Математика	Физика	Химия	Биология	Техника и технологии
	Лекции и задачи по элементарной математике-В.Б.Болтянский Москва 1971 стр.590 Книга содержит теоретический материал и задачи по курсу элементарной математики. Теоретический материал включает изложение наиболее трудных вопросов школьного курса 'алгебры и элементарных функций. Особое внимание обращено на те разделы курса, которые недостаточно полно освещены в учебной литературе. Значительная часть задач, содержащихся в книге, предлагалась на вступительных экзаменах в МФТИ. Многие задачи специально составлены авторами для этой книги. Книга предназначена для учителей математики, студентов педвузов, университетов и особенно для старшеклассников, готовящихся в вузы.
СОДЕРЖАНИЕ Предисловие............................. 7 Глава 1. Необходимые и достаточные условия........ 9 § 1. Высказывания...................... 9 § 2. Отрицание........................ 11 § 3. Неопределенные высказывания............. 12 § 4. Знаки общности и существования........... 14 § 5. Необходимые и достаточные условия......... 22 § 6. Обратная и противоположная теоремы........ 27 § 7. Конъюнкция и дизъюнкция............... 30 § 8. Некоторые приемы доказательства .......... 33 Задачи к главе I ....................... 36 Глава II. Действительные числа................ 43 § 1. Рациональные числа .................. 43 § 2. Свойства множества рациональных чисел ....... 46 § 3. Примеры применения свойств рациональных чисел 48 § 4. Причины, заставляющие расширить множество рациональных чисел...................... 51 § 5. Предел монотонной ограниченной последовательности 56 § 6. Свойства множества действительных чисел...... 59 § 7. Абсолютная величина.................. 63 § 8. Числовая ось и координаты.............. 65 § 9. Некоторые числовые множества............ 68 Задачи к главе II ...................... 73 Глава III. Неравенства..............:...... 76 § 1. Определения....................... 76 § 2. Основные свойства неравенств............. 78 § 3. Некоторые часто встречающиеся неравенства .... 82 § 4. Примеры......................... 85 § 5. Два замечательных неравенства............ 89 Задачи к главе III...................... 92 Глава IV. Комплексные числа................. 100 § 1. Введение......................... 100 § 2. Определение комплексного числа........... 102 § 3. Свойства действий.................... 104 § 4. Модуль комплексного числа. Комплексно сопряженные числа........................ 108 § 5. Геометрическая интерпретация комплексного числа 110 --. „ § 6. Аргумент комплексного числа............. 112 § 7. Тригонометрическая форма записи комплексного числа........................... 113 Задачи к главе IV...................... 118 Глава V. Квадратный трехчлен............... . 122 § 1. Квадратный трехчлен и его корни .......... 122 § 2. График квадратного трехчлена ............ 127 § 3. Исследование квадратного трехчлена ......... 134 § 4. Квадратные неравенства................ 139 § 5. Наибольшее и наименьшее значение квадратного трехчлена.......................... 142 Задачи к главе V....................... .143 Глава VI. Многочлены и алгебраические уравнения..... 148 § 1. Многочлен и его значения............... 148 § 2. Действия над многочленами............... 155 § 3. Алгебраическое уравнение и его корни . '....... 163 Задачи к главе VI . . .................... 172 Глава VII. Функции и графики.................. 176 § 1. Определение функции.................. 176 § 2. График функции..................... 182 § 3. Ограниченность, монотонность, четность, нечетность, периодичности...................... 187 § 4. Композиция функций.................. 205 § 5. Обратная функция ................... 209 § 6. Обратные тригонометрические функции........ 218 § 7. Линейные преобразования графика.......... 222 § 8. Применение функций и графиков к решению уравнений и неравенств ............ ........ 228 Задачи к главе VII ...................... 236 Глава VIII. Степенная, показательная и логарифмическая функции........................... 242 § 1. Степень с натуральным показателем ......... 242 § 2. Степенная функция с натуральным показателем . . . ' 244 § 3. Арифметический корень................. 247 § 4. Степень с целым показателем -.............. 249 § 5. Степень с рациональным показателем......... 253 § 6. Степень с действительным показателем........ 258 § 7. Показательная и логарифмическая функции..... 260 § 8. Свойства логарифмов.................. 263 Задачи к главе VIII..................... 266 Г лав'а IX. Уравнения...................... 269 § 1. Равенство, тождество, уравнение........... 269 § 2. Потеря корней и появление посторонних корней при преобразовании уравнений. Равносильные уравнения. Уравнение, являющееся следствием данного. Дизъюнкция уравнений.................; . . . . 274 § 3. Наиболее важные приемы преобразования и методы решения уравнений................... 281 s 4 Простейшие иррациональные уравнения....... 292 1 Ъ. Логарифмические и показательные уравнения .... 296 Задачи к главе IX...................... 305 Глава X. Системы уравнений................. 309 s 1. Равносильные системы уравнений. 'Система, являю- щаяся следствием данной................ 309 s 2. Основные приемы и методы решения систем ..... 312 I 3. Однородные системы двух уравнений второй степени с двумя неизвестными ................. 320 § 4. Системы симметрических алгебраических уравнений 323 - Задачи к главе X....................... 330 Глава XI. Тригонометрические уравнения и системы уравнений........................ 349 § 1. Простейшие тригонометрические уравнения ..... 349 § 2. Уравнения вида sin/(.)=a,/(sinх) = 0 и аналогичные им..........................\ 352 § 3. Уравнения, однородные относительно sin* и cosx 357 , § 4. Введение вспомогательного угла............ 362 § 5. Метод замены неизвестного............... 363 § 6. Метод разложения на множители........... 370 § 7. Оценка левой и правой частей уравнения...... 374 § 8. Системы тригонометрических уравнений...... . 377 Задачи к главе XI...................... 391 Глава XII. Задачи по планиметрии............ . . 400. § 1. Прямоугольный треугольник.............. 400 § 2. Правильный треугольник................ 402 § 3. Равнобедренный треугольник ............. 403 § 4. Произвольный треугольник............... 405 § 5. Параллелограмм..................... 407 § 6. Трапеция......................... 407 § 7. Произвольный четырехугольник и многоугольник . . 409 § 8. Окружность ....................... 410 Глава Х111. Задачи по стереометрии...... ........ 412 § 1. Правильный тетраэдр.................. 412 § 2. Правильная треугольная пирамида.......... 413 § 3. Произвольная треугольная пирамида........ 415 § 4,- Правильная четырехугольная пирамида....... 417 § 5. Произвольная четырехугольная пирамида и многоугольная пирамида................... 419 § 6. Усеченная пирамида................... 420 § 7. Параллелепипед .................... 421 § 8. Призма ,........................ 422 § 9. Конус .......;.................. 423 § 10. Усеченный конус, цилиндр и шар.......... 424 Ответы к задачам главы 1..................... 426 Ответы к задачам главы II .................... 429 Ответы к задачам главы IV.................... 430 Ответы к задачам главы V .................... 431 Ответы к задачам главы VI.................... 433 К Ответы к задачам главы VII ................... 433 Ответы к задачам главы VJU................... 444 Ответы к задачам глаэы IX.................... 448 Ответы к задачам главы X .................... 449 Ответы к задачам главы XI.................... 455 Ответы к задачам главы XII ................... 464 Ответы к задачам главы XIII................... 466 Решения и указания к задачам главы 11 ............ 469 Решения и указания к задачам главы III............ 470 Решения и указания к задачам главы V ............ 477 Решения и указания к задачам главы VI............ 477 Решения и указания к задачам главы VII............ 479 Решения и указания к задачам главы IX............ 480 Решения и указания к задачам главы X ............ 481 Решения и указания к задачам главы XI........! . . . 505 Решения и указания к задачам главы XII ........... 517 Решения и указания к задачам главы XIII........... ПРЕДИСЛОВИЕ Предлагаемая вниманию читателя книга предназначена для учащихся старших классов средней школы, для поступающих в вузы, для учителей и студентов пединститутов и университетов. Она содержит теоретический материал по некоторым разделам элементарной математики и задачи. Теоретический материал не охватывает всего школьного курса математики. Мы ограничились изложением некоторых разделов, которые недостаточно полно изложены в учебной литературе. Некоторые разделы книги содержат теоретический материал, формально выходящий за рамки школьной программы по математике. Так, в гл. I рассказывается о простейших понятиях математической логики, в гл. II несколько полнее, чем это принято в школьных учебниках, излагается теория действительного числа,- а в гл. VII, VIII глубже изучаются некоторые вопросы теории элементарных функций. Однако в действительности эти вопросы изучаются в школе (хотя, может быть, не так глубоко), и на приемных экзаменах в вузах требуется их ясное понимание. Например, учащиеся обязаны знать, что такое условие и заключение теоремы, в чем сущность метода доказательства от противного, должны уметь правильно формулировать обратные и противоположные теоремы, уметь делать правильные логические выводы. Поэтому гл. I, в которой эти вопросы подробно рассматриваются, фактически полностью соответствует школьной программе. Во всяком случае, поступающие в вузы с повышенными математическими требованиями и претендующие на оценку «отлично», должны хорошо разбираться в этом. То же можно сказать и по поводу остальных глав книги. Вместе с тем теоретический Цена: 150руб.
Назад	Заказ	На главную страницу