В «Лекциях» проф. Л. Янга дано нестандартное изложение различных аспектов вариационного исчисления и теории оптимального управления. Книга состоит из двух томов. В первом изложены классические результаты вариационного исчисления. Во втором большое внимание уделено обобщенному оптимальному управлению.
Написанная живо и занимательно (без ущерба для строгости изложения), книга предназначена для математиков, вычислителей, астрономов, специалистов по теории управления и инженеров. Она доступна студентам старших курсов, специализирующимся в области оптимального управления.
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА»'
Последние годы вариационному исчислению не очень везло в преподавании. Представленное некогда в учебных планах отдельным курсом, оно постепенно оказалось низведенным до двух-трех лекций, иллюстрирующих основные понятия нелинейного функционального анализа. Вывод уравнений Эйлера и достаточные условия ^-локального экстремума (положительная определенность второй вариации) — вот, пожалуй, и все, что осталось. Столь богатая идеями теория Гамильтона—Якоби вместе с геометрической оптикой и уравнениями в частных производных первого порядка, да и вариационная теория Штурма—Лиувилля — Куранта полностью или почти полностью исчезли из обязательных курсов. Даже теория Морса стала восприниматься теперь скорее как часть дифференциальной геометрии, нежели как «вариационное исчисление в целом».
Бурное развитие теории оптимального управления и ее приложений к практическим задачам, знаменитый принцип макси-. мума Понтрягина — все это, с одной стороны, стимулировало интерес к вариационным задачам, но, с другой, послужило поводом для распространения отношения к классическому вариационному исчислению как к некоему анахронизму.
Вряд ли это справедливо. Во всяком случае, профессор Вис-консинского университета Лоренс Янг, перевод книги которого представляется сейчас вниманию советского читателя, как мне кажется, этой точки зрения не придерживается. И дело здесь не только в том, что вариационное исчисление, по словам Л. Ян-га, является «летописью математических понятий». Гораздо важнее, что Янг убедительно демонстрирует возможности плодотворного развития задач классической постановки в духе современного функционального анализа, особенно там, где речь идет о теоремах существования.
Автор сделал очень многое для того, чтобы придать вариационным задачам такую форму, когда теоремы существования становятся автоматическими следствиями определений. Разумеется,
о
в соответствии с принципом, высказанным когда-то Гильбертом, для этого понятие решения приходится надлежащим образом обобщить. Представляя читателям английское издание книги, проф. У. X. Флеминг пишет:
«Среди идей, существенно повлиявших на недавние исследования в вариационном исчислении, следует отметить идеи, содержащиеся в работах Л. Янга по обобщенным кривым и поверхностям. Уже в статьях, посвященных обобщенным кривым (1933—1938 гг.), Янг предложил совершенно новый для того времени подход, а именно возможность рассматривать кривую или поверхность как функционал в пространстве подинтеграль-ных выражений, отвечающих данной вариационной задаче. Это обеспечило связь между вариационным исчислением и слабыми решениями дифференциальных уравнений, «распределениями» Шварца и «потоками» де Рама. В конечном счете это привело к глубоким и красивым результатам, относящимся к многомерной задаче Плато, и к построению глобальной теории для интегральных потоков и «вариобразий». (Краткое введение в эти последние вопросы содержится в книге F. J. Almgren, An Invitation to Varifold Geometry, Benjamin, New York, 1966.) С точки зрения Янга рассматривать в пространстве кривых «очевидные» топологии было бы неправильно. Предложенная им топология лучше приспособлена для нужд вариационного исчисления. В этой топологии пространство обычных кривых неполно; его пополнение содержит объекты, которые Янг назвал обобщенными кривыми. Они доставляют решения вариационным задачам, не имеющим таковых в обычном смысле. Именно поэтому обобщенные кривые или эквивалентные им понятия столь широко распространены в современной литературе, посвященной задачам оптимального управления, где они фигурируют под именем скользящих режимов и слабых управлений.»
Эта книга—отнюдь не популярный учебник. Математики-пуристы, возможно, найдут ее стиль даже недостаточно четким и отшлифованным. Однако мне кажется, что она может дать обильную пищу для размышлений над самыми различными проблемами нашей науки. В своем предисловии автор подробно останавливается на том, кому предназначена эта книга, и дает советы, как ею пользоваться; нет нужды повторять это. Стоит, однако, отметить, что своеобразный стиль книги, обилие в ней «лирических отступлений» и исторических сведений придают лекциям Л. Янга особый интерес. Автор принадлежит к клану с богатейшими математическими традициями. Достаточно вспомнить о «неравенстве Юнга» (Юнг—старая транскрипция фамилии Young; W. H. Young—отец автора книги) или заглянуть в именной указатель курса анализа Валле-Пуссена или в математическую энциклопедию. В абзацах, набранных петитом, то и дело слы-
щатся живые голоса великих математиков, со многими из которых автор был знаком лично.
Перевод лекций Л. Янга выполнила М. Г. Элуашвили. Далекий от формализма и чересчур литературный для математической книги стиль сделал ее задачу, а также и мою, как редактора, весьма нелегкой.
В связи с этим я хотел бы выразить свою признательность В. М. Сафраю, который принял участие в работе над рядом трудных мест, и редактору издательства Н. И. Плужниковой. В тех случаях, когда наши объединенные усилия оказывались недостаточными для однозначной интерпретации английского текста (особенно в части реалий) или в подыскании удачного русского эквивалента, автор этих строк брал на себя ответственность принять окончательное решение. Надеюсь, что это не привело к каким-либо существенным искажениям мыслей автора книги. Я благодарен также В. М. Тихомирову, давшему мне несколько полезных советов.
Особо следует сказать о терминологии. Л. Янг обращается с ней довольно свободно, вводит много нестандартных слов и настойчиво призывает пропагандировать новые термины. Мы старались, где возможно, сохранить тот же стиль и в переводе, хотя бы иногда это выглядело несколько непривычно или шло вразрез с установившейся традицией. Для ориентировки читателя в указателе часть терминов дается вместе с английскими прообразами.
В. М. Алексеев
ОГЛАВЛЕНИЕ
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА .............. 5
ПРЕДИСЛОВИЕ........................... 9
ТОМ I. ЛЕКЦИИ ПО ВАРИАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ
ВСТУПЛЕНИЕ. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ТИПИЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ . 13
§ 1. Введение.......................... 13
§ 2. Место вариационного исчисления в математике и в космических науках......................... 14
§ 3. Постановка простейшей задачи и некоторые родственные вопросы............................ 16
§ 4. Экстремали в некоторых классических задачах......... 21
§ 5. Решение задач (а), (Ь), (с).................. 23
§ 6. Лемма Эйлера — Лагранжа и обобщенные функции в смысле
Шварца........................... 33
§ 7. Варианты той же леммы................... 35
§ 8. Доказательство основной формы леммы.......... . 37
§ 9. Первая вариация, уравнение Эйлера, трансверсальность ... 39
§ 10. Парадокс Перрона...................... 41
1" ГЛАВА I. МЕТОД ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОКРЫТИЙ . . ....... 44
§ 11. Введение.......................... 44
;я § 12. Вариационный алгоритм Гюйгенса.............. 45
§ 13. Связь с элементарным понятием выпуклости.......... 49
§ 14. Снова появляется уравнение Эйлера............ 52
§ 15. Теорема Малюса................-....... 56
§ 16. Достаточные условия инвариантности интеграла Гильберта . . 58
§ 17. Свойства инвариантности и теорема об огибающей...... 60
§ 18. Общие замечания и приложение теории к задачам на плоскости . 64 § 19. Необходимые сведения о неподвижных точках и о теоремах существования для дифференциальных уравнений и неявных функций 66
ГЛАВА II. ДВОЙСТВЕННОСТЬ И ЛОКАЛЬНОЕ ПОГРУЖЕНИЕ 74
§ 20. Введение.......................... 74
§21. Преобразование Лежандра.................. 74
: § 22. Гамильтонианы и их свойства................ 75
§ 23. Характеристики в смысле Коши.............. 78
§ 24. Двойственность и стандартный гамильтониан в параметрическом
случае........................... 80
§25. Другие допустимые параметрические гамильтонианы..... 84
§ 26. Локальный переход от параметрического случая к непараметрическому ...................... ... 86
§ 27. Погружение экстремалей в трубки «в малом»....... . 88
§ 28. Локальная теория существования решений непараметрических вариационных задач и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка .......... 92
§ 29. Локальная параметрическая теория существования решений для
эллиптического случая.................... 99
ГЛАВА III. ПОГРУЖЕНИЕ В ЦЕЛОМ.............. 108
§ 30. Введение........................... IQ§
§31. Первая и вторая вариации и условие трансверсальности .... юд
§32. Как обманчива вторая вариация!............... 112
§33. Вторичный гамильтониан................... цд
§ 34. Геометрическая интерпретация понятия точности...... 115
§35. Отмеченные семейства.................... цд
§ 36. Каноническое погружение и фокальные точки........ 123
§ 37. Теория сопряженных точек по Якоби............ 127
§ 38. Индекс устойчивости экстремали............... 133
§ 39. Вторая ступень теории Морса................ ]3§
ГЛАВА IV. ГЛОБАЛЬНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ, ВЫПУКЛОСТЬ, НЕРАВЕНСТВА И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ .... 142
§40. Введение.......................... 142
§41. Центр тяжести и зона рассеивания............. 143
§42. Выпуклость и теорема Хана — Банаха........... 148
§43. Идейное наследие Георга Кантора............. 153
§44. Двойственность выпуклых фигур............... 159
§ 45. Двойственность выпуклых функций............. 163
§ 46. Глобальные гамильтонианы и обновленное вариационное исчисление ............................ 166
§ 47. Замечания о классических неравенствах........... 170
§ 48. Дуальный единичный шар в функциональном пространстве ... 172
§ 49. Риссовское представление.................. 180
ГЛАВА V. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ .... 185
§ 50. Введение.......................... 185
§51. Гильбертова конструкция и некоторые ее следствия для стандартной параметрической задачи ............... 187
§ 52. Параметрическая теория сопряженных точек и параметрическое
условие Якоби....................... 194
§ 53. Теорема единственности Тонелли — Каратеодори....... 200
§54. Абсолютный и гомотопический минимумы на Б...И-КОМПЗКТНЫХ
областях и многообразиях.................. 213
§55. На пути к автоматической теории существования...... 219
§ 56. Первая ступень абстрактного подхода: полунепрерывность
в Б...И-КОМПЗКТНОМ множестве................ 224
§§ 57, 58, 59........................... 229
ГЛАВА VI. ОБОБЩЕННЫЕ КРИВЫЕ И ПОТОКИ......... 230
§ 60. Введение.......................... 230
§61. Интуитивные соображения................. 231
§ 62. Немного о семантике . ................... 236
§63. Параметрические кривые в вариационном исчислении .... 237
§ 64. Допустимые кривые — элементы дуального пространства . . . 240
§ 65. Аналогия с человеческой жизнью.............. 243
§66. Обобщенные кривые и потоки и их границы,......... 245
§ 67. Параметрическое задание обобщенных кривых....... 252
§ 68. Существование минимума................... 263
§ 69. Свойства обобщенных решений................ 264
ПРИЛОЖЕНИЕ I. ЕЩЕ НЕМНОГО ОБ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЯХ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ ..................... 272
§70. Введение.......................... 272
§71. Теорема отделимости для выпуклого конуса в ^„(А)..... 272
§72. Лемма о недостаточном радиусе.............. 274
§ 73. Дуальная теорема отделимости................ 276
§74. Лемма локализации для Б...И-КОМПЭКТНОГО множества .... 278
§ 75. Риссовские меры....................... 279
§ 76. Евклидова аппроксимация банаховой вектор-функции .... 280
§77. Элементарная оценка нормы................ 281
§ 78. Векторное интегрирование................. 282
§ 79. Замыкание выпуклой оболочки................ 283
ПРИЛОЖЕНИЕ II. СТРУКТУРА ОБОБЩЕННЫХ ПОТОКОВ И ИХ
РОЛЬ В ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ... 285
§ 80. Введение.......................... 285
§81. Полигональные потоки..................... 286
§ 82. Основы современной двойственности в вариационном исчислении ............................ 289
§ 83. Элементарная форма вариационного принципа выпуклости . . 290
§ 84. Первое расширение..................... 291
§ 85. Принцип расширения и первая теорема замыкания для обобщенных потоков......................... 293
§ 86. Дальнейшее расширение: плотные потоки и их границы .... 294 § 87. Предварительные сведения о смесях и о лагранжевом представлении ............................ 297
§ 88. Дополнительные сведения о мерах, смесях и плотных потоках 300
§ 89. Лагранжево представление плотного потока......... 307
ТОМ II. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ
ВСТУПЛЕНИЕ. ЧТО ТАКОЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ.................. 315
§ 1. Введение.......................... 315
§ 2. Правило множителей..................... 317
§ 3. Оптимальное управление и задача Лагранжа......... 319
§ 4. Печальные факты жизни................... 321
§ 5. Первая поправка к уравнению Эйлера и правилу множителей . 322 § 6. Условие Вейерштрасса, трансверсальность, гамильтонианы и
усовершенствованный рецепт Эйлера............. 325
§ 7. Классические гамильтонианы с ограничениями........ 328
§ 8. Управления и принцип максимума............. 334
§ 9. Принцип максимума и его частные случаи как определения . . . 338 § 10. Решение двух элементарных задач об оптимальном быстродействии ............................. 342
ГЛАВА I. НАИВНАЯ ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ . 355
§11. Введение.......................... 355
§ 12. Дискретное время и программирование........... 357
§ 13. Некоторые замечания о линейных дифференциальных уравнениях ............................ 361
§ 14. Подозрительные на оптимальность решения в простейшей задаче об оптимальном быстродействии............ 365
§ 15. Единственность и оптимальность................ 368
§ 16. Двумерные задачи: моменты переключений и основные конструкции ........................... 370
§ 17. Исследование случая (а)................... 375
§ 18. Исследование случая (bL)................... 377
§ 19. Исследование случая (Ь2)................... 381
ГЛАВА II. ПРИМЕНЕНИЕ СТАНДАРТНЫХ МЕТОДОВ ВАРИАЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ОПТИМАЛЬНОГО
УПРАВЛЕНИЯ...................... 384
§ 20. Введение.......................... 384
§21. Траектории и трассы.................... . 387
§ 22. Условие синхронизации, стандартная проекция и представительное отображение.................... 391
§ 23. Пучок трасс......................... 393
§ 24. Инвариантный интеграл Гильберта.............. 396
§ 25. Вспомогательные леммы................... 400
§ 26. Теорема Малюса....................... 403
§27. Цепь трасс......................... 405
: § 28. Соединение фрагментов кривых............... 406
§ 29. Фундаментальная теорема и ее следствия.......... 410
ГЛАВА III. ОБОБЩЕННОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ... 414
§30. Введение.......................... 414
§31. Празадача.......................... 419
§32. Снова семантика...................... 421
§ 33. Стандартные управления и скользящие режимы в дифференциальных уравнениях..................... 424
§ 34. Принцип отдыха на полпути и лемма Филиппова....... 430
§ 35. Единственность и ключевая лемма об аппроксимациях . . . . : 437
§ 36. Распределенные управления................. 442
§ 37. Правильная постановка задач оптимального управления . . . 448
§ 38. Принцип минимума Гильберта................ 452
§ 39. Принцип максимума Понтрягина............... 453
§ 39А. Возмущение ....................... 460
§ 39В. Редукция к теореме отделимости.............. 465
§ 39.С. Эквивалентная форма условия отделимости......... 468
§ 39D. Доказательство принципа максимума............ 470
§39Е. Эпилог.......................... 472
ЛИТЕРАТУРА........................... 473
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ...................., . 479
ПГ»П ТТ Л* ГГТТ-Г Ufffi \fU Л Q Л ТС1 Пи Л01\
Цена: 300руб.
