Предисловие.................... • • • •
Г л а в а 1
Основные понятия дифференциального исчисления...... 9
§ 1. Основной принцип дифференциального исчисления . . 9
§ 2. Бесконечно малые величины............ 13
§ 3. Сходящиеся переменные и их пределы....... 14
§ 4. Бесконечно большие величины.......... . 17
§ 5. Примеры на вычисление пределов......... 17
§ 6. Пределы функций................. 18
§ 7. Непрерывность функций ............. 20
§ 8. Уточнение понятия производной.......... 25
§ 9. Уравнение касательной к графику функции .... 28
§ 10. Скорость изменения функции........... 29
§ 11. Скорость механического движения точки по прямой 31
§ 12. Дифференциал функции.............. 35
§ 13. Дифференциал функции от функции........ 39
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 1................. 40
Г л а в а 2
Техника дифференцирования................ 49
§ 1. Дифференцирование результатов арифметических действий........................ 49
§ 2. Дифференцирование логарифмической функции ... 55 § 3. Доказательство существования предела функции
-(1 -Н)1/л при А—* 0............... 56
§ 4. Дифференцирование показательной функции .... 60
§ 5. Дифференцирование степенной функции....... 61
§ 6. Дифференцирование функций, заданных уравнениями 62
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 2................. 63
Гл ава 3
Некоторые приложения дифференциального исчисления ... 67
§ 1. Признаки возрастания и убывания функций .... 67 § 2. Уточнение доказательств теорем о возрастании и убывании функций.................. 71
§ 3. Максимум и минимум функций.......... 76
3
, § 4. Один несложный пример и некоторые выводы из его
рассмотрения .................. 83
§ 5. Производные высших порядков . ,....... . 86
§ 6. Бином Ньютона ................. 86
§ 7. Применение производных высших порядков к исследованию функций.................. 89
§ 8. Порядок малости функций в окрестности точки, в которой функция обращается в нуль и порядок близости
функций..................... 93 ;
§ 9. Связь порядка малости с порядком первой отличной ' ;
от нуля производной............... 95
§ 10. Формулы Тейлора и Маклорена.......... 99 J
§11. Общие понятия теории приближенных вычислений 103 ;»"
§ 12. Оценка погрешностей результатов вычислений с при- |
ближенно заданными числами........... 105 |
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 3 ................. 110 , |
Г л а в а 4 •'••.!
Тригонометрические функции................ 122 4
§ 1. Обобщение понятия угла............. 122 |
§ 2. Измерение углов в радианах ........... 124 |
§ 3. Функции синус и косинус............. 126 |
§ 4. Простейшие свойства функций синус и косинус . . 12§ ''• § 5. Приведение значений функций синус и косинус к значениям на интервале 0<<р<я/4......... 133
§ 6. Функции тангенс и котангенс........... 133 \
§ 7. Выражение тригонометрических функций друг через
друга...................... 137 -
§ 8. Один важный предел............... 138 I
§ 9. Графики функций y — slnx и y=cosx....... 140 .;''
§ 10. Графики функций y = tgx и # = ctg*....... 143 |
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 4................. 144 1
Глава 5
Преобразование выражений с тригонометрическими функциями
и некоторые приложения.................. 157 J
§ 1. Синус и косинус суммы и разности аргументов . . 157 ;i
§ 2. Тангенс и котангенс суммы и разности ...... 160 3
§ 3. Тригонометрические функции удвоенного аргумента .'vS
и некоторых кратных аргументов......... 161 I
$ 4. Тригонометрические функции половинного аргумента 164 , § 5. Выражение тригонометрических функций через тан- ,
гене половинного аргумента............ 165
§ 6. Выражение произведений функций синус и косинус •
в виде сумм и выражение сумм в виде произведений 166 § 7, Преобразование линейной комбинации синуса и косинуса ....................... 167
§ 8. Гармонические колебания............. 168
§ 9. Колебания с переменной амплитудой ........ 170
§ 10. Простейшие тригонометрические уравнения и обратные тригонометрические функции......... 172
. § И. Некоторые действия над прямыми и обратными тригонометрическими функциями............ 177
§ 12. Тригонометрические уравнения .......... 179
4
& 13. Решение простейших тригонометрических неравенств 188 | 14 Тригонометрические неравенства более общего вида 191 I 15. Примеры на доказательство неравенств е тригонометрическими выражениями ............. 196
§ 16. Дифференциалы и производные тригонометрических
функций...............'..... 198
6 17. Применение производных к исследованию функций,
выражающихся через тригонометрические..... 201
§ 18. Производные и дифференциалы обратных тригонометрических функций................ 208
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 5................. 210
Г лав а б
Элементы интегрального исчисления............. 219
§ 1. Определение интегрирования ........... 219
§ 2. Более строгое доказательство леммы........ 220
§ 3. Простейшие формулы интегрирования....... 221
§ 4. Интегрирование, основанное на использовании инвариантности формулы дифференциала функции от
функции..................... 224
§ 5. Интегрирование по частям ............ 225
§ 6. Площадь криволинейной трапеции.......... 226
§ 7. Простейшие свойства определенных интегралов ... 234
§ 8. Представление интеграла в виде суммы...... 237
§ 9. Интеграл как предел суммы............ 238
§ Ю. Приближенное вычисление интегралов....... 243
§ 11. Объем тела вращения............... 248
§ 12. Длина дуги кривой................ 250
§ 13. Площадь боковой поверхности тела вращения ... 252
§ 14. Понятие дифференциального уравнения...... . 253
§ 15. Некоторые дифференциальные уравнения, играющие
важную роль в механике............. 255
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 6................. 258
Глава 7
Комплексные числа..................... 276
§ 1. Вводные соображения............... 276
§ 2. Основные определения............... 279
§ 3. Тригонометрическая форма комплексного числа . . . 282 § 4. Умножение комплексных чисел в тригонометрической .
. _ Форме....................... 284
§ о. Извлечение корня из комплексного числа...... 287
§ 6. Извлечение квадратного корня из комплексного числа 289 § 7. Показательная и логарифмическая функции комплексной переменной.................. 291
УПРАЖНЕНИЯ К ГЛАВЕ 7................. 293
Г л а в а 8
Элементы комбинаторики и теории вероятностей....... 296
§ 1. Простейшие комбинаторные задачи .... 296
§ 2. О вероятности.................. 304
S о. Сложение вероятностей.............. 308
§ 4. Умножение вероятностей ............. 309
§ 5. Применения к генетике.............. 312
§ 6. Случайные величины............... 3)5
§ 7. Сумма независимых случайных величин...... 317
§ 8. Математическое ожидание и дисперсия случайной
величины, связанной со схемой Бернулли..... 319
§ 9. Неравенство Чебышева.............. 320
§ 10. Закон больших чисел для схемы Бернулли .... 321
§ 11. Случайные блуждания на прямой......... 322
§ 12. Случайные величины, значения которых сосредоточены в промежутке или на всей вещественной оси 324 § 13. Задача Бюффона................. 329
ОТВЕТЫ И УКАЗАНИЯ.................. 331
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга написана на основе материалов, по которым велось экспериментальное преподавание курса алгебры и начал математического анализа, предложенного Д. К. Фад-деевым для средней школы. Содержание книги охватывает круг вопросов, входящих в программу по математике для старших классов. В идейном плане книга тесно связана с курсом алгебры Д. К. Фаддеева, изложенным в его книге «Алгебра 6—8», которая вышла в 1983 г. в издательстве «Просвещение» в серии «Библиотека учителя математики» *).
Предлагаемая читателю книга по содержанию значительно шире существующих сейчас учебников по математике для средней школы. Например, кроме традиционного уже для курса средней школы понятия первой производной (и ее приложений к исследованию функций), в книге рассмотрено понятие производных высшего порядка и на его основе дан вывод формулы бинома Ньютона, введено понятие порядка близости функций, получена формула Тейлора, рассмотрены проблемы приближенных вычислений на основе понятия дифференциала.
В главе «Элементы интегрального исчисления» даны методы приближенных вычислений интегралов, решена задача определения длины плоской кривой, более подробно рассмотрены способы вычисления неопределенных интегралов и вопросы решения простейших дифференциальных уравнений, а также некоторые численные методы их решения.
Многие из затронутых в книге вопросов предполагают и стимулируют применение современных вычислительных средств от простейших микрокалькуляторов до ЭВМ.
Цена: 150руб.
