Книга отличается от имеющихся учебных руко-, водств по обыкновенным дифференциальным уравнениям большей, чем это обычно принято, связью с приложениями, в особенности с механикой, и более геометрическим, бескоординатным изложением. В соответствии с этим в книге мало выкладок, но много понятий, необычных для курса дифференциальных уравнений (фазовые потоки, однопараметрические группы; диффеоморфизмы, касательные пространства и расслоения), и примеров из механики (например, исследование фазовых портретов консервативных систем с одной степенью свободы, теория малых колебаний, параметрический резонанс).
Книга рассчитана на студентов и аспирантов механико-математических факультетов университетов и вузов с расширенной программой по математике, но будет интересна и специалистам в области математики и ее приложений.
Илл. 259.
Оглавление ,
Предисловие..................................• 5
Глава 1. Основные понятия....................... . 7
§ 1. Фазовые пространства и фазовые потоки............. 7
§ 2. Векторные поля на прямой..................... 16
§ 3. Фазовые потоки на прямой..................... 22
§ 4. Примеры векторных полей и фазовых потоков на плоскости . . 26
§ 5. Неавтономные уравнения....................... 29
§ 6. Касательное пространство . . .................... 34
Глава 2. Основные теоремы........................ 47
§ 7. Векторное поле вблизи неособой точки .............. 47
§ 8. Применения к неавтономному случаю..............• : 54
§ 9. Применения к уравнениям выше первого порядка ......... 56
§ 10. Фазовые кривые автономной системы............... 63
§ 11. Производная по направлению векторного поля и первые интегралы ............,..................... 67
§ 12. Консервативная система с одной степенью свободы...... 73
Глава 3. Линейные системы........................ 86
§ 13. Линейные задачи......................' . . . . 86
§ 14. Показательная функция...................... 89
§ 15. Свойства экспоненты.........'............... 95
§ 16. Определитель экспоненты...................... 101
§ 17. Практическое вычисление матрицы экспоненты — случай вещественных и различных собственных чисел............. 105
§ 18. Комплексификация и овеществление ............... 108
§ 19. Линейное уравнение с комплексным фазовым пространством . 112
§ 20. Комплексификация вещественного линейного уравнения .... 116
§ 21. Классификация особых точек линейных систем......... 124
§ 22. Топологическая классификация особых точек.......... 129
§ 23. Устойчивость положений равновесия............... 138
§ 24. Случай чисто мнимых собственных чисел............ 142
§ 25. Случай кратных собственных чисел................ 148
§ 26. О квазимногочленах......................... 156
. § .27. Линейные неавтономные уравнения...........'..... 167
1*
§ 28. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами .... 175
§ 29. Вариация постоянных ....................... 183
Глава 4. Доказательства основных теорем................ 185
§ 30. Сжатые отображения........................ 185
§ 31. Доказательство теорем существования и непрерывной зависимости от начальных условий ................... 186
§ 32. Теорема о дифференцируемое™.................. 195
Глава 5. Дифференциальные уравнения на многообразиях...... 204
§ 33. Дифференцируемые многообразия................. 204
§ 34. Касательное расслоение. Векторные поля на многообразии . . 212
§ 35. Фазовый поток, заданный векторным полем........... 218
§ 36. Индексы особых точек векторного поля............. 221
Программа экзамена............................. 234
Образцы экзаменационных задач...................... . 235
Предметный указатель............................ 237
Предисловие
При отборе материала для этой книги автор стремился ограничиться строго необходимым минимумом. Центральное место в курсе занимают два круга вопросов: теорема о выпрямлении векторного поля (эквивалентная обычным теоремам существования, единственности и дифференцируемости решений) и теория однопараметрических групп линейных преобразований (т. е. теория линейных автономных систем). Автор позволил себе не касаться ряда более специальных вопросов, обычно включаемых в курсы обыкновенных дифференциальных уравнений (элементарные приемы интегрирования; уравнения, не разрешенные относительно производной; особые решения;-теория Штурма — Лиувилля; уравнения с частными производными первого порядка). Члсть из этих вопросов удобнее разобрать на упражнениях; последние же две темы естественнее относить к курсам уравнений с частными производными или вариационного исчисления.
Более подробно, чем это обычно принято, разбираются при-' ложения обыкновенных дифференциальных уравнений к механике. Уравнение маятника поя-вляется на одной из первых страниц; в дальнейшем эффективность вводимых понятий и методов каждый раз проверяется на этом примере. Так, в параграфе о первых интегралах появляется закон сохранения энергии, из теоремы о дифференцировании по параметру извлекается «метод малого параметра», а теория линейных уравнений с периодическими коэффициентами естественно приводит к исследованию качелей («параметрический резонанс»).
Изложение многих вопросов в курсе сильно отличается от традиционного. Автор стремился всюду выявить геометрическую, качественную сторону изучаемых явлений. В соответствии с этим в книге много чертежей и нет ни одной сколько-нибудь сложной формулы. Зато появляется целый ряд фундаментальных понятий, которые при традиционном, координатном изложении остаются в тени (фазовое пространство и фазовые потоки, гладкие многообразия и расслоения, векторные поля и однопараметрические группы диффеоморфизмов). Курс значительно сократился бы,
Цена: 150руб.
