Предисловие......................... 7
Введение ............................ б
1. Дифференциальные уравнения с частными производными ............................ 9
2. Однородные линейные дифференциальные уравнения
с частными производными и свойства их решений ... 14 8. Оператор Лапласа в полярных, цилиндрических и сферических координатах.................... 20
ГЛАВА I
УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ
§ 1. Уравнение колебаний струны .............. 24
4. Вывод уравнения колебаний струны........... 24
5. Постановка начальных и краевых условий....... 30
§ 2. Колебания бесконечной и полубесконечной струны.
Метод Даламбера ..................... 33
6. Бесконечная струна. Формула Даламбера........ 33
7. Распространение волн отклонения ........... 37
8. Распространение волн импульса............. 46
9. Полубесконечная струна................. 61
§ 3. Метод Фурье........................ 55
10. Метод Фурье ....................... 55
11. Стоячие волны...................... 62
12. Примеры............-.............. 64
§ 4. Вынужденные колебания и колебания струны в среде
с сопротивлением..................... 72
13. Вынужденные колебания струны .... ...... 72
14. Колебания струны в среде с сопротивлением...... 77
4*
§ 5. Продольные колебания стержня.............80
15. Постановка задачи и метод решения .......... 80
16. Примеры.......................... 87
§ 6. Крутильные колебания вала............... 91
17. Уравнения крутильных колебаний ............ 91
18. Крутильные колебания вала с диском на одном конце 94
§ 7. Электрические колебания в длинных однородных линиях ............................. 99
19. Телеграфное уравнение.................. 99
20. Линия без потерь..................... 103
21. Линия без искажения................... 105
22. Линии конечной длины.................. 107
§ 8. Уравнение колебаний мембраны.............114
23. Вывод уравнения колебаний мембраны.........114
24. Начальные и краевые условия..............119
§ 9. Колебания прямоугольной мембраны .......... 120
25. Собственные функции.....,.............120
26. Стоячие волны прямоугольной мембраны........123
27. Вторая часть метода Фурье. Двойные ряды Фурье , . . 126
28. Стоячие волны с одинаковой частотой .........128
§ 10. Уравнение и функции Бесселя..............130
29. Уравнение Бесселя....................130
30. Условие ортогональности функций Бесселя нулевого порядка ,..........................134
31. Функции Бесселя первого порядка............136
§ 11. Колебания круглой мембраны ..............139
32. Круглая мембрана.....................139
33. Стоячие волны круглой мембраны............143
ГЛАВА и УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ И ДИФФУЗИИ
§ 12. Уравнение линейной теплопроводности.........145
34. Вывод уравнения линейной теплопроводности......145
85. Начальное и краевые условия.............. . 148
36. Теплопроводность в стержне при наличии теплообмена через боковую поверхность................151
§ 13. Теплопроводность в бесконечном стержне.....« . 153
37. Метод Фурье для бесконечного стержня........153
38. Преобразование решения уравнения теплопроводности 159
39. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности
и его физический смысл.................162
40. Примеры.............•........... . 168
§ 14. Теплопроводность в конечном стержне........173
41. Приведение к задаче с однородными краевыми условиями. Метод Фурье...................173
42. Распространение тепла в стержне в случаях постоянной температуры на концах или теплоизоляции концов 177
43. Общий случай краевых условий.............183
44. Примеры..........................!8в
§ 15. Теплопроводность в полубесконечном стержне .... 198
45. Распространение тепла при теплоизоляции или постоянстве температуры конца стержня ............196
46. Примеры..........................200
§ 16. Некоторые пространственные задачи теплопроводности ...................... .....202
47. Вывод уравнения теплопроводности
случае
в пространственном
48. Начальное и краевые условия .'.'."...........20?
49. Распространение тепла в однородном цилиндре' .' .' .' .' 210 -*>• Распространение тепла в однородном шаре .......214
§ '7. Задачи диффузии .... 01а
..................216
51- Уравнение диффузии..... „.
ы- Уравнения теплолповл™^™ „ „„**,'„........
и диффузии с краевым
"и ............219
..............223
УРАВНЕНИЕ ЛАПЛАСА
§ 18. Краевые задачи для уравнения Лапласа. Метод функции Грина.........................228
54. Постановка краевых задач................228
55. Метод функции Грина для задачи Дирихле (трехмерный случай)...........................230
58. Метод функции Грина для задачи Дирихле (двумерный случай)'.................,.........237
57. Задача Неймана......................240
§ 19. Решение задачи Дирихле для шара и полупространства..............................242
58. Сопряженные точки....................242
59. Задача Дирихле для шара................244
60. Задача Дирихле для внешности шара..........252
61. Задача Дирихле для полупространства .........253
§ 20. Решение задачи Дирихле для круга и полуплоскости 258
62. Задача Дирихле для круга................253
63. Задала Дирихле для внешности круга..........264
64. Задача Дирихле для полуплоскости...........264
§ 21. Метод Фурье для уравнения Лапласа..........267
65. Двумерное уравнение Лапласа и задача Дир::хле для круга............................267
66. Разделение переменных в трехмерном уравнении Лапласа в сферических координатах. Многочлены Лежандра 271
67. Решение задачи Дирихле для шара в осесимметричном случае разложением по многочленам Лежанп.ра .... 278
Заключение..........................232
68. Классификация линейных дифференциальных уравнений
с частными производными второго порядка ......282
69. Корректность постановки задач математической физики 284
ЛИТРПЯТУПЗ....... ..................287
ПРЕДИСЛОВИЕ
Несмотря на наличие богатой литературы по математ ческсй физике, студенты и аспиранты высших техничес^ учебных заведений, так же как и инженеры, работаюш,! в промышленности, которым необходимы первоначальнь сведения по уравнениям математической физики, испытывак серьезные затруднения в подборе руководства по этой ва» ной отрасли прикладной математики. Это объясняется те! что почти все книги, существующие в этой области, либ опираются на слишком большой объем математических зш ний, либо написаны столь сжато и развивают математич< ский аппарат столь далеко, что оказываются недоступным для указанного выше круга возможных читателей настояще книги.
Авторы исходили из того, что читатель знаком тольк с обычным курсом высшей математики, изучаемым в наши втузах. Мы учитывали также, что читатель может интере соваться не обязательно всеми задачами математической фи зики, рассмотренными в книге, а только теми, которые имею непосредственное отношение к его специальности (одних например, могут интересовать только вопросы колебаний других — задачи теплопроводности). В соответствии с этия книга построена так, что отдельные ее главы могут изучатьс; сравнительно независимо друг от друга. В частности, важней ший метод решения многих задач математической физики — метод Фурье — изложен с одинаковой степенью подробное™ как в первой, так и во второй главе.
Книге предпослано введение, в котором в помощь читателю собраны некоторые факты математического анализа (в основном, обычно излагаемые в общем курсе втуза, но также и некоторые дополнительные), которыми в дальнейшем приходится пользоваться.
Цена: 150руб.
