Предисловие............................. 7
Введение............................... 11
Глава I. Действительные числа. Теория пределов........ 19
§ 1. Рациональные числа ................... 19
§ 2. Числовая ось....................... 21
§ 3. Иррациональные числа.................. 22
§ 4. Действительные числа; неравенства между ними...... 26
§ 5. Теорема непрерывности области действительных чисел ... 28
§ 6. Числовые множества................... 29
§ 7. Числовые последовательности............... 31
§ 8. Предел последовательности................ 32
| 9. Предел монотонной последовательности.......... 40
§ 10. Изображение действительных чисел с помощью бесконечных
десятичных дробей.................... 42
§ 11. Арифметические операции над действительными числами . . 46
§ 12. Об измерении отрезков.................. 51
§ 13. Абсолютная величина................... 54
§ 14. Е-определение понятия предела последовательности .... 56
§ 15. Переменная, пробегающая последовательность значений . . 57
§ 16. Бесконечно малые..................... 58
§ 17. Бесконечно большие.................... 61
§ 18. Свойства конечных пределов, связанные с арифметическими
действиями над переменными............... 65
§ 19. Арифметический корень. Степень с рациональным показателем ............................ 69
§ 20. Степень с любым действительным показателем....... 73
§ 21. Л ,гарифмы........................ 79
§ 22. Число е. Натуральные логарифмы; их связь с десятичными . 84
§ 23. Понятие о числовом ряде................. 87
Г л а в а II. Функции одной переменной. Непрерывность...... 95
§ 1. Переменная величина................... 95
§ 2. Функции одн <й переменной................ 96
§ 3. Способы задания функции................. 99
§ 4. Графики некоторых простейших функций......... 102
§ 5. Основные элементарные функции. Понятие о многозначных
функциях......................... 105
§ 6. Сложные функции. Класс элементарных функций...... 114
§ 7. Предел функции..................... 115
§ 8. Бесконечно малые и бесконечно большие.......... 119
§ 9. Свойства конечных пределов............... 122
§ 10. Замена переменной в операции перехода к пределу .... 127
§ 11. Вычисление некоторых пределов.............. 128
§ 12. Непрерывность...................... 132
§ 13. Арифметические действия над непрерывными функциями . . 134 § 14. Приращение независимой переменной и функции. Еще о непрерывности....................... 135
§ 15. Монотонные функции................... 136
§ 16. Обратная функция.................... 137
§ 17. О непрерывности обратной функции............ 139
§ 18. О непрерывности сложных функций. Непрерывность элементарных функций..................... 141
§ 19. Точки разрыва; их классификация. Односторонние пределы . 142
§ 20. Поведение функции вблизи ее предела........... 148
ij 21. Условие (Е — о) непрерывности функции в точке...... 154
§ 22. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших .... 155
§ 23. Понятие о функциях от нескольких переменных...... 159
1лва III. Производная и дифференциал............. 164
§ 1. Производная....................... 164
& 2. Вычисление производных от некоторых элементарных функций ........................... 168
§ 3. Формула для приращения функции. Непрерывность функции,
обладающей конечной производной............. 172
§ 4. Простейшие правила вычисления производных....... 174
§ 5. Производная сложной функции.............. 177
§ 6. Производная обратной функции.............. 179
§ 7. О бесконечной производной................ 182
§ 8. Сводка формул для производных............. 183
§ 9. Дифференциал...................... 185
10. Сводка формул для дифференциалов............ 188
11. Дифференциал сложной функции. Инвариантность формы дифференциала ........................ 189
§ 12. Производные высших порядков.............. 190
§ 13. Формула Лейбница для n-й производной от произведения
двух функций...................... 192
§ 14. Производные высших порядков сложной функции..... 194
§ 15. Производные высших порядков обратной функции..... 194
16. Дифференциалы высших порядков............. 195
17. Дифференциалы высших порядков сложной функции. Нарушение свойства инвариантности формы для дифференциалов высших порядков..................... 196
§ 18. Выражение производных через дифференциалы по любой переменной ......................... 197
§ 19. Неявные функции и их производные............ 198
л а в а IV. Важнейшие свойства функций и производных. Исследование функций.................... 207
§ 1. Точные границы числовых множеств............ 207
§ 2. Предел монотонной функции ............... 209
3. Теорема Больцано — Вейерштрасса............. 211
4. Свойства функции, непрерывной на отрезке........ 213
5. Теорема об обратной функции............... 220
§ 6. Основные теоремы о производных............. 221
§ 7 Раскрытие неопределенностей............... 227
4J 8. Формула Тейлора для многочлена............. 234
§ 9. Формула Тейлора в общем случае............. 235
§ 10.. Ряд Тейлора. Разложение ах, sin л:, cos x в ряды но степеням х.......................... 239
§ 11. Локальная формула Тейлора................ 242
§ 12. Признаки постоянства, возрастания и убывания функций . . • 244
13. Максимумы и минимумы ................. 250
14. Отыскание наибольших и наименьших значений функций . . 259
15. Характер выпуклости кривой; точки перегиба........ 263
§ 16. Отыскание асимптот................... 265
§ 17. Построение графиков функций по характерным точкам . . . 268
V. Элементы дифференциальной геометрии на плоскости 271
1. Касательные и нормали к плоским кривым......... 271
jj 2. Кривые, задаваемые параметрическими уравнениями. Особые
точки.......................... 272
§ 3. Длина кривой ....................... 281
ij 4. Дифференциал дуги плоской кривой............ 284
jj 5. Дуга в роли параметра.................. 289
§ 6. Кривизна плоской кривой................. 291
§ 7. Круг и центр кривизны.................. 298
§ 8. Круг кривизны как соприкасающийся круг......... 299
§ 9. Эволюты и эвольвенты.................. 301
§ 10. Некоторые сведения о пространственных кривых...... 309
Глава VI. Комплексные числа и комплексные функции.....312
§ 1. Комплексные числа и арифметические действия над ними . . 312 ч; 2. Модуль и аргумент. Тригонометрическая форма комплексного
числа...........................318
§ 3. Возведение в степень; формула Муавра...........322
ij 4. Извлечение корня.....................323
>j 5. Предел последовательности комплексных чисел.......325
$ 6. Ряды с комплексными членами..........; . . . . 328
§ 7. Комплексный показатель степени. Формула Эйлера. Показатель-пая форма записи комплексного числа ........... 330
§ 8. Комплексные функции действительной переменной......332
Глава VII. Свойства многочленов. Решение уравнений.....334
^ 1. Формула Тейлора для многочлена в случае комплексных значений коэффициентов и переменной.............334
§ 2. Корни многочлена. Разложение многочлена на линейные множители ..........................335
§ 3. Равенство многочленов. Интерполяционная формула Лагранжа 337
§ 4. Признак кратности корня многочлена............340
§ 5. Свойства многочленов с действительными коэффициентами; разложение на действительные линейные и квадратичные множители 341
§ 6. Кубическое уравнение...................342
§ 7. Исследование кубического уравнения; тригонометрическая
форма решения......................345
§ 8. Приближенное решение уравнений.............349
Глава VIII. Неопределенный интеграл..............358
§ 1. Первообразная и неопределенный интеграл.........358
§ 2. Таблица основных интегралов. Непосредственное интегрирование ..........................362
§ 3. Два свойства интегралов.................366
§ 4. Интегрирование разложением...............368
§ 5. Интегрирование подстановкой...............369
§ 6. Интегрирование по частям.................373
| 7. Интегрирование рациональных дробей; простейшие дроби . . 376 S 8. Интегрирование рациональных дробей; разложение на простейшие .........................379
§ 9. Интегрирование рациональных дробей по методу Остроградского ...........................386
§ 10. Интегрирование простейших алгебраических иррационально-
стей........................' ... 389
§ 11. Интегрирование выражений, содержащих простейшие трансцендентные функции................... 395
§ 12. Интегрирование комплексных функций действительной переменной .......................... 404
§ 13. Понятие о дифференциальных уравнениях......... 406
§ 14. Дифференциальные уравнения первого порядка с разделяющимися переменными................... 411
§ 15. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами ....................... 417
§ 16. Однородное линейное уравнение второго порядка..... 419
§ 17. Неоднородное линейное уравнение второго порядка .... 426
лава IX. Определенный интеграл. Интегрирование непрерывных функций...................... 436
§ 1. Площадь плоской фигуры................. 436
§ 2. Криволинейная трапеция. Существование первообразной для
всякой непрерывной функции ............... 440
§ 3. Определенный интеграл. Формула Ньютона — Лейбница . . 442
§ 4. Свойства определенного интеграла............. 448
§ 5. Замена переменной.................... 453
§ 6. Интегрирование четных и нечетных функций........ 457
§ 7. Интегрирование по частям................. 459
§ 8. Определенный интеграл как функция пределов интегрирования .......................... 460
§ 9. Теорема о среднем значении ............... 462
§ 10. Определенный интеграл как предел интегральных сумм . . . 464
§ 11. Вычисленче площадей простых фигур........... 469
§ 12. Цобавленче к § 1..................... 472
§ 13. Вычисленче площади сектора кривой, заданной полярным
уравнением........................ 476
§ 14. Объем произвольного тела................. 477
§ 15. Вычисление объема тела, площади поперечных сечений которого известны. Объем тела вращения........... 479
§ 16. Вычисление длины дуги кривой линии . .......... 483
§ 17. Площадь поверхности вращения.............. 486
§ 18. Понятие об аддитивной функции промежутка........ 490
§ 19. Отыскание координат центра тяжести кривой линии .... 495
§ 20. Отыскание координат центра тяжести плоской фигуры . . . 500
§ 21. Приближенное интегрирование............... 504
лава X. Интегрирование разрывных функций. Несобственные
интегралы ....................... 513
§ 1. Обобщенная первообразная................. 513
§ 2. Определенный интеграл от разрывной функции. Формула
Ньютона — Лейбница.................... 516
§ 3. Определенный интеграл как функция пределов интегрирования ............................ 520
§ 4. Интегрирование ограниченных функций........... 522
§ 5. Интегрирование неограниченных функций.......... 526
§ 6. Абсолютно интегрируемые функции............. 532
§ 7. Замена переменной.................... 534
§ 8. Интегрирование по частям................. 536
§ 9. Несобственные интегралы с бесконечными пределами .... 537
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий «Курс математического анализа» рассчитан на высшие технические учебные заведения, в которых к математической подготовке студентов предъявляются повышенные требования; он рассчитан также на инженеров и аспирантов, желающих более глубоко познакомиться с математическим анализом.
Манера изложения математического анализа в сзгш.ествующих университетских учебниках требует слишком большого времени для усвоения материала и не позволяет систематически использовать эти учебники в тех втузах, где имеется настоятельная необходимость углубленного прохождения математики. Не представляется возможным в условиях втуза использовать и отдельные главы университетских учебников, поскольку эти главы в большей части существенно связаны с предшествующим текстом. Это и послужило основанием для создания настоящего курса, в котором мне хотелось дать не слишком объемистое, но достаточное по строгости, глубине и доходчивости изложение основ математического анализа, позволяющее по-настоящему понять сущность этих основ.
В какой мере мне удалось задуманное—пусть судит читатель.
Я думаю продолжать работу над совершенствованием «Курса», чтобы сделать его менее трудным (но не за счет строгости и глубины изложения). Буду очень признателен тем педагогам, которые сочли бы возможным поделиться своими соображениями по этому поводу.
Мне кажется, что довольно распространенная тенденция устранять трудности в учебниках и изустных курсах за счет строгости и глубины, за счет подмены настоящих доказательств некоторыми их подобиями, а, строго говоря, фикциями — неправильная тенденция, если не сказать — вредная, поскольку упомянутые фиктивные «доказательства» смазывают трудности и лишают обучение одной из важнейших его сторон — воспитания у студентов навыков к логически
Цена: 150руб.
