Предисловие ..................... 5
Введение .................... 9
ЧАСТЬ 1
Глава I. Задачи, решаемые непосредственно (№№ i—65) 13 Упражнения (№№ 1—17)............. 47
Глава II. Задачи, решаемые на основании некоторых
теорем (№№ 66—152)................. 49
Упражнения (№№18—41)............. 54
ЧАСТЬ 2
Глава III. Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин, связанные с теоремой Чевы
(№№ 153—166) .................... 97
Упражнения (-№№42—44)............106
Глава IV. Треугольник наименьшего периметра, вписанный в остроугольный треугольник (№№ 167—191) ... 108 Упражнения (№№ 45—50)............121
Глава V. Точка Торичелли—точка в плоскости треугольника, сумма расстояний которой до вершин треугольника имеет наименьшее значение (№№ 192—224) 122 Упражнения (№№ 51—56)............. 14Я
Глава VI. Построение в плоскости треугольника ЛЕС точки Р, для которой hPA+m.PB+n-PC имеет наименьшее значение при положительных I, т. п
(№№ 225—249)..................... 144
Упоажнвния MVUVi S7__fi1\ ieo
Глава VII. Формула Герона в связи с решением зада'1 ¦
на отыскание наименьших значений (№№ 250—260) . . 16"
Упражнения (№№62-65)............ 26?
Глава VIII. О четырёхугольнике наибольшей площади
о данными сторонами (№№ 261—287) ......... 270
Упражнения (№№ 66—70) . . . . •........ 286
Глава IX. Центроид системы. Теорема Лейбница
(№№ 288—328) . . .: . .;................* 28?
Упражнения (№№ 71—80) . ".'.....¦..... 20?
Глава X. Теорема Карно и её обобщение -(№№f 329—351) 209
Упражнения (№.№81-85)............. 224
ПРЕДИСЛОВИЕ
В нашей учебной литературе нет-специальных шщг, посвященных элементарному решению задач на: отыскание наибольших и ^наименьших значений переменной величины (если не считать книжек Беляева,, изданных в 1876-1882 гг.),
Цель настоящего сборника — восполнить этот пробел и дать учителю, любознательному ученику старших классов, учащемуся техникума интересный материал для упражнений и приложений изученных теорем*
Не все учащиеся средних школ будут заниматься в будущем анализом бесконечно малых и знакомиться с решением задач на максимум и минимум с применением производной.
Элементарное решение, правда, трудно (подчас искусственно), но даёт учащемуся большое удовлетворение, развивает сообразительность, способствует развитию •функционального мышления, обогащает его знанием ряда математических фактов.
Я отнюдь не задавался целью подменить методы анализа искусственными способами решения задач и считаю нужным указать учащимся, что существует много интересных_ задач, которые элементарным путем трудно решаются (или совсем не могут быть решены). Задачи, приведённые в сборнике, как правило, решаются элементарно проще, чем с помощью применения производной.
Несколько слов о содержании задачника. Он состоит из двух частей, в которых собрано 350 задач с решениями и 85 задач без решений.
Первая часть содержит две главы, в которых задачи классифицированы, по возможности, по способу решений; задачи, решаемые непосредственно (гл. I) и при помощи некоторых теорем (гл. II). В гл. II приводятся пять основных теорем, которые в дальнейшем применяются для решения большого числа задач по планиметрии, стереометрии, алгебре, связанных с отысканием наибольших й наименьших значений.
Вторая часть состоит из восьми глав, каждая из Которых может служить специальной темой для работы математического кружка. Каждая тема может дать материал для нескольких небольших докладов. В гл. III дано 14 задач геометрии треугольника на отыскание наибольших и наименьших величин, связанных с теоремой Чевы,
В гл. IV приведены различные способы решения задачи о треугольнике наименьшего периметра, вписанном в остроугольный треугольник. Здесь приводятся некоторые свойства ортоцентрического треугольника, свойства антипараллелей.
В гл. V даются различные способы построения точки Торичелли.
Ряд приведённых в этой главе задач связан с теоремой современного румынского математика Помпейю. Большинство доказательств этой теоремы дано мной.
В гл. VI рассматривается построение в плоскости треугольника ABC точки Р, для которой I • PA f -f т ¦ РВ + п-PC имеет наименьшее значение при положительных 1,т,п. В связи с этой задачей указываются Некоторые свойства замечательных точек треугольника, подробно рассматриваются точки Брокера.
В гл. VII рассматривается формула Герона в связи с решением задач на отыскание наименьших значений. Дана геометрическая интерпретация теоремы Герона, которую мне не приходилось встречать.
В гл. VIII различными способами доказывается, что из всех четырёхугольников с данными сторонами наибольшую площадь имеет четырёхугольник, вписанный в круг.
В гл. IX на основании теоремы Лейбница о сумме квадратов расстояний от произвольной точки до точек системы определяются расстояния между замечательными точками треугольника.
В гл. X приведена теорема Карно и её обобщение. Здесь рассматриваются задачи о геометрическом месте точек, сумма расстояний которых до сторон треугольника постоянна. В этой главе рассматривается монотонная функция с целью показать учащимся, что не венная функция имеет максимум или минимум.
В сборник не вошли вариационные задачи, потому что трудно дать исчерпывающее их решение, доступное большинству читателей, на которых рассчитана книга. Любознательный читатель сможет при желании ознакомиться с решением таких задач по книге Д. А. Крыжановекого «Изопериметрические задачи».
Часть задач заимствована мной из русских и иностранных задачников по элементарной и высшей математике. Многие задачи являются совершенно оригинальными, особенно во второй части.
Считаю своим приятным долгом выразить благодарность членам математического кружка при Московском Городском педагогическом институте им. В. П. Потёмкина, особенно проф. М. К. Гребенче, проф. Н. Ф. Чет-верухину, проф. И. М. Воронкову и доценту А. Г. Школь-
Цена: 150руб.
