Предисловиекседьмомуизданию ................ S
ВВЕДЕНИЕ
§ 1. Математический анализ и его значение............... 11
1. «Элементарная» и «высшая» математика.....,........ 11
2. Понятие величины. Переменная величина и функциональная зависимость................................ 13
3. Математический анализ и действительность............ 15
§ 2. Некоторые исторические замечания.................. 19
4. Великие отечественные математики: Л. П. Эйлер, Н. И. Лобачевский, П. Л. Чебышев........................ 19
5. Крупнейшие отечественные инженеры-математики: Н. Е. Жуковский, С. А. Чаплыгин, А. Н. Крылов.............. 21
§ 3. Действительные числа........................... 22
6. Действительные числа. Числовая ось................ 22
7. Интервал. Абсолютная величина................... 25
8. О приближённых вычислениях.................... 28
ГЛАВ А 1
ФУНКЦИЯ
§ 1. Функции и способы их задания.................... 31
9. Понятие функции............................. 31
10. Способы задания функции....................... 32
§ 2. Символика и классификация функций................ 36
11. Символика................................. 36
12. Понятие сложной функции. Элементарные функции....... 38
13. Классификация функций........................ 40
§ 3. Простейшее изучение функций..................... 43
14. Область определения функции. Область определённости аналитического выражения......................... 43
15. Элементы поведения функции .................... 47
16. Графическое изучение функции. Линейная комбинация функций 50
§ 4. Простейшие функции............................ 52
17. Прямая пропорциональная зависимость и линейная функция. Понятие приращения.......................... 52
18. Квадратичная функция......................... 55
19. Обратная пропорциональная зависимость и дробно-линейная функция................................... 58.
§ 5. Обратная функция. Степенная, показательная и логарифмическая функции................................. 61
20. Понятие обратной функции....................... 61
21. Степенная функция........................... 64
22. Показательная и гиперболические функции............ 66
23. Логарифмическая функция....................... 69
§ 6. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции 71
24. Тригонометрические функции..................... 71
25. Простые и сложные гармонические колебания.......... 73
26. Обратные тригонометрические функции.............. 77
ГЛАВА п ПРЕДЕЛ
§ 1. Основные определения........................... 80
27. Предел функции целочисленного аргумента............ 80
28. Примеры.................................. 82
29. Предел функции непрерывного аргумента............. 85
§ 2. Бесконечные величины. Правила предельного перехода .... 91
30. Бесконечно большие величины. Ограниченные функции . . . , 91
31. Бесконечно малые величины.....,................ 95
32. Правила предельного перехода.................... 97
33. Примеры.................................. 102
34. Признаки существования предела.................. 104
§ 3. Непрерывные функции........................... 106
35. Непрерывность функции........................ 106
36. Точки разрыва функции......................... 109
37. Общие свойства непрерывных функций............... 113
38. Операции над непрерывными функциями. Непрерывность элементарных функций........................... 117
§ 4. Сравнение бесконечно малых. Некоторые замечательные
пределы.................................... 120
39. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые 120
40. Примеры отношений бесконечно малых............... 124
41. Число е. Натуральные логарифмы................... 126
ГЛАВА III
ПРОИЗВОДНАЯ И ДИФФЕРЕНЦИАЛ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Понятие производной. Скорость изменения функции...... 131
42. Некоторые понятия физики....................... 131
43. Производная функция.......................... 136
44. Геометрическая интерпретация производной............ 139
45. Некоторые свойства параболы..................... 142
§ 2. Дифференцирование функций ..................... 143
46. Дифференцирование результатов арифметических действий . . 143
47. Дифференцирование сложной функции............... 147
48. Производные основных элементарных функций.......... 150
49. Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование обратных и неявных функций..................... 155
50. Графическое дифференцирование................... 159
6 3. Понятие дифференциала. Дифференцируемость функции ... 160
**
51. Дифференциал и его геометрическая интерпретация....... 160
52. Свойства дифференциал........................ 164
53. Применение дифференциала к приближённым вычислениям . . 166
54. Дифференцируемость функции. Гладкость линии......... 169
§ 4. Производная как скорость изменения (дальнейшие примеры) 172
55. Скорость изменения функции относительно функции. Параметрическое задание функций и линий............... 172
56. Скорость изменения полярного радиуса............... 177
57. Скорость изменения длины линии.................. 180
58. Процессы органического роста.................... 182
§ 5. Повторное дифференцирование..................... 184
59. Производные высших порядков.................... 184
60. Формула Лейбница............................ 187
61. Дифференциалы высших порядков.................. 189
ГЛАВА IV
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ И ЛИНИЙ
§ 1. Поведение функции «в точке»...................... 192
62. Построение графика по «элементам»................. 192
63. Поведение функции «в точке». Экстремумы............ 193
64. Признаки поведения функции «в точке».............. 197
§ 2. Применение первой производной.................... 209
65. Теоремы Ролля и Лагранжа...................... 200
66. Применения формулы Лагранжа к приближённым вычислениям 203
67. Поведение функции в интервале................... 205
68. Примеры.................................. 209
69. Одно свойство первообразной функции............... 215
§ 3. Применение второй производной.................... 217
70. Второй достаточный признак экстремума.............. 217
71. Выпуклость и вогнутость линии. Точки перегиба......... 219
72. Примеры.................................. 223
§ 4. Дополнительные вопросы. Решение уравнений.......... 225
73. Теорема Коши и правило Лопиталя................. 225
74. Асимптотическое изменение функций и асимптоты линий. . . 233
75. Общая схема исследования функций. Примеры.......... 239
76. Решение уравнений. Понятие кратного корня........... 242
§ 5. Формула Тейлора и её применения.................. 249
77. Формула Тейлора для многочленов.................. 249
78. Формула Тейлора............................. 251
79. Некоторые применения формулы Тейлора. Примеры....... 254
§ 6. Кривизна.................................... 261
80. Понятие кривизны............................ 261
81. Радиус, центр и круг кривизны.................... 264
82. Эволюта и эвольвента.......................... 267
83. Примеры.................................. 270
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Понятие определённого интеграла................... 273
84. Площадь криволинейной трапеции.................. 273
85. Примеры из физики........................... 279
86. Определённый интеграл. Теорема существования......... 282
87. Вычисление определённого интеграла................ 287
§ 2. Основные свойства определённого интеграла............ 289
88. Простейшие свойства определённого интеграла.......... 289
89. Изменение направления и разбиение интервала интегрирования. Геометрическая интерпретация интеграла ............. 290
90. Оценка определённого интеграла................... 293
§ 3. Основные свойства определённого интеграла (продолжение).
Формула Ньютона-Лейбница....................... 298
91. Теорема о среднем. Среднее значение функции......... 298
92. Производная от интеграла по верхнему пределу........ 301
93. Формула Ньютона-Лейбница..................... 304
ГЛАВА VI
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
§ 1. Понятие неопределённого интеграла и неопределённое интегрирование ................................... 308
94. Неопределённый интеграл. Основная таблица интегралов. . . 308
95. Простейшие правила интегрирования................ 310
96. Примеры.................................. 312
§ 2. Основные методы интегрирования................... 316
97. Интегрирование по частям...................... 316
98. Замена переменной........................... 319
§ 3. Основные классы интегрируемых функций ............ 323
99. Дробно-рациональные функции.................... 323
100. Примеры.................................. 329
101. Метод Остроградского......................... 333
102. Некоторые иррациональные функции................ 336
103. Тригонометрические функции.................... 341
104. Рациональные функции от х и 1/ах3 -f- Ъх -4- с......... 344
105. Общие замечания............................ 347
ГЛАВА VII
СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЁННЫХ ИНТЕГРАЛОВ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Способы вычисления интегралов.................... 349
106. Определённое интегрирование по частям............. 349
107. Замена переменной в определённом интеграле......... 351
§ 2. Приближённые методы........................... 356
108. Численное интегрирование...................... 356
109. Графическое интегрирование..................... 361
364
к 3 Несобственные интегралы......................... аи*
110 Интеграл с бесконечными пределами................ Зо4
111! Признаки сходимости и расходимости интеграла с бесконечными пределами............................. 367
112 Интеграл от функции с бесконечными разрывами....... он
11Я Признаки сходимости и расходимости интеграла от разрывной
функции .................................. 3
ГЛАВА VIII
ПРИМЕНЕНИЯ ИНТЕГРАЛА
§ 1. Простейшие задачи и методы их решения............. 378
114. Метод «суммирования элементов»................. 378
115. Метод «дифференциального уравнения». Схема решения задач 380
116. Примеры.................................. 384
§ 2. Некоторые задачи геометрии и статики. Процессы органического роста................................... 388
117. Площадь фигуры............................. 388
118. Длина линии............................... 39'
119. Объём тела................................ 39о
120. Площадь поверхности вращения................... 400
121. Центр тяжести и теоремы Гюльдена................ 402
122. Процессы органического роста.................... 40S
ГЛАВА IX
РЯДЫ
§ t. Числовые ряды................................ 411
123. Понятие ряда. Сходимость...................... 411
124. Ряды с положительными членами. Достаточные признаки сходимости................................ 415
125. Ряды с произвольными членами. Абсолютная сходимость . . 421
126. Действия над рядами.......................... 424
§ 2. Функциональные ряды........................... 426
127. Определения. Равномерная сходимость............... 426
128. Интегрирование и дифференцирование функциональных рядов 430
§ 3. Степенные ряды............................... 433
129. Ряды Тейлора............................... 433
130. Примеры.................................. 435
131. Интервал и радиус сходимости................... 438
132. Общие свойства степенных рядов.................. 441
§ 4. Степенные ряды (продолжение)..................... 444
133. Другой метод разложения функций в ряд Тейлора....... 444
134. Некоторые применения рядов Тейлора............... 449
135. Функции комплексной переменной. Формулы Эйлера..... 455
Предметный указатель......................... 481
Цена: 150руб.
