Настоящее пособие предназначено для тех, кто имеет соедаее образование и готовится к конкурсным экзаменам по математике при поступлении в высшие учебные заведения." Пособие призвано организовать повторение разделов математики в такой последовательности итак, чтобы сосредоточить главные усилия учащихся на узловых принципиальных вопросах программы. -
Основное внимание в кем уделено разъяснению тех понятий, которые имеют решающее значение в формировании математической культуры учащихся и являются существенно необходимыми для успешного изучения курса математики высшей школы. Оно также знакомит читателя с характером задач и уровнем требований, предъявляемых по математике к поступающим в вузы.
Автор стремился представить наиболее выпукло следующие центральные темы программы: тождественные преобразования алгебраических и тригонометрических выражений, уравнения, неравенства, функции и их графики.
Вся программа разбита на семь разделов, к каждому s из которых рекомендованы примеры и задачи для самостоятельных упражнений. По каждому пункту программы указаны соответствующие параграфы школьных учебников.
В каждый из разделов включена по возможности лишь одна из центральных тем, на которой должно быть сосредоточено внимание учащихся. Упражнения в технике тождественных преобразований, поскольку они тре-' буют длительной практики, распределены по всему курсу: сначала на алгебраическом материале (разделы I—V), затем в тригонометрии (главным образом). Этим, в частности, объясняется разрыв в повторении тригонометрии (она отсутствует в III, IV и V разделах, а в разделы I и II включены лишь начальные сведения из тригонометрии, которые существенно понадобятся в следующих разделах, в основном — в теме «Функции и их графики»).
При пользовании пособием рекомендуется следующий порядок работы. Повторение каждого из семи разделов
з
программы следует начинать с изучения указанных параграфов школьных учебников. Затем нужно прочитать пояснения, содержащиеся в пособии и после этого переходить к выполнению, рекомендуемых по задачникам упражнений. В конце каждого раздела помещены» контрольные упражнения. Они предназначены для самоконтроля за усвоением основных вопросов повторяемого материала. Их следует выполнить в заключение работы над разделом.
Часть примеров, содержащихся в пособии, взята из различных руководств — в основном из сборников конкурсных задач, предлагавшихся на вступительных экзаменах в вузы.
В качестве учебников и задачников указываются только те, которые в настоящее время приняты в средней школе.
Во втором издании расширены пояснения основных вопросов программы, а также увеличено число примеров и задач.
При подготовке рукописи пособия к первому изданию, кроме рецензентов В. В. Рыжкова и В. Ё. Гмурмана, ее прочитали А. К. Окунев и Л. Я- Цлаф. Рукопись второго издания рецензировал В. В. Рыжков.
Автор сердечно благодарит всех этих товарищей за их критические замечания, которые он учел в своей небольшой работе.
Учебники*:
1. И. Н. Ш е в ч е н к о. Арифметика, для V и VI классов средней школы.
2. А. Н. Барсуков. Алгебра, ч. I, для VI и VII классов средней школы.
3. А. П. К и с е л е в. Алгебра, ч. II, для VIII—X клас- . сев средней школы. ^
4. Н. Н. Н и к и т и н. Геометрия, для VI—VII классов средней школы.
5. А. П. К и с е л е в. Геометрия, ч. I, для VI—IX классов средней школы.
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие ко второму изданию ............... 3
Раздел!
Вопросы программы...................... 6
Упражнения....................... , J
Пояснения некоторых вопросов раздела ........ 8
§ 1. Неопределяемые и определяемые понятия. Аксиомы и
теоремы............................... 8
§ 2. Прямая, обратная, противоположная теоремы
Эквивалентные теоремы ..................., 13
§ 3. Необходимые и достаточные признаки .......... 18
§4. О натуральных, целых, рациональных, иррациональных, действительных и комплексных числах ........ 20
§ 5. О числе нуль и правилах действий с числом нуль.
Области допустимых значений величин........... 26
§ 6. О тождественных преобразованиях............. . 27
§ 7. Числа противоположные и обратные. Модуль действительного числа ..................__........ 29
§ 8. Степени и корни................ Г.....* . . 30
§ 9. Решения примеров........................ 32
Контрольные упражнения.................. 40
РазделП
Вопросы программы...................... 42
Упражнения............................ 43
Пояснения некоторых вопросов раздела .......... 44
§ 1. Уравнения. Область допустимых значений неизвестного.
Эквивалентность уравнений ................. 44
§ 2. Алгебраические уравнения .................. 50.
§ 3. Два способа решения иррациональных уравнений . , . 52
§ 4. Решения примеров .......................* 64
Контрольные упражнения .................. 67
Раздел Ш
Вопросы программы ....................... 69
Упражнения .....>....................... 69
Пояснения некоторых вопросов раздела........• • ™
§ 1. Общие замечания о неравенствах............... ™ _
§ 2. Решение неравенств с одннм неизвестным......... J}
§ 3. Доказательство неравенств ,,.....,.......%j, • °
262
§ 4. Функция и ее график...................... 89
§ 5. Неравенства и графики функций...............112
§ 6. Геометрическое истолкование решений системы двух
уравнений с двумя неизвестными...............116
§ 7. Неравенство с двумя неизвестными и область его решений ....................._............122
§ 8. Области, определяемые системой условий, состоящей
из уравнений и неравенств с двумя неизвестными .... 133
§ 9. Решения примеров ........................148
Контрольные упражнения.................. 159 "
Раздел IV
Вопросы программы......................162
Упражнения ............................163
Пояснения некоторых вопросов раздела..........163
§ 1. Последовательность и ее предел................163
§ 2. О методе полной математической индукции . .......168
§ 3. Решения примеров .......................171
Контрольные упражнения..................175
Раздел V
Вопроси программы......................176
Упражнения ......................« . . . . 177
Пояснения некоторых вопросов раздела..........177
§ 1. Определение и свойства логарифмической функции . . 177
§ 2. Формулы логарифмирования .................180
§ 3. Вспомогательные формулы..................182
§ 4. Решения примеров ........................183
Контрольные упражнения...................191
Р а з д е л VI
Вопросы программы ...............,....... 193
Упражнения............................194
Пояснения некоторых вопросов раздела..........194
§ 1. Понятие об обратных функциях................194
§ 2. Об обратных тригонометрических функциях........197
§ 3. Простейшие тригонометрические уравнения .......202
§ 4. Решения примеров ........................205
Контрольные упражнения ...................219
Раздел VII
Вопросы программы ....................... 222
Упражнения...........................223
Пояснения некоторых вопросов раздела...........223
§ 1. О тригонометрических уравнениях .............223
§ 2. Решения примеров ........................228
Контрольные упражнения ................-. . . 245
Ответы к контрольным упражнениям............246
Формулы для справок .......,..............253
Рекомендуемая литература .................. 259
Цена: 150руб.
