Книга предназначена для лиц, желающих углубить и расширить свои знания по математике перед вступительным экзаменом в высшее учебное заведение. Особенно полезной она может оказаться слушателям подготовительных отделений вузов. Учителя средней школы найдут в ней богатый материал по некоторым узловым темам школьной программы.
В книге изложены отдельные важные теоретические вопросы, подкрепленные большим количеством разобранных конкурсных задач. Особое внимание авторы уделяют логике решений, подробно обсуждают типичные ошибки поступающих. Книга снабжена упражнениями, взятыми из опыта приемных экзаменов.
При подготовке третьего издания книга подверглась переработке, имевшей целью учесть опыт приемных экзаменов 1970 и 1971 гг.
ОГЛАВЛЕНИЕ
К читателю......•.............5
Программа вступительных экзаменов по математике (1971 г.) . 11
Раздел I. Арифметика и алгебра...........19
§ 1. Общие замечания............• • • 19
A. Определения и теоремы...........20
Б. Целые, рациональные и иррациональные числа ... 25
B. Логарифмы................34
Г. Прогрессии................42
Д. Уравнения и системы уравнений........53
Е. Метод математической индукции........62
§ 2. Некоторые сведения о действительных числах .... 69 § 3. Некоторые сведения о комплексных числах ..... 87
§ 4. Графики функций............... 100
§ 5. «Текстовые» задачи.............. 125
§ 6. Решение уравнений........... • • • 149
§ 7. Решение неравенств.............. 175
§ 8. Доказательство неравенств........• • . 202
Раздел II. Тригонометрия..............222
§ 1. Общие замечания.............. • 222
А. Определения тригонометрических функций .... 222 Б. Тригонометрические формулы ......... 224
§ 2. Тригонометрические преобразования........230
§ 3. Тригонометрические уравнения.......... 242
§ 4. Обратные тригонометрические функции.......267
Раздел III. Геометрия...............276
§ 1. Общие замечания...............276
A. Определения и теоремы...........277
Б. Чертеж в геометрической задаче ........283
B. Геометрические места точек . ......... 288
Г. Построения циркулем и линейкой........293
§ 2. Прямые и плоскости в пространстве........295
§ 3. Использование тригонометрии и алгебры в геометрии . . 314
| 4. Доказательства в геометрии...........338
s 5. Геометриечское воображение........... 362
$ 6. Комбинации тел............. • 377
§ 7. Сечения многогранников............395
. . 414 раздел W. «Нестандартные, задачи........ g
§ ,. Задачи, нестандартные: пс.внешнему виду -^ ; ; 427
| I ГадГи', гГ—Г ^нные трудности-логи- ^ § 4. Задали, связанные с расположением корней квадратного ^
трехчлена .••••'• Раздел V. О вступительных экзаменах по ««-.«« . . . ^
& 1 Устный экзамен • •.........•••'• 47°
§ 2 Письменный экзамен.....
К ЧИТАТЕЛЮ
Математика уже давно стала основным аппаратом физики и техники. В последние годы математические методы исследования все настойчивее проникают в такие науки, как химия, биология, геология, экономика, лингвистика, педагогика, медицина, право, археология. Поэтому не удивительно, что на многих, в том числе и гуманитарных, факультетах университетов, во всех технических вузах поступающие сдают экзамены по математике.
Этого экзамена многие боятся. Часто можно услышать разговоры, что на приемных экзаменах по математике поступающим предлагают решать головоломнейшне задачи, а экзаменаторы якобы только тем и обеспокоены, как бы «срезать» побольше поступающих.
Все это, конечно, фантазия. На приемных экзаменах речь идет не о каких-то сложных проблемах, а о задачах в пределах обычного школьного курса в полном соответствии с «Программой вступительных экзаменов по матем/атике для поступающих в высшие учебныз заведения СССР». Поводом же для «страхов» и слухов о «головоломках» обычно служит просто слабое и формальное владение стандартным школьным материалом—ведь в этом случае и простая задача покажется неприступной.
Конечно, сказанное отнюдь не означает, что все конкурсные задачи очень просты и решаются немедленно без всяких размышлений и усилий. Уверенно справиться с ними может лишь тот, кто глубоко владеет материалом программы и имеет достаточную практику в решении задач. А это достигается лишь упорным, настойчивым трудом. Математику нельзя выучить за одну ночь — только систематические занятия могут сделать экзаменационные вопросы и задачи простыми и легкими.
Верно, что на экзамене по математике надо уметь решать задачи. Но каждый понимает, что задачи надо решать правильно. В этом различии — просто решать или решать правильно — и состоит суть дела. Очень часто вступающие считают, что решить задачу— значит провести некоторое количество выкладок, имеющих отношение к предложенной задаче. Но эти выкладки далеко на всегда можно считать правильным решением.
Экзаменаторы хотят получить от поступающего исчерпывающе?, логически верное и грамотно изложенное решение поставленных перед ним задач. Они стремятся не просто проверить знание тех или иных школьных теорем, умение формально проводить те или нпыа выкладки, но и выяснить, насколько поступающий владеет логикой математических рассуждений, в какой мере он умеет применять теоретические знания при решении задач. К сожалению, это и является самым сложным для поступающих — гораздо труднез
Цена: 150руб.
