ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие........................... 7
Введение. Исторический очерк................. 9
Глава I. Об операторах математической физики
§ 1. Постановка основных задач................ 23
§ 2. Некоторые вспомогательные понятия и формулы ...... 27
§ 3. Скалярное произведение функций............. 31
§ 4. Понятие об операторе и о функционале.......... 37
§ 5. Симметричные операторы................. 42
§ 6. Положительные и положительно определенные операторы . . 47
Глава II. Сходимость по энергии
§ 7. Оценка приближения и типы сходимости. Сходимость в среднем ....... . ....... ............ 53
§ 8. Сходимость по энергии.................. 62
§ 9. О линейной независимости функций.........., . 66
§ 10. Ортогональность и ортогональные ряды.......... 68
Глава III. Энергетический метод
§ 11. Теорема о минимальном функционале........... 79
§ 12. Представление решения в виде ортогонального ряда .... 84
§ 13. Минимизирующая последовательность и ее сходимость ... 87
§ 14. Метод Ритца........'....,........... 88
§ 15. Другие методы построения минимизирующей последовательности............./............ 96
§ 16. Функции с конечной энергией.....'.......... 10)
§ 17. Применение функций с конечной энергией. Случай естественных краевых условий................... 107
§ 18. Неоднородные краевые условия.............. ИЗ
§ 19. О существовании решения вариационной задачи ...... 117
Глава IV. Важнейшие применения энергетического метода
§ 20. Краевые задачи для обыкновенного дифференциального уравнения .......................... 121
§ 21. Изгиб балки переменного сечения, лежащей_на упругом основании .......................... 129
§ 22. Основные краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа 131 § 23. Задачи о кручении стержня и об изгибе стержня поперечной
силой.......................... 140
§ 24. Уравнения с переменными коэффициентами......... 147
§ 25. Вырождающиеся эллиптические уравнения; уравнение Чаплыгина .......................... ^53
§ 26. Принцип минимума потенциальной энергии в теории упругости 159
'§ 27. Изгиб тонких пластин.................. 165
>§ 28. Изгиб тонких пластин, к которым приложены как нормальные
нагрузки, так и усилия, действующие в серединной плоскости 178
Г- л а в а V. Проблема собственных чисел v
1 § 29. Задача о собственных числах; ее связь с задачами о собственных колебаниях и об устойчивости системы...... 183
§ 30. Собственные числа и собственные функции симметричного
оператора........................ 187
•§ 31. Энергетические теоремы в проблеме собственных чисел ... 191
; §'32. Метод Ритца в проблеме собственных чисел........ 198
§ 33. Другая форма метода Ритца; случай естественных краевых
условий......................... • 204
•§34. Уравнения вида Аи — \Bu-Q.............. 206
§ 35. Собственные числа обыкновенного дифференциального уравнения .......................... 208
§ 36. Устойчивость сжатого стержня.............. 218
§ 37. Собственные числа эллиптических операторов........ 220
§ 38. Устойчивость сжатой пластинки . ............. 226
§•39. Собственные колебания упругих тел............ 229
§'40. Минимаксимальный принцип и следствия из него...... 233
Глава VI. Обобщение предыдущих результатов
§ 41. Понятие об интеграле Лебега................ 240
§•42. Функциональные гильбертовы пространства......... 246
§ 43. Предельный переход в гильбертовых пространствах..... 252
§•44. Обобщение понятия об ортогональности........... 256
§ 45. Общее определение функционала и оператора........ 263
§;46. Общая постановка вариационной задачи и ее решение .... 271
- § 47. Метод минимальных поверхностных интегралов....... 279
Глава VII. Оценка погрешности приближенного решения
§ 48. Общие'замечания...................... 282
§'49. Подпространства и проекции................ 284
§ 50. Метод ортогональных проекций в задаче Дирихле...... 287
•§ 51. Общая формулировка метода ортогональных проекций .... 292
§ 52. Некоторые дополнительные соображения........... 296
§'53. Задача Неймана ....................... 298
,§54. Принцип Кастильяно и двусторонние оценки в теории упру-
• гости .......... .................. 300
§ 55. Метод Трефтца.................... . ,; . 304
§ 56. Бигармоническое уравнение. Метод негармонического остатка 308
§ 57. Обобщение метода Трефтца................. 312
§ 58. Применение к уравнению Пуассона............. 313
§ 59. Обобщение метода Трефтца на задачу об изгибе свободно
опертой пластины...................... 31б>
§ 60. Метод М. Г. Слободянского................. 320s
§ 61. Двусторонние оценки функционалов............. 323
§ 62. Двусторонние оценки собственных чисел........... 324
§ 63. Оценка погрешности, проистекающей от ошибки в уравнении 329
Глава VIII. Численные примеры
§ 64. О координатных функциях................. 333
§ 65. Кручение стержня прямоугольного сечения......... 339
§ 66. Изгиб прямоугольной пластинки, жестко закрепленной по краю 347
§ 67. Изгиб полукруглой пластинки, упруго закрепленной по краю 351 § 68. Вычисление собственных чисел обыкновенного дифференци аль-
ного уравнения второго порядка............... 354
§ 69. Собственные колебания стержня переменного сечения .... 357
§ 70. Радиальныэ собственные колебания упругого цилиндра . . . 364
§ 71. Колебания упругой прямоугольной пластинки в ее плоскости 368
§ 72. Устойчивость сжатой эллиптической пластинки........ 372
Глава IX. Метод Бубнова — Галеркина
§ 73. Основы метода....................... 375>
§ 74. Доказательство сходимости для интегрального уравнения типа
Фредгольма......................... 377
§ 75. Доказательство сходимости для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка .............. 381
§ 76. Вполне непрерывные операторы............... 384
§ 77. Уравнения, содержащие вполне непрерывный оператор .... 387 § 78. Достаточный признак сходимости метода Бубнова—Галеркина 392 § 79. Применение к обыкновенным дифференциальным уравнениям 399? § 80. Задача Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка 401 § 81. Задача Неймана и смешанная задача для уравнения эллиптического типа второго порядка................ 405
§ 82. Видоизменение метода Бубнова—Галеркина для случая естественных краевых условий.................. 408
' л а в а X. Метод наименьших квадратов
§ 83. Основы метода....................... 410
§ 84. Применение к интегральным уравнениям "........... 417
§ 85. Применение к краевым задачам с однородными краевыми
условиями......................... 419
§ 86. Вспомогательные предложения теории аналитических функций 421
§ 87. Задачи Дирихле и Неймана................. 425
§ 88. Задача Дирихле для эллипса........ .'.......• 428
§ 89. Случай кусочно-гладкого контура. Задача Дирихле...... 430
§ 90. Смешанная задача теории потенциала............ 432
§ 91. Плоская задача теории упругости.............. 439
§ 92. Периодическая задача теории упругости........... 442
§ 93. Напряжения в упругой области, ограниченной синусоидой ... 448
Глава XI. Конечноразностные методы
§ 94. Метод сеток..................•..... 453
§ 95. Основы метода прямых................... 456
§ 96. Дифференциальные уравнения метода прямых для уравнений
Лапласа и Пуассона..................... 458
§ 97. Случай трапецевидной области................ 460
§ 98. Дифференциальные уравнения метода прямых для бигармони-
ческого уравнения ....................• 4Ь7
470
Литеоатуоа.............................• '"
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемая вниманию читателя книга представляет результат существенной переработки книги автора, вышедшей в 1950 г. под названием „Прямые методы в математической физике". Переработка в основном произведена в двух направлениях. Прежде всего, важнейший из вариационных методов — энергетический — изложен для основных задач математической физики на более элементарной математической базе, без привлечения теории операторов в гильбертовом пространстве. Более общая точка зрения, естественно возникающая на основе уже накопленного материала, дается только в главе VI. Автор надеется, что такая перестройка изложения сделает книгу доступной для более широкого круга читателей.
Другое изменение, которое кажется автору весьма важным, состоит в следующем. За последние несколько лет и у нас, и за границей появилось много работ, в которых изучается погрешность приближенного решения. Наличие этих работ позволяет изложить с необходимой для практики полнотой вопрос об оценке погрешности приближенного решения, даваемого энергетическим методом. Этому вопросу, который в книге „Прямые методы" был только намечен, в настоящей книге отводится особая большая глава.
Кроме указанных выше коренных изменений, выполнен еще ряд довольно важных, хотя и не столь значительных переделок:
1) введена .глава о постановке основных задач математической физики и о важнейших свойствах наиболее часто встречающихся операторов математической физики;
2) полнее рассмотрен вопрос о естественных краевых условиях;
3) значительно подробнее изложена теория собственных чисел, которой отведена особая глава;
4) количество численных примеров сокращено, но зато в большинстве оставленных примеров расчет доведен до оценки погрешности;
5) обоснование метода Бубнова—Галеркина проводится без использования теории бесконечных систем;
6) основной материал глав II („Вариационные принципы в математической физике") и III („Методы решения вариационных проблем") книги „Прямые методы" объединен в главе IV настоящей книги;
Цена: 300руб.
