Математика	Физика	Химия	Биология	Техника и технологии
	Мера и интеграл-ТОЛСТОЕ Г. П.«Наука», 1976.стр.400
Мера и интеграл, ТОЛСТОЕ Г. П. Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1976. Книга содержит краткое и довольно простое изложение элементов теории абстрактной меры и интеграла (включая меру и интеграл Лебега и Лебега — Стилтьеса). Она может оказаться полезной студентам математических специальностей университетов и педагогических институтов, а также студентам инженерно-математических специальностей втузов, аспирантам и заинтересованным научным работникам. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие.............•• i Глава I. Введение........... 9 § 1. Кольца и алгебры множеств....... 9 § 2. Полукольца........... 14 § 3. Борелевские кольца и алгебры, б-кольца. Борелов- ские множества.......... 1' § 4. Последовательности множеств, их пределы (по Бо- \ релю)............. 21 § 5. Функции множества, конечная н счетная аддитивность ............. 24 § 6. Непрерывность счетно-аддитивной функции, заданной на кольце........... 30 § 7. О группировке членов положительного ряда . . 32 Глава II. Мера — начальные сведения...... 35 § 1. Абстрактная мера, ее общие свойства; вероятностная мера............ 35 § 2. Продолжение меры — постановка задачи ... 41 § 3. Продолжение моры с полукольца на кольцо, минимальное над ним.......... 43 § 4. Мера Стилтьеса на прямой, критерий счетной аддитивности ............ 46 § 5. Функция распределения меры на прямой ... 51 § 6. Мера Стилтьеса на плоскости и в re-мерном пространстве ............. 54 § 7. Функция распределения меры на плоскости и в «-мерном пространстве........ 70 § 8. Классы 0 (М) и б (М); ^-измеримость .... 74 § 9. Лузинские меры.......... 79 § 10. Борелевские меры. Полные меры..... 80 Г л_а в а III. Продолжение меры. Меры Лебега и Лебега — Стилтьеса...........86 § 1. Внутренняя и внешняя меры, индуцированные про-изво^дьной мерой. Продолжение меры по схеме древ-'ниХ'"греков............86 § 2. Продолжение меры но схеме Жордана .... 91 § 3. Продолжение счетно-аддитивной меры с кольца М на классы а (М) и 8(М)........93 § 4. Продолжение счетно-аддитивной меры с б-кольца М на класс а(М).......... 105 § 5. Продолжение счетно-аддитивной меры по схеме Лебега. Внутренняя и внешняя меры Лебега . . . 105 § 6. Свойства лебеговского продолжения. Ворелевское продолжение счетно-аддитивной меры . . . . НО § 7. Мера Лебега на прямой........114 § 8. Мера Лебега — Стилтьеса на прямой .... 120 § 9. Функция распределения счетно-аддитивной меры на прямой.............124 § 10. Мера Лебега на плоскости и в re-мерном пространстве ..............126 § 11. Мера Лебега — Стилтьеса на плоскости и в ге-мер- ном пространстве..........134 § 12. Функция распределения счетно-аддитивной меры на плоскости и в n-мерном пространстве .... 137 Глава IV. Измеримые функции....... 144 § 1. ^-измеримые функции, их простейшие свойства. Бо-релевскио функции и функции, измеримые по Лебегу .............144 § 2. Характеристические функции. Ступенчатые функции ..............148 \| 3. Арифметические операции над измеримыми функциями, суперпозиции.........153 § 4. ^.-измеримые функции. Понятие «почти всюду» . 156 § 5. Сходимость почти всюду, сходимость по мере . . 159 § 6. Теорема Д. Ф. Егорова........166 § 7. Теорема Н. Н. Лузина........168 Глава V. Произведение мер.........175 § 1. Ступенчатый интеграл........175 § 2. Прямые произведения множеств и классов множеств .............179 § 3. Произведение мер, заданных на полукольцах . . 185 § 4. Лебеговское и борелевское произведения мер . . 190 Глава VI. Интеграл по лузинской мере (случай неотрицательной функции)........198 § 1. Ординатные множества........198 § 2. Интеграл от неотрицательной функции — определение и простейшие свойства.......202 § 3. Простейшие свойства, специфические для интеграла от неотрицательной функции......207 § 4. Интегрирование последовательностей неотрицательных функций...........212 § 5. Линейность интеграла.........218 § 6. Интегрирование положительных рядов .... 220 Глава VII. Интеграл по лузинской мере (без ограничения на знак функции) ........ 223 § 1. Определение...........223 § 2. Простейшие свойства интеграла. Теорема Лебега 225 § 3. Интегральные суммы Лебега......235 § 4. Интегральные суммы Римана. Интеграл Римана . 238 § 5. Интеграл как функция множества. Абсолютная не- прерывность ........ ... 247 § 6. Свойства интеграла, связанные с операциями над мерой; интегральное преобразование меры . . 253 § 7. Атомы, непрерывно распределенная мера, интеграл при наличии атомов ......... 259 Глава VIII. Интеграл Лебега и Лебега —Стилтьеса . . 265 § 1. Интеграл Лебега .......... 265 § 2. Интеграл Лебега — Стилтьеса — вводные замечания, терминология и обозначения ....... 270 § 3. Дискретная мера Лебега — Стилтьеса; интеграл в этом случае ........... 274 § 4. Мера Лебега — Стилтьоса, заданная интегралом; ин- теграл по такой мере . . . ..... 279 § 5. Свойства интеграла Лебега — Стилтьеса, связанные с простейшими операциями над мерами . . . 284 § 6. Интеграл Лебега -г- Стилтьеса при наличии атомов 287 Г л а в а IX. Теорема Фубини ......... 292 § 1. Монотонные классы множеств ...... 292 § 2. Свойство Фубини .......... 294 § 3. Теорема Фубини в случае борелевского произведения мер для конечного прямоугольника и ограниченной функции . . ........ 299 § 4. Теорема Фубини для борелевского произведения мер в случае существования внутреннего интеграла ............. 305 § 5. Свойство Фубини в широком смысле . . . . 311 \| 6. Теорема Фубини для борелевского произведения мер в общем случав ...... ... 315 § 7. Теоремы о сечениях множеств и функций . . . 318 § 8. Теорема Фубини в случае лебеговского произведе- ния мер ............ 320 Глава X. Преобразование интеграла при отображении . 327 § 1. Измеримые отображения ....... 327 § 2. Преобразование меры при отображении . . . 332 \| 3. Преобразование интеграла при отображении. Связь абстрактного интеграла с одномерным интегралом Лебега — Стилтьеса ......... 333 Глава XI. Функции множества на борелевских кольцах 340 § 1. Сосредоточенные функции. Свойства меры, задан- ной на борелевском кольце ....... 340 § 2. Обобщенная мера .......... 341 § 3. Вариации функции множества. Вариации интеграла 344 § 4. Ограниченность счетно-аддитивной функции, задан- ной на борелевском кольце ....... 346 § 5. Теорема Жордана о вариациях счетно-аддитивной функции, заданной на борелевском кольце; ее след- .... 347 ствия § 6. Разложение в смысле Хаиа.......350 § 7. Разложение функции множества на абсолютно непрерывную и сингулярную составляющие (разложение в смысле Лебега)........354 Глава XII. Теорема Радона — Никодима и ее приложения 361 § 1. Теорема Радона — Никодима для борелевской алгебры .............36' § 2. Усиление теоремы Радона — Никодима .... оо4 § 3. Интеграл по абсолютно непрерывной море . . . 36 < § 4. Лебеговское разложение интеграла на абсолютно непрерывную и сингулярную составляющие . . 368 § 5. Лебеговское разложение интеграла при наличии атомов.........„• • ' ' § 6. Лебеговское разложение интеграла Леоега — Стил- тьеса..........• 3/2 § 7. Абсолютно непрерывные и сингулярные функции точки на прямой. Неопределенный интеграл Лебега 376 Глава XIII. Интеграл по обобщенной мере.....385 § 1. Определение..........__• 38о ч § 2. Лебеговское разложение интеграла по обобщенной \ мере.............386 § 3. Обобщенная мера Лебега — Стилтьеса; интеграл по такой мере........„' ' ' ' § 4. Лебеговское разложение интеграла Лебега — Стилтьеса по обобщенной мере . . . • • • • 391 ПРЕДИСЛОВИЕ Эта книга — результат основательной обработки лекций, читавшихся автором в последние годы с целью восполнить недостающее в сведениях о мере и интеграле, сообщаемых студентам в обычном курсе математического анализа, в частности, дать базу для достаточно современного изложения теоретико-вероятностных дисциплин. Книга доступна читателю, знакомому с простейшими операциями над множествами, с началами дифференциального и интегрального исчисления и имеющему представление о многомерных евклидовых и метрических пространствах, включая понятия открытых и замкнутых множеств. Книга содержит элементы теории меры, сведения об измеримых функциях, теорию абстрактного интеграла Лебега (включая теорему Фубини) и теорию обычных интегралов Лебега и Лебега — Стилтьеса, сведения о функциях множества (включая понятие вариации функции множества и теорему Радона — Никодима). Книга в целом — нечто среднее между монографией и учебным пособием. Она почти не содержит специальных упражнений, но это в какой-то мере компенсируется довольно большим количеством иллюстрирующих примеров, замечаний и дополнительного материала. Способ изложения (за малым исключением) сильно отличается от принятого в известных книгах С. Сакса, П. Халмоша, Г. Е. Шилова, А. Н. Колмогорова и С. В. Фомина и др. Интеграл от положительной функции вводится на геометрической основе — как «площадь» соответствующей «криволинейной трапеции» в декартовом произведении рассматриваемого абстрактного пространства и числовой прямой. В результате многие свойства абстрактного интеграла оказываются либо простыми аналогиями элементарно-геометрических фактов, либо — в теоремах о предельном переходе — некоторыми перефрази- Цена: 150руб.
Назад	Заказ	На главную страницу