Предисловие ,............... 4
Введение .................. ^
Глава 1. Координаты на плоскости......... 12
§ 1. Прямоугольные декартовы координаты и векторы
на плоскости............... 12
§ 2. Полярные координаты........... 20
§ 3. Геометрическое изображение комплексных чисел 24
Добавлениякглаве 1............34
!. Координаты в пространстве (34). 2. Векторы в пространстве (36).
Глава 2. Координаты и линии на плоскости..... 39
§ 4. Функции и их графики........... 39
§ 5. Эллипс, гипербола, парабола........ 47
§ 6. Параметрическое представление линий..... 59
§ 7. Замкнутые кривые............ 63
§ 8. Многочлены комплексной переменной..... 70
Добавления к главе 2............81
1. Функции двух переменных и их графики в пространстве (80). 2. Функции трех переменных и соответствующие им поверхности (82). 3. Поверхности вращения (83). 4. Уравнение плоскости (86). 5. Поверхности первого и второго порядков (87).
Глава 3. Аналитическая геометрия на плоскости .... 89 § 9. Преобразование декартовых координат на плоскости ................... 90
§ 10. Линии первого и второго порядков...... 100
§ 11. Конические сечения............ 109
Добавления к главе 3...........118
i. Преобразование координат (118). 2. Классификация поверхностей первого и второго порядков (122). 3. Конические сечения (125).
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга — первая из четырех небольших популярных книг, которые я предполагаю написать и опубликовать под общим названием «Знакомство с высшей математикой». Предполагается, что в них будут даны важнейшие результаты классической высшей математики. Выбор материала и порядок его изложения не соответствует никакой учебной программе. Книги будут отражать мои личные вкусы и взгляды на математику, сложившиеся за много лет работы. Кроме того, они будут учитывать мои юношеские воспоминания о возможностях восприятия молодого человека, с тем, чтобы нынешнее поколение молодых людей, начиная со школьников старших классов, могло знакомиться по ним с высшей математикой и приобретать правильный здоровый вкус к ней. Внимание читателя должно быть направлено не на изощренности типа теории множеств, теории пределов и т. п., а на главные математические результаты, сложившиеся в течение тысячелетий.
В трех главах этой книги излагаются важнейшие математические применения прямоугольных декартовых координат на плоскости. Главное место занимают краткие сведения из аналитической геометрии на плоскости: даются геометрические определения эллипса, гиперболы и параболы при помощи фокусов и директрис; далее дается классификация кривых второго порядка, т. е. доказывается, что каждая кривая второго порядка есть эллипс, гипербола или парабола, за исключением вырожденных случаев. Ввиду исключительно большого значения комплексных чисел в современной математике я в самом начале книги уделяю им большое внимание: дается геометрическое изображение комплексных чисел при помощи прямоугольных 4
декартовых координат, а затем геометрически изучаются комплексные многочлены от комплексного переменного и дается геометрическая идея доказательства основной теоремы высшей алгебры о том, что каждый многочлен степени п имеет ровно п корней. Строгое доказательство этой важнейшей теоремы невозможно без точного определения непрерывности функции. Однако я считаю, что интуитивное геометрическое доказательство ее вполне убедительно и представляет большой интерес. Потребность в точном понимании понятий предела и непрерывности должна возникнуть у читателя лишь в результате овладения им большим запасом конкретных математических знаний. Такие понятия, как предел и непрерывность, являются, на мой взгляд, надстройкой, уточняющей конкретные математические факты, и описание этой надстройки не должно даваться с самого начала, наводя скуку на читателя, не понимающего еще, для чего все это делается.
Каждая из трех глав книги снабжена добавлениями, непосредственно следующими за самой главой. Эти добавления относятся уже не к плоскости, а к пространству. В них описываются прямоугольные координаты в пространстве и простейшие применения этих координат к теории поверхностей второго порядка, а именно дается классификация поверхностей второго порядка. Добавления к главам изложены менее детально, чем сами главы, с тем, чтобы предоставить читателю материал для самостоятельных размышлений.
В этом втором издании книги сделаны некоторые усовершенствования, относящиеся к перемножению комплексных чисел.
Вторая книга под названием «Анализ бесконечно малых» посвящена изложению математического анализа. В начале излагаются не полным и не формальным образом теория действительного числа и теория пределов. При этом главное внимание обращается на необходимые и достаточные условия Коши сходимости для последовательности комплексных чисел. После этого развертывается теория степенных рядов от комплексного переменного. Таким образом, можно определить функцию ег комплексной переменной z и установить ее связь с тригонометрическими функциями на
Цена: 100руб.
