От редакторов серии......................... 8
Предисловие............................. 8
ЧАСТЬ I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ Введение............................... 9
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. ... 15
§ 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной ......................... 15
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными ........ 19
§ 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися
переменными....................... 24
§ 4. Линейные уравнения первого порядка........... 27
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах........... 32
§ 6. Теоремы существования и единственности решения уравне-
нияЦ. = /(*. У) • • •.................. 39
§ 7. Приближенные методы интегрирования уравнений первого
порядка................./'......... 61
§ 8. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно
производной........................ 68
§ 9. Теорема существования и единственности для дифференциальных уравнений, не разрешенных относительно производной.
Особые решения...................... 75
Задачи к главе I..................... 82
Глава 2. Дифференциальные уравнения порядка выше первого 85 § 1. Теорема существования и единственности для дифференциального уравнения n-го порядка ............. 85
§ 2. Простейшие случаи понижения порядка........... 87
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения и-го порядка .... 93 § 4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера ............... 107
§ 5. Линейные неоднородные уравнения.............113
§ 6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера ............... 124
§ 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощи
рядов...........................137
§ 8. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных колебаний....................147
§ 9. Понятие о краевых задачах................ 159
Задачи к главе 2..................... 165
Глава 3. Системы дифференциальных уравнений........ 168
§ 1. Общие понятия...................... 168
§ 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем
сведения к одному уравнению более высокого порядка ... 171
§ 3. Нахождение интегрируемых комбинаций.......... 178
§ 4. Системы линейных дифференциальных уравнений...... 181
^ § 5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами................... 192
§ 6. Приближенные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений и уравнений и-го порядка....... 199
Задачи к главе 3..................... 201
Глава 4. Теория устойчивости.................. 203
§ 1. Основные понятия..................... 203
§ 2. Простейшие типы точек покоя............... 206
§ 3. Второй метод А. М. Ляпунова............... 215
§ 4. Исследование на устойчивость по первому приближению . . 221 § 5. Признаки отрицательности действительных частей всех корней
многочлена........................ 227
§ 6. Случай малого коэффициента при производной высшего
порядка..........•............... 23ft
§ 7. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях . . 234
Задачи к главе 4.........\........... 238
Глава 5. Уравнения в частных производных первого порядка . 241
§ 1. Основные понятия..................... 241
§ 2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка ................... 243
§ 3. Уравнения Пфаффа.................... 255
§ 4. Нелинейные уравнения первого порядка.......... 260
Задачи к главе 5..................... 278
ЧАСТЬ и ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Введение............................... 28а
Глава 6. Метод вариаций в задачах с неподвижными границами 284
§ 1. Вариация и ее свойства.................. 284
§ 2. Уравнение Эйлера..................... 292
Xi
§ 3. Функционалы вида Г F (х, ylt у2.....уп, у[, у'2, .... у'^)Ах 305
Ло
§ 4. Функционалы, зависящие от производных более высокого
порядка........................... 308
§ 5. Функционалы, зависящие от функций .нескольких независимых
переменных......................... 312
§ 6. Вариационные задачи в параметрической форме....... 317
§ 7. Некоторые приложения................... 320
Задачи к главе 6..................... 324
ОГЛАВЛЕНИЕ у
Глава 7. Вариационные задачи с подвижными границами и некоторые другие задачи.................... 327
§ 1. Простейшая задача с подвижными границами........ 327
§ 2. Задача с подвижными границами для функционалов вида *i
Г F (х. у, г, у', г') dx................... 334
Хя
§ 3. Экстремали с угловыми точками.............. 338
§ 4. Односторонние вариации.................. 346
Задачи, к главе 7..................... 349
Глава 8. Достаточные условия экстремума........... 351
§ 1. Поле экстремалей . .................... 351
§ 2. Функция Е(х, у, р, у').................. 357
§ 3. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду . . 368
Задачи к главе 8..................... 373
Глава 9. Вариационные задачи на условный экстремум..... 375
§ 1. Связи вида у(х, уъ у2.....Уя) = 0............ 375
§ 2. Связи вида <((х, ylt у2.....у„, у{, у'2.....у'„) = 0...... 382
§ 3. Изопериметрические задачи ................ 385
Задачи к главе 9..................... 393
Глава 10. Прямые методы в вариационных задачах....... 394
§ 1. Прямые методы...................... 394
§ 2. Конечно-разностный метод Эйлера............. 395
§ 3. Метод Ритца........................ 397
§ 4. Метод Канторовича.................... 406
Задачи к главе 10..................... 412
Ответы и указания к задачам..................... 414
Рекомендуемая литература...................... 421
Предметный указатель........................ 422
ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ
В качестве третьего выпуска серии редакция приняла переиздание (с некоторыми изменениями) книг Л. Э. Эльсгольца по соответствующим- разделам.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Третий выпуск «Курса высшей математики и математической физики» для физических и физико-математических факультетов содержит теорий дифференциальных уравнений и вариационное исчисление. В основу книги положены лекции, которые автор в течение ряда лет читал на физическом факультете Московского ордена Ленина государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Излагаемый материал хотя и близок к содержанию книг автора «Дифференциальные уравнения» (М., Гостехиздат, 1957) и «Вариационное исчисление» (М., Гостехиздат, 1958), однако по совету редакторов Курса в него внесен ряд изменений. За эти советы автор выражает им свою искреннюю признательность.
Л. Э. Эльсгольц
Цена: 150руб.
