В учебнике излагаются основные сведения из математического анализа. Рассматриваются как классические вопросы, так и более новые, подготавливающие учащегося к чтению современной математической литературы.
Во втором томе содержится интегральное и дифференциальное исчисление функций многих переменных, теория рядов Фурье и преобразования Фурье, элементы функционального анализа и^теория обобщенных функций.
Учебник предназначен для студентов физических и инженерно-физических специальностей высших учебных заведений.
ОГЛАВЛЕНИЕ
ГЛАВА П ЯТАЯ
Стр.
Дифференциальное исчисление функций многих переменных (продолжение)
§39. Формула Тейлора и ряд Тейлора для функций многих переменных 3
39.1. Формула Тейлора для функций многих переменных ... 3
39.2. Формула конечных приращений для функций многих переменных ....................... 10
39.3. Замечания об оценке остаточного члена формулы Тейлора во всей области определения функции.......... 11
39.4. Равномерная сходимость по параметру семейства функций 14
39.5. Замечания о рядах Тейлора для функций многих переменных ..........«......„....., , 16
§ 40. Экстремумы функций многих переменных........ « , 16
40.1. Необходимые условия экстремума........ . , , 16
40.2. Достаточные условия строгого экстремума ....... 19
40.3. Замечания об экстремумах на множествах ...,..„ 25 § 41. Неявные функции..................... 25
41.1. Неявные функции, определяемые одним уравнением ... 25
41.2. Произведения множеств.............,. » 30
41.3. Неявные функции, определяемые системой уравнений , , 31
41.4. Отображения. Свойства якобианов отображений . . . . , 37
41.5. Отображения с неравным нулю якобианом. Принцип сохранения области.................... 42
41.6. Неявные функции, определяемые уравнением, в котором нарушаются условия единственности. Особые точки плоских кривых......................... 45
41.7. Замена переменных................. 57
§ 42. Зависимость функций................... 60
42.1. Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависимости функций.................. 60
42.2. Достаточные условия зависимости функций....... 61
§ 43. Условный экстремум.................... 64
43.1. Понятие условного экстремума......е..... 64
43.2. Метод множителей Лагранжа для нахождения точек условного экстремума................... 66
43.3. Замечания о достаточных условиях для точек условного экстремума , , , ,........,..,,,,,,. §9
Стр. Главашестая
Интегральное исчисление функций многих переменных
§ 44. Кратные интегралы ....................73
44.1. Понятие объема в n-мерном пространстве. Множества меры нуль........................ « 73
44.2. Квадрируемые и кубируемые множества ....... f . 80
44.3. Определение кратного интеграла . ,........• 81
44.4. Существование кратного интеграла..........84
44.5. Свойства кратного интеграла.............89
§ 45. Сведение кратного интеграла к повторному.........92
45.1. Основная теорема для двумерного случая........ 92
45.2. Обобщения на n-мерный случай............98
§ 46. Замена переменных в кратном интеграле...........100
46.1. Геометрический смысл модуля якобиана в двумерном случае 100
46.2. Замена переменных в двукратном интеграле......109
46.3. Криволинейные координаты............. 116
46.4. Замена переменных в n-кратном интеграле.......118
§ 47. Криволинейные интегралы................119
47.1. Криволинейные интегралы первого рода........119
47.2. Криволинейные интегралы второго рода ........ 122
47.3. Расширение класса допустимых преобразований параметра кривой........•...............127
47.4. Криволинейные интегралы по кусочно-гладким кривым . . 128
47.5. Формула Грина ...................129
47.6. Вычисление площадей с помощью криволинейных интегралов .........................134
47.7. Геометрический смысл знака якобиана отображения плоских областей.................... 135
47.8. Криволинейные интегралы, не зависящие от пути интегрирования ............« •......> . . 138
§ 48. Несобственные кратные интегралы............. 148
48.1. Основные определения................ 148
48.2. Несобственные интегралы от неотрицательных функций 150
48.3. Несобственные интегралы от функций, меняющих знак . . 155 § 49. Некоторые геометрические и физические приложения кратных интегралов........................ 159
49.1. Вычисление площадей и объемов........, . . . 159
49.2. Физические приложения кратных интегралов ,,«,,. 161 § 50. Элементы теории поверхностей . ,............. 162
Стр.
50.1. Общие понятия.................. . 1R2
50.2. Касательная плоскость и нормаль к поверхности.....168
50.3. Первая квадратичная форма поверхности........173
50.4. Кривые на поверхности. Вычисление их длин и углов между ними.....- . ^........j ..... 174
50.5. Площадь поверхности.................175
50.6. Ориентация поверхности. Ориентируемые и неориентируемые поверхности..................179
§ 51. Поверхностные интегралы ,-...- ............187
51.1. Определение и свойства поверхностных интегралов ... 187
51.2. Поверхностные интегралы как пределы интегральных сумм !92
51.3. Поверхностные интегралы по поверхностям с коническими точками по кусочно-гладким поверхностям ,.....,193
§ 52. Скалярные и векторные поля , , 0...... ......196
52.1. Определения......................197
52.2. Формула Остроградского — Гаусса. Инвариантное определение дивергенции. . , . . 0............201
52.3. Формула Стокса. Инвариантное определение вихря .... 206
52.4. Соленоидальные векторные поля . . с ......211
52.5. Потенциальные векторные поля............212
§ 53. Собственные интегралы, зависящие от параметра.......215
53.1. Определение интегралов, зависящих от параметра; их непрерывность и интегрируемость по параметру.....215
53.2. Дифференцирование интегралов, зависящих от параметра 218 § 54. Несобственные интегралы, зависящие от параметра......220
54.1. Основные определения. Равномерная сходимость интегра
лов, зависящих от параметра ..... : с.....220
54.2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра .......... ..............224
54.3. Применение теории интегралов, зависящих от параметра, к вычислению определенных интегралов.........230
54.4. Эйлеровы интегралы.................235
54.5. Замечания о кратных интегралах, зависящих от параметра 241
Глава седьмая Ряды Фурье. Интеграл Фурье
§ 55. Классические ряды Фурье..........,..., 244
55.1. Определение ряда Фурье. Описание основных задач . . . 244
55.2. Стремление коэффициентов Фурье к нулю.......247
Стр.
55.3. Интеграл Дирихле. Принцип локализации ,»,.,,. 252
55.4. Сходимость рядов Фурье для кусочно дифференцируемых функций...............f.......255
55.5. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических......................, , 259
55.6. Приближение непрерывных функций многочленами' . . . 262
55.7. Полнота тригонометрической системы и системы неотрицательных целых степеней х..............264
55.8. Минимальное свойство коэффициентов Фурье. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля..........267
55.9. Характер сходимости рядов Фурье. Почленное дифференци-
рование и интегрирование рядов Фурье........270
55.10. Ряды Фурье в случае произвольного интервала. Комплексная запись рядов Фурье......, . . ,......276
§ 56. Интеграл Ф'урье и преобразование Фурье.......... 278
5G.1. Представление функций в виде интеграла Фурье .... 278
56.2. Различные виды записи формулы Фурье. Преобразование
Фурье........................ . 283
56.3. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций........................288
56.4. Преобразование Фурье производных.........290
56.5. Свартка и преобразование Фурье...........291
56.6. Производная преобразования Фурье функции . . .
§ 57 Функциональные пространства ,»,,,.........296
57.1. Метрические пространства .i..«j......
57.2. Линейные пространства ,.,...,........304
57.3. Нормированные пространства............307
57 4. Гильбертовы и предгильбертовы пространства.....315
57.5. Пространство L2 , , ,...............322
§ 58. Ортанормированные базисы и разложения по ним......331
58.1 Ортонормированные системы . ,..............331
58.2. Ортогонализация систем ,,«»..«........335
58.3. Ряды Фурье . , ,.................337
58.4. Существование базиса в сепарабельных гильбертовых пространствах. Изоморфизм сепарабельных гильбертовых пространств ..........................344
58.5. Некоторые следствия для классических рядов Фурье и рядов Фурье по полиномам Лежандра ........351
58.6. Преобразование Фурье интегрируемых в квадрате функций. Теорема Планшереля................355
| 59. Обобщенные функции...................365
295 296 296
Стр.
59.1. Общие соображения............... « 4 365
59.2. Линейные пространства со сходимостью. Функционалы. Сопряженные пространства..............368
59.3. Определение обобщенных функций,. Пространства D и D' 370
59.4. Дифференцирование обобщенных функций.......375
59.5. Пространство основных функций S и пространство обобщенных функций S' ....,,,.....,.....378
59.6. Преобразование Фурье в пространстве S ........ 380
59.7. Преобразование Фурье обобщенных функций ...... 383
Добавление.........«.................. 290
§ 60. Некоторые вопросы приближенных вычислений......, 390
60.1. Вычисление значений функций.........., . 390
60.2. Решение уравнений................ « 392
60.3. Интерполяция функций............., , 398
60.4. Квадратурные формулы.............,. , 400
. 60.5. Погрешность квадратурных формул........» , 404
Алфавитный указатель....................410
Цена: 150руб.
