Математический анализ, т. II. Изд., 2, пере-раб. Учебник для вузов. М., «Высшая школа», 1973.
470 с с ил.
Учебник предназначен для студентов университетов и студентов высших технических учебных заведений прежде всего физико-математических и инженерно-физических специальностей. Может быть также рекомендован и студентам других специальностей, нуждающимся в углубленной мате-матической подготовке. Он рассчитан как на изучающих математику ради нее самой, та;; и на интересующихся математикой лишь с точки зрения п шменения.
Особое внимание в учебнике обращено'на изложение качественных и аналитических методов, вместе с тем я нем нашли свое отражение и некоторые вопросы геометрической теории функций. Задачей учебника является не только изложение основных сведений из математического анализа, но и подготовка учащегося к чтению современной математической литературы,
Во втором томе содержатся интегральное и дифференциальное исчисление функций многих переменных, теория рядов Фурье и преобразования Фурье, элементы функционального анализа и теории обобщенных функций, некоторые вопросы приближенных вычислений.
[астоящий том является второй частью двухтомного курса математического анализа. В основном в нем излагаются вопросы, изучаемые обычно студентами на втором году обучения в институте. Нумерация глав, параграфов и рисунков в этом томе продолжает нумерацию глав, параграфов и рисунков первого тома.
Глава пятая, с которой начинается этот том, посвящена дифференциальному исчислению функций многих переменных и по существу является непосредственным продолжением главы второй первого тома. Дальнейшие главы содержат изложение интегрального исчисления функций многих переменных, теории рядов и интеграла Фурье. Преобразование Фурье излагается сначала в классическом виде, а затем даются его обобщения для пространства L2 и для обобщенных функций. Заканчивается том небольшим «Дополнением», основная часть которого касается численных методов для вычисления приближенных значений функций приближенных решений уравнений и приближенных вычислений интегралов.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава пятая
Дифференциальное исчисление функций многих переменных (продолжение)
§ 39. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих переменных 4
39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных 4
39.2. Формула конечных приращений для функций многих переменных ......................... 12
39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора
во всей области определения функции.......... 13
39.4 Равномерная сходимость по параметру семейства функций 16
39.5. Замечания о рядах Тейлора для функций многих переменных 17
§ 40. Экстремумы функций многих переменных............. 18
40.1. Необходимые условия экстремума............. 18
40.2. Достаточные условия строгого экстремума......... 20
40.3. Замечания об экстремумах на множествах....... . 26
§'41. Неявные функции........................ 26
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением..... 26
41.2. Произведения множеств.....:............. 30
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений . ... 31
41.4. Отображения....................... 41
41.5. Свойства матриц Якоби и якобианов отображений ...... 48
41.6. Отображения с неравным нулю якобианом. Принцип сохранения области..................... 50
41.7. Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. Особые точки, плоских кривых.........................,53
41.8. Замена переменных..... ............... 64
§ 42 Зависимость функций........................ 68
42.1. Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависимости функций......,............. 68
42.2. Достаточные условия зависимости функций......... 69
§ 43. Условный экстремум........................ 74
43.1. Понятие условного экстремума ............. 74
43.2. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума..............•....... 78
43.3. Достаточные условия для точек условного экстремума ... 80
Глава шестая
Интегральное исчисление функций многих переменных
§ 44. Кратные интегралы. ...................... 85
44.1. Понятие объема в л-мерном пространстве....... 85
Множества меры ноль................... 85
44.2. Квадрируемые и кубируемые множества........ 92
44.3. Определение кратного интеграла.............. 94
44.4. Существование кратного интеграла............. 96
44.5. Свойства кратного интеграла............... 101
§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному............105
45.1. Основная теорема для двумерного случая...........105
45.2. Обобщения на n-мерный случай...............111
§ 46. Замена переменных в кратном интеграле..............112
46.1. Геометрический смысл модуля якобианов в двумерном случае 112
46.2. Замена переменных в двукратном интеграле........122
46.3. Криволинейные координаты................128
46.4. Замена переменных в n-кратном интеграле..........131
§ 47. Криволинейные интегралы...................132
47.1. Криволинейные интегралы первого рода..........132
47.2. Криволинейные интегралы второго рода...........136
47.3. Расширение класса допустимых преобразований параметра кривой..........................140
47.4. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким кривым . . . 142
47.5. Формула Грина .....................143
47.6. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов 147
47.7. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоской области ........................148
47.8. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования ........................151
§ 48. Несобственные кратные интегралы...............161
48.1. Основные определения...................161
48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций. . . . 162
48.3. Несобственные интегралы от функций, меняющих знак . . . 168 § 49. Некоторые геометрические и физические приложения кратных интегралов ..........................171
49.1. Вычисление площадей и объемов..............171
49.2. Физические приложения кратных интегралов........173
§ 50. Элементы теории поверхностей.................175
50.1. Понятие поверхности...................175
50.2.* Определение параметрически заданной поверхности.....179
50.3*. Понятие о двумерном многообразии ...........182
50.4. Поверхности, заданные неявно...............184
50.5. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.....185
50.6.* Понятие гладкого двумерного многообразия.........190
50.7. Первая квадратичная форма поверхности..........191
50.8. Кривые на поверхности. Вычисление их длин и углов между ними...........................193
50.9. Площадь поверхности...................194
50.10. Ориентация гладкой поверхности..............197
50.11.* Ориентируемые и неориентируемые поверхности.....'. . 200
50.12. Второй подход к понятию ориентации поверхности......201
§ 51. Поверхностные интегралы...................205
51.1. Определение и свойства поверхностных интегралов......205
51.2. Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм. . 210
51.3. Поверхностные интегралы по кусочно-гладким поверхностям. . 211 § 52. Скалярные и векторные поля. ..................214
52.1. Определения.........................214
52.2. Об инвариантности понятий градиента, дивергенции и вихря. . 219
52.3. Формула Остроградского—Гаусса. Геометрическое определение дивергенции ....................222
52.4. Формула Стокса. Геометрическое определение вихря...... 227
52.5. Соленоидальные векторные поля...............232
52.6. Потенциальные векторные поля...............233
§ 53. Собственные интегралы, зависящие от параметра..........236
53.1. Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру.......236
53.2. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра. . . 239 § 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра.........242
54.1. Основные определения. Равномерная сходимость интегралов, зависящих от параметра.................242
54.2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра 247
54.3. Применение теории интегралов, зависящих от параметра,'
к вычислению определенных интегралов..........253
54.4. Эйлеровы интегралы....................258
54.5. Замечания о кратных интегралах, зависящих от параметра. . . 264
Глава седьмая Ряды Фурье. Интеграл Фурье
§ 55. Тригонометрические ряды Фурье...............267
55.1. Определение ряда Фурье. Описание основных задач.....267
55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю .........270
55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации.........274
55.4. Сходимость рядов Фурье в точке..............278
55.5. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических 284
55.6. Приближение непрерывных функций многочленами.....287
55.7. Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней х в пространстве непрерывных функций ........................290
55.8. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля .............292
55.9. Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов Фурье..........296
55.10. Ряды Фурье в случае произвольного интервала. Комплексная запись рядов Фурье.................302
§ 56. Интеграл Фурье и преобразование Фурье..............304
56.1. Представление функций в виде интеграла Фурье. . . . 304
56.2. Различные виды записи формулы Фурье..........309
56.3. Преобразование Фурье...................312
56.4. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций...................... . 315
56.5. Преобразование Фурье производных........317
56.6. Свертка и преобразование Фурье..............318
56.7. Производная преобразования Фурье функции.........322
§ 57. Функциональные пространства.................323
57.1. Метрические пространства.................323
57.2. Линейные пространства................332
57.3. Нормированные пространства...............336
57.4. Гильбертовы и предгильбертовы пространства........345
57.5. Простанство L2......................353
§ 58. Ортонормированные базисы и разложения по ним..........367
58.1. Ортонормированные системы..............367
58.2. Ортогонализация.....................371
58.3. Ряды'Фурье.......................373
58.4. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств .........................381
58.5. Полнота тригонометрической системы и системы полиномов Лежандра в пространстве L2...............387
58.6*. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций.
Теорема Планшереля .................395
§ 59. Обобщенные функции......................405
59.1. Общие соображения...................405
59.2. Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства ...............411
59.3. Определение обобщенных функций. Пространства D к D'. . . 418
69.4. Дифференцирование обобщенных функций.......420
Б9.5. Пространство основных функций S и пространство обобщенных
функций S'.......................424
59.6. Преобразование Фурье в пространстве S............426
59.7. Преобразование Фурье обобщенных функций........428
Добавление................................437
§ 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений.......437
60.1. Применение формулы Тейлора для приближенных вычислений значений функций и интегралов ...........437
60.2. Решение уравнений..................... 441
60.3. Интерполяция функций.................446
.60.4.'Квадратурные формулы...................449
60.5. Погрешность квадратурных формул.............452
§ 61. Разбиение множества на классы эквивалентных элементов . . 457 Алфавитный указатель........................ 460
Цена: 150руб.
