Настоящий справочник полностью включает материал, предусмотренный программами для средних специальных учебных заведений различного профиля. В нем найдут много полезного для себя и техники, и учащиеся средней школы, и все те, кто после нескольких лет перерыва в учебе готовится поступить в институт.
Программа по математике в средних специальных учебных заведениях занимает промежуточное положение между программой средней школы и вуза, так как, помимо традиционного школьного материала, включает элементы математического анализа, аналитической геометрии и теории приближенных вычислений. Однако наряду с расширением программы в техникумах наблюдается менее глубокое изучение некоторых вопросов элементарной математики, что ставит выпускника среднего специального учебного заведения в невыгодные условия на конкурсных экзаменах в вуз. Стремясь помочь учащимся техникумов преодолеть этот разрыв, авторы расширили раздел справочника, посвященный элементарной математике.
При отборе сведений для справочника авторы стремились включить в него вопросы, с которыми техник может встретиться в своей практической работе на производстве. Этим объясняется стремление довести многие формулы до числа даже в тех случаях, когда есть удобное алгебраическое выражение, и то внимание, которое уделено в справочнике приемам и средствам вычислений.
м
. СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие .............. 3
Латинский алфавит............ 5
Греческий алфавит............ 5
Математические обозначения........ 6
Часть первая СВЕДЕНИЯ ИЗ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКИ
I. Арифметика А. Натуральные числа
1. Действия над натуральными числами . .10
2. Порядок действий. Скобки ...... 11
3. Десятичная система счисления..... 12
4. Двоичная система счисления . . . . . 13
5. Троичная система счисления...... 17
6. Восьмеричная система счисления .... 19 • 7. Делимость чисел.......... 20
8. Простые и составные числа. Общие делители и общие кратные......... 21
Б. Рациональные числа •
а) Простые д роб и . ........ 24
1. Определения. Свойства дробей .... 24
2. Сравнение дробей.......... 25
3. Действия над дробями........ 26
4. Пропорции ............ 27
5. Средние величины ......... 30
с л *\
б) Десятичные дроби. Проценты, "i*
Двоичные дроби ........ 'j)j|
1. Определение............ $?
2. Действия над десятичными дробями . . . $$
3. Обращение десятичной дроби в простую , и простой в десятичную....... 33
4. Периодические дроби........ М
5. Проценты............. 3S
6. Двоичные дроби .......... 36
f
II. Алгебра '-•
"I
А. Расширение понятия о числе ' :
а) Действительные числа..... Ш
1. Числовая ось. Отрицательные числа . , . Щ
2. Иррациональные числа....., . . . щ
3. Алгебраические и трансцендентные числа . Щ
4. Действия над действительными числами . 4»i
5. Абсолютная величина действительного числа 4J1
б) Комплексные числа ...... ff
1. Определения. Действия над комплексными il числами............. 4f
2. Геометрическое истолкование ..... 47<
3. Тригонометрическая форма ...... 4$
4. Действия над комплексными числами в три- v гонометрической форме ....... 4^
Б. Алгебраические выражения fj
*Я
а) Степени и корни . . . . . . . . .51
1. Определения ........... Я
2. Действия над степенями....... S
3. Вынесение множителя из-под радикала . 5
4. Исключение иррациональности в дроби . . 8
5. Формула сложного радикала ..... 5
йт
б) Многочлены . .^ . . . •..... W;
1. Определения. Действия над многочленами" б^
2. Формулы сокращенного умножения и деле- : ния ,..,..,.,.... * , Щ
3. Деление многочленов. Теорема Безу. Схема
Горнера ...... ....... 59
4- Разложение многочлена на множители . . 61
5. Условие равенства многочленов. Восстановление многочлена по его корням .... 63
6. Симметрические многочлены ..... 64
в) Алгебраические дроби ..... 65
1. Определение. Свойства........ 65
2. Действия с алгебраическими дробями . . 66
3. Разложение на простейшие дроби ... 67
В. Уравнения
а) Общие сведения...... . . 71
1. Равенство. Тождество. Уравнение ... 71
2. Системы и совокупности уравнений . . . 74
3. Классификация уравнений ...... 74
4. Равносильность уравнений . ...... 75
б) А л гебра ические у ра в н«н ия с одним неизвестным ........ 82 "
1. Уравнение первой степени (линейное) . . 82
2. Уравнение второй степени (квадратное) . 83
3. Уравнение третьей степени (кубичное) . 84
4. Уравнение четвертой степени..... 86
5. Биквадратное уравнение . . . . . . .87
6. Возвратное уравнение четвертей степени . 88
7. Двучленное уравнение......... 89
8. Трехчленное уравнение ....... 90
9. Уравнение n-й степени........ 90
10. Дробное уравнение......... 91
11. Иррациональные уравнения...... 91
в) Трансцендентные уравнения . . 95
1, Показательные уравнения ....... 95
2. Логарифмические уравнения...... 96
г) Системы алгебраических уравнений .............- . 97
1. Метод Гаусса исключения неизвестных . . 97
2. Определители . . . . .. „ . . , -. . 102
3. Система двух линейных уравнений с двумя неизвестными........... 104
4. Система трех Линейных уравнений с тремя неизвестными ...........ГОб
5. Простейшие системы, содержащие уравнения второй степени ......... 109
6. Симметричные системы уравнений, . . . 113,
, Неравенства з)Общиесведения
1. Определения ............115
2. Свойства и преобразования неравенств . 115
3. Система и совокупность неравенств . . .116
б) Решение неравенств
1. Неравенство первой степени (линейное) . 117
2. Метод интервалов .........117
3. Неравенство второй степени (квадратное) . 120
4. Иррациональные неравенства .....121
5. Логарифмические неравенства.....123
6. Некоторые важные неравенства.....125
. Числовые последовательности '~ *-•
1. Понятие последовательности. Примеры . 126
2. Арифметическая прогрессия...... 128
3. Геометрическая прогрессия ...... 128
4. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия ......... .... 129
Логарифмы
1. Определение............129
2. Свойства логарифмов ........129
3. Десятичные логарифмы........132
[. Комбинаторика. Бином Ньютона
1. Перестановки. Размещения. Сочетания . . 133
2. Бином Ньютона . :........ 136
3. Свойства разложения по формуле бинома Ньютона........s „ , « . 137
3. Элементы математической логики
а) Множества
1. Определения. Действия над множествами 138
2. Некоторые свойства множеств.....139
3. Алгебра символической логики.....140
б) Математическая индукция
1. Определение............145
2. Примеры.............145
3. Замечания.............148
а) Аксиомы, теоремы, следствия
1. Определения............148
2. Прямая и обратная теоремы. Необходимость и достаточность........ 149
III Геометрия
А. Плоские фигуры
а) У г л ы
1. Определения............ 151
2. Градусная мера углов........151
3. Радианная мера углов........152
4. Классификация углов........152
5. Углы при параллельных прямых . . . .153
б) Треугольник Т-~Г".
1. Обозначения, основные свойства .... 153
2. Высота, медиана, бессектриса . . . . . 154 . 3. Вписанная и вневписаяная окружности . .155
4. Описанная окружность........156
5. Центр тяжести, ортоцентр......157
6. Площадь треугольника....... . 157
7. Частные случаи треугольников.....158
в) Четырехугольник
1. Обозначения, основные свойства .... 160
2. Частные случаи четырехугольников . . .161
1. Основные свойства . ........i$S,t
2. Правильные многоугольники......166;;
3. Соотношения в правильных многоуголь- ';,'•?' ,никах..............166;
д) К р у г •'
1. Элементы круга.......... 169:
2. Углы и окружность.........170*
3. Пропорциональные отрезки ...... 171;
4. Соотношения............17Г
Б. Задачи на построение
а) Элементарные построения
1. Перпендикуляр к отрезку в его середине . 172'
2. Угол, равный данному . . . . .' . . .173
3. Прямая, параллельная данной.....173-
4. Биссектриса угла.......... 173
5. Четвертый пропорциональный отрезок . . 174
6. Средний пропорциональный отрезок . . .174
7. Деление отрезка на равные части . . . .174
8. Перпендикуляр в конце луча......175
9. Золотое сечение ..........175
10. Сегмент, вмещающий данный угол . . .175
11. Касательная к, окружности . . . . . .176
12. Общая касательная к двум окружностям . 176
б) Построение треугольника ,
1. По трем сторонам .........177
2. По двум сторонам и углу между ними . .177
3. По стороне и прилежащим к ней углам . .177
4. По трем медианам .........177
в) Построение правильных много-
угольников
1. Треугольник и шестиугольник.....178
2. Квадрат и восьмиугольник......178
3. Пятиугольник и десятиугольник . . . -178
1
В. Геометрические преобразования
1. Параллельный перенос .......179
2. Осевая симметрия.........180
3. Подобие. Центральная симметрия .... 181
4. Инверсия . v........... 183
Г. Фигуры в пространстве
1. Прямые и плоскости. Углы......184
2. Многогранники ..........185
3. Правильные многогранники......188
4. Правильные самопересекающиеся много-
' гранники.............)92
5. Полуправильные многогранники .... 195
6. Цилиндр, конус .......... 196
7. Шар.............. 198
8. Фигуры вращения........... 200
IV. Тригонометрия
A. Тригонометрические функции
1. Определения и свойства ....... 202
2. Основные соотношения........ 203
3. Теоремы сложения .........206
Б. Обратные тригонометрические функции
1. Определения. Главные значения . . . .211
2. Основные соотношения........212
B. Тригонометрические уравнения.
1. Простейшие уравнения .......216
2. Разложение на множители . . . ... 216
3. Уравнения, приводящиеся к равенству тригонометрических функций.......217
4. Уравнения, приводящиеся к алгебраическим 218
Г. Решение прямолинейных треугольников
1. Основные теоремы и формулы.....220
2. Прямоугольные треугольники . . . . . 222
3. Косоугольные треугольники ...... 222
Д. Решение сферических треугольников
1. Основные понятия и определения . . . 224
2. Оснойные формулы......... 226
3. Прямоугольные треугольники.....226
4. Косоугольные треугольники......227
Часть вторая
СВЕДЕНИЯ ИЗ ВЫСШЕЙ МАТЕМАТИКИ
I. Аналитическая геометрия на плоскости
A. Метод координат и простейшие задачи
1. Декартова прямоугольная система координат..............231
2. Расстояние между двумя точками . . . 232
3. Деление отрезка в данном отношении . . 233
4. Преобразование декартовых координат . . 233
5. Полярные координаты........234
6. Переход от полярных координат к декартовым и обратно...........235
7. Уравнение линии..........236
Б. Прямая линия
1. Уравнение прямой .........237
2. Угол между двумя прямыми .....241
3. Пересечение двух прямых......, . 243
B. Кривые второго порядка
1. Окружность ............245
2. Эллипс . . s « 7 . . t . . . . . 246
3. Гипербола............ 249
4. Парабола ............. 253
5. Общие свойства кривых второго порядка . 255
Г. Некоторые замечательные кривые.......256
Д. Векторы
1. Определения .-.«,.......263
2. Сложение и вычитание векторов .... 264
3. Проекции вектора на оси координат . . . 265
4. Умножение вектора на число. Скалярное произведение двух векторов ...... 265
II. Элементы математического анализа А. Функции и графики
1. Определение функции . . "......267
2. Способы задания функции......267
3. Область определения функции.....268
4. Классификация функций.......270
5. Взаимно обратные функции......275
6. Монотонность. Четность. Периодичность. Ограниченность...........276
7. Преобразование графиков ......278
Б. Основы теории пределов \
1. Бесконечно малая и бесконечно большая величины......s ;.....279
2. Предел функции ..........281
3. Приращение функции........284
4. Непрерывность функции :......285
В. Основы дифференциального исчисления
1. Производная.......•„ ; t ? . 287
2. Основные правила и формулы дифференцирования .............289
3. Исследование функций с помощью производной ...:.. i i......293
4. Дифференциал...........299
Г. Основы интегрального исчисления ~ •
1. Неопределенный интеграл.......303
2. Основные свойства, формулы и способы интегрирования...........304
3. Таблица неопределенных интегралов . . . 314
4. Определенный интеграл .......323
5. Простейшие дифференциальные уравнения 331
Д. Бесконечные ряды
1. Числовые ряды...........334
2. Функциональные ряды........338
3. Таблица разложения некоторых функций
в ряд Маклорена..........340
4. Ряды Фурье ............ 342
тис д> ipei on
МЕТОДЫ И СРЕДСТВА ПРИБЛИЖЕННЫХ ВЫЧИСЛЕНИЯ
A. Приближенные вычисления
1. Определения ........... 3481
2. Значащие цифры и верные знаки .... 349 ;
3. Оценка точности приближенных чисел . . 350 л
4. Округление чисел..........350 ;
5. Правила действий с приближенными числами...............351
6. Приближенные формулы . ........354
Б. Ошибки и оценка точности результатов измере- '
НИИ
1. Методы и ошибки измерений .....356-}
2. Среднее арифметическое (арифметическая середина)......."......357
3. Оценка точности результатов непосредст- : 1 венных измерений . . . . . . . . . . 358
4. Ошибки функций измеренных величин . . 362
B. Способы и средства вычислений
1. Формула, алгорифм, схема ...... 366
2. Выражение углов в разных мерах . . . 367
3. Средства вычислений ........368
4. Таблицы . . . . . . s -. : . . . .-369
5. Счеты ...........'. . . 373
6. Логарифмическая линейка ......375
7. Малые вычислительные машины . . . . 381 '
Г. Графическое решение уравнений
1. Уравнение с одним неизвестным .... 398
2. Уравнение с двумя неизвестными . . . 399
Д. Графическое дифференцирование и интегрирование. Формулы для приближенного интегрирования.
1. Графическое дифференцирование .... 399 '
2. Приближенное вычисление определенных интегралов ............400 •
3. Графическое интегрирование . , . . ,401
Е. Приближенное решение уравнений
1. Метод проб............403
2. Метод хорд............ 404
3. Метод касательных.........405
Таблицы
«
1. Степени, корни, длины окружностей, площади кругов я обратные величины . . . 408
2. Степени некоторых чисел ....... 432
' 3. Числа— и JL............433
теп
4. Числа кратные и обратные М.....434
5. Числа кратные и обратные е.....434
6. Простые числа до 2803........435
7. Некоторые несократимые дроби .... 436
8. Квадратные и кубические корпи из неко* торых дробей............437
9. Длина дуги круга радиуса У?=1 .... 438
10. Элементы сегмента круга.......439
11. Длина 'дуги и площадь сегмента для хорды а=1............ 447
12. Элементы правильных многоугольников . 448
13. Факториалы, обратные им величины и логарифмы ..............450
14. Мантиссы десятичных логарифмов чисел . 451
15. Антилогарифмы чисел........ 455
16. Десятичные логарифмы тригонометрических функций........... 459
17. Десятичные логарифмы тригонометрических функций для углов в радианной мере . . 473
18. Натуральные логарифмы чисел . . . . . 477
19. Значения величин для перехода от десятичных логарифмов к натуральным и обратно 481
20. Натуральные значения шести тригонометри-' ческих функций для углов от 0 до 90°, через
каждые 10'........... . 482
21. Натуральные значения шести тригонометрических функций для углов от 0 до 90°, через каждые 0°, 1 ......... 495
Цена: 150руб.
