13 Высшая математика: Учеб. для студ. естественнонаучных специальностей педагогических вузов. - 2-е изд., стереотип. - М.: Издательский центр «Академия»; Высшая школа, 2001. - 616с.
ISBN 5-7695-0612-1 (Издательский центр «Академия»)
ISBN 5-06-003930-7 (Высшая школа)
Профессионально ориентированный учебник содержит изложение основ аналитической геометрии и математического анализа, элементов теории вероятностей и математической статистики, сопровождаемое рассмотрением математических моделей из естественнонаучных дисциплин (физики, химии, биологии, географии), а также упражнения ко всем излагаемым вопросам. Все основные понятия иллюстрируются примерами из этих дисциплин.
Может быть использован студентами других вузов и учреждений среднего профессионального образования.
Часть первая
ОСНОВЫ
АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ И МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА
ВВЕДЕНИЕ
Роль математики в различных областях естествознания и в разное время была неодинаковой. Она складывалась исторически, и существенное влияние на нее оказывали два фактора: уровень развития математического аппарата и степень зрелости знаний об изучаемом объекте, возможность описать его основные черты и свойства на языке математических понятий и соотношений, или, как теперь принято говорить, возможность построить «математическую модель» изучаемого объекта.
Приведем простейший пример математической модели. Представим себе, что требуется определить площадь пола комнаты. Для выполнения такого задания измеряют длину и ширину комнаты, а затем перемножают полученные числа. Эта элементарная процедура фактически означает следующее. Реальный объект -пол комнаты - заменяется абстрактной математической моделью -прямоугольником. Прямоугольнику приписывают размеры, полученные в результате измерения, и площадь такого прямоугольника приближенно принимают за искомую площадь.
Математическая модель, основанная на некотором упрощении, идеализации, никогда не бывает тождественна рассматриваемому объекту, не передает всех его свойств и особенностей, а является его приближенным отражением. Однако благодаря замене реального объекта соответствующей ему моделью появляется возможность математически сформулировать задачу его изучения и воспользоваться для анализа его свойств математическим аппаратом, который не зависит от конкретной природы данного объекта. Этот аппарат позволяет единообразно описать широкий круг фактов и наблюдений, провести их детальный количественный анализ, предсказать, как поведет себя объект в различных условиях, т.е. прогнозировать результаты будущих наблюдений.
Математические модели давно и весьма успешно применяют в механике, физике, астрономии.
*\
ОГЛАВЛЕНИЕ
Часть первая Основы аналитической геометрии и математического анализа
Введение............................................................................................................3
Раздел I. Аналитическая геометрия
Глава 1. Аналитическая геометрия на плоскости........................................4
§ 1.1. Метод координат на плоскости...................................................4
§ 1.2. Прямая линия...............................................................................11
§ 1.3. Основные задачи на прямую.......................................................19
§ 1.4. Кривые второго порядка.............................................................20
Упражнения...........................................................................................29
Глава 2. Векторная и линейная алгебра......................................................36
§ 2.1. Понятие вектора и линейные операции над векторами...........36
§ 2.2. Нелинейные операции над векторами.......................................52
§ 2.3. Матрицы и действия над ними...................................................59
§2.4. Определители...............................................................................68
§ 2.5. Выражение векторного и смешанного произведений векторов через координаты сомножителей........................................74
§ 2.6. Системы линейных уравнений....................................................76
Упражнения...........................................................................................80
Глава 3. Аналитическая геометрия в пространстве...................................85
§3.1. Плоскость.....................................................................................85
§ 3.2. Прямая в пространстве................................................................90
§ 3.3. Основные задачи на плоскость и прямую в пространстве.......94
§ 3.4. Изучение поверхностей второго порядка по их каноническим уравнениям .........................................................................95
Упражнения.........................................................................................101
Раздел П. Математический анализ
Глава 4. Функции, пределы, непрерывность............................................104
§ 4.1. Определение и способы задания функции...............................104
§ 4.2. Обзор элементарных функций и их графиков.........................110
§4.3. Предел функции.........................................................................117
§ 4.4. Бесконечно малые и бесконечно большие величины..............126
§ 4.5. Основные теоремы о пределах и их применение.....................130
§4.6. Непрерывность функции............................................................139
§ 4.7. Комплексные числа....................................................................144
Упражнения.........................................................................................149
Глава 5. Дифференциальное исчисление..................................................154
§ 5.1. Понятие производной и ее геометрический смысл.................154
§ 5.2. Правила дифференцирования и производные элементарных функций..............................................................................161
§ 5.3. Дифференциал функции...........................................................168
§ 5.4. Производные и дифференциалы высших порядков...............173
§ 5.5. Параметрическое задание функции и ее дифференцирование......................................................................................177
§ 5.6. Свойства дифференцируемых функций..................................178
§ 5.7. Возрастание и убывание функций. Максимумы и минимумы. Асимптоты.....................................................................183
§ 5.8. Построение графиков функций................................................196
§ 5.9. Формула Тейлора......................................................................199
Упражнения.........................................................................................202
Глава 6. Интегральное исчисление...........................................................213
§ 6.1. Первообразная функция и неопределенный интеграл...........213
§ 6.2. Основные методы интегрирования..........................................217
§6.3. Интегрирование дробно-рациональных функций.................218
§ 6.4. Интегрирование тригонометрических выражений................224
§ 6.5. Интегрирование простейших иррациональностей.................226
§6.6. Понятие определенного интеграла..........................................228
§ 6.7. Основные свойства определенного интеграла........................232
§ 6.8. Приближенное вычисление определенного интеграла..........237
§ 6.9. Виды несобственных интегралов, их сходимость...................240
§ 6.10. Геометрические приложения определенного интеграла......245
§ 6.11. Приложения определенного интеграла в естествознании... 252
§6.12. Вектор-функция скалярного аргумента................................259
Упражнения.........................................................................................270
Глава 7. Дифференциальное и интегральное исчисления функций нескольких переменных................................................................................283
§ 7.1. Функции нескольких переменных. Предел и непрерывность
функции.....................................................................................283
§ 7.2. Частные производные. Полный дифференциал.....................289
§ 7.3. Частные производные и дифференциалы высших порядков 298
§ 7.4. Экстремум функций двух переменных....................................301
§ 7.5. Скалярные поля.........................................................................306
§ 7.6. Двойные интегралы...................................................................311
§ 7.7. Тройные интегралы...................................................................326
§ 7.8. Криволинейные интегралы......................................................331
§ 7.9. Поверхностные интегралы.......................................................344
§ 7.10. Элементы теории поля............................................................353
Упражнения.........................................................................................364
Глава 8. Ряды..............................................................................................377
§8.1. Числовые ряды..........................................................................377
§8.2. Функциональные ряды..............................................................392
§ 8.3. Степенные ряды в действительной области............................395
§ 8.4. Степенные ряды в комплексной области.................................406
§ 8.5. Тригонометрические ряды........................................................409
§ 8.6. Интеграл Фурье. Дельта-функция............................................419
Упражнения.........................................................................................427
Глава 9. Дифференциальные уравнения...................................................431
§ 9.1. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям........431
§ 9.2. Дифференциальные уравнения первого порядка, их частные
случаи. Приложения в естествознании....................................434
§ 9.3. Уравнения высших порядков....................................................454
§ 9.4. Линейные уравнения второго порядка....................................457
§ 9.5. Дифференциальные уравнения в естествознании...................470
§ 9.6. Уравнения и задачи математической физики..........................486
Упражнения.........................................................................................502
Часть вторая Элементы теории вероятностей и математической статистики
Введение.........................................................................................................509
Глава 10. Событие и вероятность................................................................510
§ 10.1. Основные понятия. Определение вероятности......................510
§ 10.2. Свойства вероятности..............................................................517
§ 10.3. Приложения в биологии..........................................................524
Упражнения.........................................................................................528
Глава 11. Дискретные и непрерывные случайные величины....................531
§ 11.1. Случайные величины...............................................................531
§ 11.2. Математическое ожидание дискретной случайной
величины...................................................................................533
§ 11.3. Дисперсия дискретной случайной величины.........................536
§ 11.4. Непрерывные случайные величины........................................541
§ 11.5. Некоторые законы распределения случайных величин........546
§ 11.6. Закон больших чисел...............................................................559
Упражнения.........................................................................................563
Глава 12. Элементы математической статистики......................................571
§ 12.1. Генеральная совокупность и выборка....................................57)
§ 12.2. Оценки параметров генеральной совокупности по ее
выборке.....................................................................................574
§ 12.3. Доверительные интервалы для параметров нормального
распределения...........................................................................584
§ 12.4. Проверка статистических гипотез..........................................592
§ 12.5. Линейная корреляция..............................................................594
Упражнения.........................................................................................600
Приложения...................................................................................................603
/ 611
Цена: 150руб.
