Среди крупных достижений современной математики, получивших наибольшую популярность и одобрение в инженерных кругах, особое место занимает математическая теория оптимального управления, созданная коллективом советских ученых во главе с академиком Л. С. Понтрягиным. Основы этой теории были изложены в изданной в 1961 году монографии Л. С. Понтрягина, В. Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко «Математическая теория оптимальных процессов», удостоенной Ленинской премии за 1962 год.
В настоящей книге математическая теория оптимального управления излагается в форме, доступной инженеру, имеющему математическую подготовку в объеме технического вуза. Особое внимание автор уделяет вычислительным методам, а также тем задачам, которые к моменту написания книги удалось решить полностью. Стремясь к максимальной простоте изложения, автор нигде не жертвовал строгостью. Тем самым, нужная инженеру, эта книга будет интересна и математику.
Во втором издании книга существенно переработана автором: изменена планировка книги, по-новому изложены доказательства ряда теорем, добавлен новый материал. Таким образом, по существу, вниманию читателя предлагается новая книга.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ............................ 6
Глава 1. Введение....................... 9
§ 1. Задача, об оптимальном быстродействии......... 10
1. Понятие об управляемых объектах........... 10
2. Задача управления.................... 13
3. Уравнения движения объекта.............. 16
4. Допустимые управления................. 19
§ 2. Об основных направлениях в теории оптимальных процессов ............................ 24
5. Метод динамического программирования........ 24
6. Принцип максимума................... 30
7. Обсуждение принципа максимума............ 35
§ 3. Пример. Задача синтеза.................. 38
8. Пример применения принципа максимума....... 38
9. Доказательство оптимальности полученных траекторий............................. 42
10. О дифферснцируемости функции Беллмана...... 45
11. Проблема синтеза оптимальных управлений...... 49
Глава II. Линейные оптимальные быстродействия. Теория
Гамкрелидзе......................... 54
§ 4. Некоторые сведения из геометрии............ . 54
12. Простейшие понятия л-мерной геометрии....... 54
13. Некоторые свойства выпуклых множеств....... 61
14. Определение выпуклых многогранников........ 64
15. Граница ВЫПУКЛОГО многогранника........... 68
16. Выпуклая оболочка.................... 70
17. Опорные свойства выпуклых многогранников..... 73
§ 5. Линейная задача оптимального управления........ 76
18. Формулировка задачи.................. 76
19. Принцип максимума................... 83
20. Сферы достижимости.................. 85
21. Доказательство принципа максимума . .'........ 89
22. Принцип максимума — необходимое и достаточное условие оптимальности ......... ,,,,....,., 94
1*
23. Замечания о системах, не удовлетворяющих условию общности положения...................98
24. Пример..........................102
25. План решения линейной задачи оптимального управления ...........................108
§ 6. Основные теоремы о линейных оптимальных быстродействиях ........................... 112
26. Теоремы о числе переключений............. 112
27. Моделирование оптимальных процессов релейными схемами.......................... 118
28. Теорема единственности................. 125
29. Теорема существования................. 128
30. Доказательства лемм................... 134
§ 7. Вычислительные методы...................139
31. Нахождение начальных значений для вспомогательных неизвестных: дифференциальное уравнение Нейштадта 139
32. Нахождение начальных значений для вспомогательных неизвестных: итерационный процесс Итона.......148
§ 8. Решение задачи синтеза для линейных задач второго
порядка............................156
33. Упрощение уравнений линейного управляемого объекта 156
34. Решение задачи синтеза в случае комплексных собственных значений.....................162
35. Решение задачи синтеза в случае действительных собственных значений....................176
36. Синтез оптимальных управлений для уравнения второго порядка.......................189
Глава III. Оптимальные быстродействия (общий случай).
Принцип максимума Понтрягина............ . 196
§ 9. Некоторые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений..........,..........196
37. Теорема существования и единственности.......196
38. Система уравнений в вариациях............201
39. Сопряженные линейные системы............206
§ 10. Принцип максимума — необходимое условие оптимальности .............................208
40. Вариации управлений..................208
41. Вариации траекторий..................210
42. Основная лемма.....................216
43. Лемма об отображениях конусов............221
44. Доказательство основной леммы............227
45. Принцип максимума................... 232
46. Постоянство функции Н.................237
§ И. Обоснование метода динамического программирования
и достаточные условия оптимальности...........240
47. Оценка времени переходного процесса .,,,...,. 24Q
48. Достаточные условия оптимальности в форме принципа динамического программирования........243
49. Гладкие многообразия и кусочно-гладкие множества 249
50. Доказательство основной леммы............256
51. Регулярный синтез и достаточное условие оптимальности в форме принципа максимума .......... 263
52. Доказательство достаточности......:......266
§ 12. Примеры синтеза оптимальных управлений в нелинейных
системах второго порядка .................. 275
53. Обсуждение результатов ................275
54. Неосциллирующие объекты...............282
55. Осциллирующие объекты................302
56. Пример объекта с двумя управляющими параметрлыи 322
Глава IV. Другие постановки задач оптимального управления ............................325
§ 13. Задача с подвижными концами...............325
57. Предварительное обсуждение..............325
58. Условия трансверсальности и формулировка теоремы 327
59. Доказательство......................331
60. Применение условий трансверсальности к линейной задаче оптимального управления ............ 336
61. Осцилляционная теорема........'. '.......345
§ 14. Общий принцип максимума.................351
62. Постановка задачи....................351
63. Основная теорема....................352
64. Задача с подвижными копнами . . ...........356
65. Уравнение Беллмана и достаточные условия оптимальности ...........................357
§ 15. Разные обобщения......................359
66. Принцип максимума для неавтономных систем .... 359
67. Оптимальные процессы с параметрами ........364
68. Изопериметрическая задача и задача с закрепленным временем.........................369
§ 16. 1Метод локальных сечений..................376
69. Описание управляемых объектов с помощью дифференциальных включений.................376
70. Локальные сечения ...................381
71. Принцип максимума...................382
72. Применение к управляемым объектам ........393
73. Случай постоянной области управления........398
74. Случай переменной области управления, определяемой системой равенств и неравенств............ 399
Цена: 300руб.
