жений....................... 422
§7.3. Приложения операционного исчисления ...... 437
Предметный указатель............ . .. . . ... • - • •• 444
ПРЕДИСЛОВИЕ
Данная книга охватывает 190 часов программы курса «Высшая математика» для инженерно-технических специальностей высших учебных заведений.
Можно считать, что эта книга и две предыдущие наши книги, изданные под названием «Высшая математика», исчерпывают всю указанную программу, за исключением раздела «Теория вероятностей»—50 часов и примерно двух третей раздела «Численные методы»—52 часа.
Изложение вопросов в каждой главе производится таким образом, чтобы дать сразу основные понятия. Формальные же доказательства теорем, как правило, даются в конце главы или параграфа. Это дает возможность при чтении курса в случае необходимости ограничиться началами глав или параграфов.
В главах «Уравнения математической физики» и «Ряды Фурье» мы в ряде случаев при .выводе формул ограничивались лишь физическими соображениями.
Отметим, что главы Б и 7, посвященные теории функций комплексного переменного и операционному исчислению, возможно читать и .до главы «Ряды и интегралы Фурье». Последняя никаких сведений из теории функций комплексного переменного, кроме элементарных знаний о комплексных числах, не требует. В частности, там показано, как можно вычислять конкретные интегралы Фурье без привлечения операционного исчисления.
Авторы выражают свою признательность коллективу кафедры математики Московского института стали и сплавов, заведующему кафедрой профессору В. А. Треногину за доброжелательное рецензирование наших книг и ценные советы, которыми мы воспользовались.
Мы также выражаем благодарность нашему официальному рецензенту члену-корреспонденту АН СССР А. Ф. Ле-

Цена: 150руб.

Назад

Заказ

На главную страницу

Hosted by uCoz