126 Возвратные последовательности.— 3-е изд.— М.: Наука, 1983.— 48 с.— (Популярные лекции по математике).— 10 к.
Возвратные последовательности охватывают, как весьма частные случаи арифметическую и геометрическую прогрессии, последовательности квадратов и кубов натуральных чисел, числа Фибоначчи и любые периодические последова- • тельности. Основы их обшей теории были разработаны еще в XVIII в. французским математиком Муавром и первыми петербургскими академиками Д. Бег нулли и Л. Эйлером.
ПРЕДИСЛОВИЕ
В этой брошюре содержится расширенное изложение лекции, читанной автором для школьников IX и X клас-СО8 — участников Московской математической олимпиады, а затем — в несколько измененном виде — в Московском институте усовершенствования учителей.
Тема «Возвратные последовательности» близка к школьному курсу (арифметические и геометрические прогрессии, последовательность квадратов натуральных чисел, последовательности коэффициентов частного от деления двух многочленов, расположенных "по возрастающим степеням, и т. п.). Вместе с тем это настоящая маленькая математическая теория*), законченная, простая, ясная, как и все то, что вышло из рук крупнейших мастеров математического анализа, создавших эту теорию.
Основы теории возвратных последовательностей были разработаны и опубликованы в двадцатых годах восемнадцатого века французским математиком Муав-ром [имя которого носит формула: (cos a + /sin а)" = = cos /m-H'sin па] и одним из первых по времени членов Петербургской Академии наук швейцарским математиком Даниилом Бернулли. Развернутую теорию дал крупнейшгй математик восемнадцатого века петербургский академик Леонард Эйлер, посвятивший возвратным
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Эта книжка должна была дать читателю представление о разнообразии возвратных последовательностей и их роли в математике. Вместе с тем мы показали, что возвратные последовательности недалеко ушли от наиболее простых из них — геометрической прогрессии и последовательностей степеней натуральных чисел (в частности, последовательности самих натуральных чисел, составляющих арифметическую прогрессию) — и могут быть выражены с помощью этих простейших' последовательностей.
• Но уже в элементарной математике на каждом шагу встречаются последовательности, не являющиеся возвратными. Такова, например,
Эта последовательность, с ее глубокими и сложными свойствами, изучается в теории чисел.
Не являются возвратными также последовательности значений многих элементарных функций, например:
(последовательность значений функции у—- при- jc = = 1, 2, 3, . . .), или
(поолелорятрльногти янячений гЬункп-ий vx и Incr r\
Изучением этих и им подобных последовательностей *) (а вместе с ними и возвратных последовательностей) занимается упоминавшаяся выше математическая дисциплина — исчисление конечных разностей.
Наконец, в курсе элементарной математики и в особенности в курсе математического анализа весьма важную роль играют сходящиеся последовательности, т. е. последовательности, обладающие конечными пределами. Их изучение составляет важнейшую задачу теории пределов и относится к основам математического анализа. Свойства отдельных членов последовательностей играют при этом более чем второстепенную роль: важен лишь факт существования предела и величина этого предела.
Все эти замечания мы считаем необходимым сделать для того, чтобы читатель понял, что изложенная нами теория возвратных последовательностей, как с точки зрения своего предмета, так и с т.очки зрения выявляемых ею закономерностей, представляет собой лишь весьма частную и скромную главу учения о последовательностях.
*) Речь идет о последовательностях значений так называемых аналитических функций, простейшими представителями которых являются элементарные функции.
Цена: 100руб.
