Настоящая книга предназначается в качестве учебника для физико-математических факультетов педагогических институтов по разделу «Алгебра» специального курса элементарной математики. Книга содержит весь учебный материал, предусмотренный программой указанного раздела.
Работа студента педвуза над элементарной математикой (как одной из профилирующих дисциплин) не ограничивается изучением курса, предусмотренного программой. Успешное прохождение методики преподавания математики и педагогической практики, занятия в спецсеминарах, а также выполнение курсовых работ немыслимы в отрыве от углубленного изучения элементарной математики. Это понятно, так как от будущего учителя требуется безупречное знание тех дисциплин, которые он станет преподавать по окончании института.
Указанные обстоятельства определили структуру настоящей книги, в ней в систематическом изложении представлены все разделы школьного курса алгебры, за исключением учения о числе, которое отнесено программой к разделу «Арифметика» и должно войти в учебник по этому разделу.
При рассмотрении курса элементарной математики в педагогических институтах могут иметь место две в равной мере недопустимые крайности.
Первая крайность заключается в отрыве курса элементарной математики от нржд школы. Сюда относятся такие тенденции, как пересказ (в упрощенном виде) в «элементарной» математике того, что было пройдено в «высшей», как отнесение за счет «элементарной» математики ряда вопросов из «высшей» математики, которые почему-либо не вошли в соответствующие курсы, или как превращение курса «элементарной» математики в несистематический набор отдельных изящных «математических этюдов», «избранных» вопросов, «эвристических откровений» «неэлементарных задач в элементарном изложении» и т. д. и т. п.
Вторая крайность заключается в пересказе школьного курса
i ОГЛАВЛЕНИЕ
Лредисловие ............................. 3
Введение
§ 1. О содержании курса элементарной алгебры............ 7
§ 2. Понятия кольца и поля...................... 8
§ 3. Основные числовые множества, рассматриваемые в элементарной
алгебре............................. 11
§ 4. Расположенные числовые поля.................. 14
§ 5. Числовые промежутки...................... 17
§ 6. Основные понятия учения о функциях.............. 18
§ 7. Монотонные функции...................... 23
§ 8. Понятие аналитического выражения................ 24
§ 9. Элементарные функции .................. 27
§ 10. Тождественные преобразования и действия над аналитическими выражениями . ....... ......... 27
§ 11. Аналитические выражения, содержащие параметры......... 30
Глава I Многочлены
§ 12. Многочлены...........................32
§ 13. Представление многочлена в каноническом виде..........35
§ 14. Различные способы расположения членов многочлена.......39
§ 15. Теорема о многочлене, тождественно равном нулю ........41
§ 16. Теорема о тождественности многочленов............43
§ 17. Единственность канонического представления многочлена. Действия
над многочленами........................ 44
§ 18. Теорема о произведении многочленов............... 48
§ 19. Формулы сокращенного умножения................ 50
§ 20. Примеры тождественных преобразований многочленов....... 54
§ 21. Симметрические многочлены .................. 58
§ 22. Метод неопределенных коэффициентов.............. 59
§ 23. Условные тождества....................... 62
§ 24. Делимость многочленов..................... 62
§ 25. Деление с остатком....................... 65
§ 26. Теорема Безу.......................... 70
§ 27. Теоремы о корнях многочлена.................. 72
§ 28. Разложение многочлена на множители.............. 73
§ 29. Различные способы разложения многочленов на множители .... jo § 30. Деление с остатком многочленов, расположенных по возрастающим
степеням аргумента.......................g.
Глава II
Дробная рациональная функция
§ 31. Рациональные выражения .................... §§
§ 32. Алгебраические дроби...................... §9
§ 33. Тождественность алгебраических дробей ............. 90
§ 34. Сокращение алгебраических дробей................ 93
§ 35. Рациональные функции...................... 97
§ 36. Поле рациональных функций................... 99
§ 37. Тождественные преобразования рациональных выражений..... Юз
§ 38. Примеры тождественных преобразований рациональных выражений . 104
Глава III Радикалы и иррациональные функции
§ 39. Радикалы над полем действительных чисел............ 111
§ 40. Преобразование выражений, содержащих радикалы........ . 119
§ 41. Извлечение корня из чисел..................... 132
§ 42. Извлечение корня методом последовательных приближений..... 136
§ 43. Обобщение понятия степени.................. 13°
§ 44. Степенная функция с рациональным показателем.......... 142
§ 45. Явные алгебраические функции над полем действительных чисел . . 147
§ 46. Функция Уг от комплексного аргумента............. 156
. Г л а в а IV
Уравнения и неравенства
§ 47. Уравнения и системы уравнений.................169
§ 48. Эквивалентность уравнений и системы уравнений.........175
§ 49. Преобразование уравнений....................180
§ 50. Совокупность уравнений.....................186
§ 51. Основные способы решения систем уравнений...........188
§ 52. Решение уравнений при дополнительных условиях.........193
§ 53. Уравнения, содержащие параметры................194
§ 54. Об исследовании уравнений ...................J97
§ 55. Особые случаи решения уравнений................1^8
§ 56. Основные свойства неравенств..................~^~:
§ 57. Тождественные неравенства....................~~z
§ 58. Некоторые замечательные неравенства..............zxz
§ 59. Средние величины..... ..............«.,
§ 60. Задачи на экстремумы, решаемые применением неравенств . . • • • § 61. Неравенства, содержащие неизвестные, задание элементарных обла-
стей при помощи неравенств...................r,oi
§ 62. Решение неравенств.......................224
§ 63. Неравенства, содержащие абсолютную величину..........226
§ 64. Смешанные системы.....................' *
§ 65. О решении и исследовании текстовых задач на составление урав
ний и неравенств..... ........... _ '
§ 66. Понятие об элементарных графических и приближенных методах р ^gj
шения уравнений .........................
Г л а в а V > /
Уравнения и неравенства первой степени
§ 67. Линейные уравнения.......................236
§ 68. Линейные системы........................240
§ 69. Треугольные системы......................240
§ 70. Исключение неизвестного из двух линейных уравнений......244
§ 71. Исследование и решение системы линейных уравнений элементарными методами.........................247
§ 72. Метод неопределенных коэффициентов..............258
§ 73. Линейные системы, содержащие параметры. Решение линейных систем при дополнительных условиях................260
§ 74. Различные частные способы решения линейных систем.......261
§ 75. Неравенства первой степени...................267
§ 76. Системы линейных неравенств.................. 272
§ 77. Смешанные системы.......................275
§ 78 Примеры решения и исследования текстовых задач на составление 285 уравнений и неравенств.....................288
Глава VI Уравнения и неравенства высших степеней
§ 79. Квадратный трехчлен, выделение полных квадратов........295
§ 80. Корни квадратного трехчлена...................197
§ 81. Квадратные уравнения, содержащие параметры..........304
§ 82. Симметрические функции корней квадратного трехчлена ...... 305
§ 83. Квадратный трехчлен над полем действительных чисел, неравенства
второй степени, наибольшие и наименьшие значения........309
§ 84. Алгебраические уравнения над полем рациональных чисел.....318
§ 85. Двучленные уравнения......................321
§ 86. Частные виды алгебраических уравнений высших степеней, решаемых
элементарными методами.....................322
§ 87. Дробные уравнения.......................334
§ 88. Системы уравнений высших степеней.........".....340
§ 89. Уравнения однородные и приводящиеся к однородным.......345
§ 90. Примеры решения систем уравнений...............350
§ 91. Неравенства и системы неравенств высших степеней с одним неизвестным....................... . 360
§ 92. Неравенства и системы неравенств с несколькими неизвестными
смешанные системы.......................366
§ 93. Иррациональные уравнения....................377
§ 94. Иррациональные неравенства...................388
§ 95. Примеры решения текстовых задач............... , 394
§ 96. Задачи на исследование функций и нахождение наименьших значений 401
Глава VII
Показательная и логарифмическая функции над полем действительных чисел
§ 97. Показательная функция на множестве рациональных чисел . . . .413
§ 98. Степень с иррациональным показателем.............416
§ 99. Показательная функция.....................421
§ 100. Ло|арифмы и их свойства....................423
§ 101. Логарифмическая функция....................427
§ 102. Степенная функция с произвольным действительным показателем 42У § 103 Сложная показательная функция.................
§ 104. Примеры исследования функций, заданных формулами, содержащими логарифмические и показательные операции........432
§ 105. Jloi арифмические вычисления..................437
§ 106. Показательные и ло! арифмические уравнения и неравенства .... 445 § 107. О некоторых приложениях показательной функции и логарифмов . 456
§ 108. Рост показательной и логарифмической функций........459
| 109. Трансцендентность показательной и логарифмической функций . . .461 § ПО. Характеристические свойства показательной и логарифмической
функций............................463 \
Глава VIII ;
Последовательности
§ 111. Понятие последовательности ................... 468
§ 112. Числовые последовательности..................471
§ 113. Прогрессии...........................476
§ 114. Суммирование конечных рядов..................480
§ 115. Сходящиеся последовательности и суммирование рядов......483
Г л а в а IX Комбинаторика
§ 116. Сочетания...........................493
| 117. Перестановки..........................497
§ 118. Размещения...........................501
§ 119. Размещения с повторениями...................504
§ 120. Перестановки с повторениями..................506
§ 121. Сочетания с повторениями....................508
§ 122. Число членов в каноническом представлении многочлена.....510
§ 123. Формулы произведения двучленов, бинома Ньютона и степени
суммы.............................512
§ 124. Комбинаторные тождества и методы их доказательства.......514
§ 125. Суммирование степеней чисел натурального ряда.........518
Цена: 300руб.
