ПРЕДИСЛОВИЕ........................................ 7
Глава 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО....................................... 11
§ 1. Функции и множества.............................. 11
1.1. Множества (11). 1.2. Функции (13).
§ 2. Числа........................................ 15
2.1. Действительные числа (15). 2.2. Расширенная числовая прямая. Окрестности (18). 2.3. Комплексные числа (20). 2.4. Перестановки и сочетания (28). 2.5. Формула бинома Ньютона (31).
§' 3. Элементарные функции............................. 32
3.1. Числовые функции (32). 3.2. Понятие элементарной функции (33). 3.3*. Многочлены (34). 3.4. Разложение многочленов на множители (37). 3.5. Рациональные дроби (39). 3.6. Графики рациональных функций (45). 3.7. Степенная функция (48). 3.8. Показательная и логарифмическая функции (50). 3.9. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (51). 3.10.Параллельный перенос и растяжение графиков (54).
§ 4. Числовые множества............................... 57
4.1. Ограниченные и неограниченные множества (57). 4.2. Верхняя и нижняя грани (57). 4.3*. Арифметические свойства верхних и нижних граней (59). 4.4. Принцип Архимеда (61). 4.5. Принцип вложенных отрезков (62). 4.6*. Счетность рациональных чисел. Несчетность действительных чисел (64).
§ 5. Предел числовой последовательности.................... 68
5.1. Определение предела числовой последовательности (68).
5.2. Единственность предела последовательности (72). 5.3. Переход к пределу в неравенствах (72). 5.4. Ограниченность сходящихся последовательностей (76). 5.5. Бесконечно малые последовательности (77). 5.6. Свойства пределов, связанные с арифметическими действиями над числовыми последовательностями (79). 5.7. Монотонные последовательности (82). 5.8. Принцип компактности (85). 5.9. Критерий Коши (88). 5.10*. Изображение действительных чисел бесконечными десятичными дробями (90). 5.11. Предел последовательности комплексных чисел (96).
§ 6. Предел и непрерывность функций ...................... 98
6.1. Первое определение предела функции (98). 6.2. Непрерывные функции (103). 6.3. Условие существования предела функции (105). 6.4. Второе определение предела функции (106). 6.5. Предел функции по объединению множеств (108). 6.6. Односторонние пределы и односторонняя непрерывность (108). 6.7. Свойства пределов функций (ПО). 6.8. Бесконечно малые (113). 6.9. Различные формы записи непрерывности функции в точке (115). 6.10. Классификация точек разрыва (118). 6.11. Пределы монотонных функций (119). 6.12. Критерий Коши существования предела функции (121). 6.13. Предел и непрерывность композиции функций (122). 6.14. Предел и непрерывность функций комплексного аргумента (123).
§ 7. Свойства непрерывных функций....................... 125
7.1. Ограниченность непрерывных функций. Достижимость экстремальных значений (125). 7.2. Промежуточные значения непрерывных функций (126). 7.3. Обратные функции (127).
§ 8. Непрерывность элементарных функций................... 131
8.1. Многочлены и рациональные функции(131).8.2.Показательнаяи логарифмическая функции (131). 8.3. Степенная функция (138). 8.4. Тригонометрические и обратные тригонометрические функции (139). 8.5. Элементарные функции (140).
§ 9. Сравнение функций ............................... 140
9.1. Замечательные пределы (140). 9.2. Сравнение функций в окрестности заданной точки (144). 9.3. Эквивалентные функции (148).
§ 10. Производная и дифференциал......................... 150
10.1. Определение производной (150). 10.2. Дифференциал функции (152). 10.3. Геометрический смысл производной и дифференциала (154). 10.4. Физический смысл производной и дифференциала (156). 10.5. Свойства производных, связанные с арифметическими действиями над функциями (158). 10.6. Производная обратной функции (159). 10.7. Производная и дифференциал сложной функции (161). 10.8. Гиперболические функции и их производные (162). 10.9. Производные комплекснозначных функций действительного аргумента (163).
§ 11. Производные и дифференциалы высших порядков............ 164
11.1. Производные высших порядков (164). 11.2. Производные высших порядков сложных функций, обратных функций и функций, заданных параметрически (166). 11.3. Дифференциалы высших порядков (167).
§ 12. Дифференциальные теоремы о среднем..........,........ 168
12.1. Теорема Ферма (168). 12.2. Теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях (169).
§ 13. Раскрытие неопределенностей по правилу Лопиталя........... 174
13.1. Неопределенности вида— (174). 13.2. Неопределенности вида — (175).
§ 14. Формула Тейлора................................. 181
14.1. Вывод формулы Тейлора (181). 14.2. Примеры разложения по формуле Тейлора (184). 14.3*. Применение метода выделения главной части функций для вычисления пределов (186).
§ 15. Исследование функций.............................. 188
15.1. Признак монотонности функций (188). 15.2. Локальные экстремумы функций (189). 15.3. Выпуклость и точки перегиба (194). 15.4. Асимптоты (199). 15.5 *. Построение графиков функций (200).
§ 16. Векторные функции............................... 202
16.1. Предел и непрерывность векторной функции (202). 16.2. Производная и дифференциал векторной функции (206).
§ 17. Длина кривой................................... 213
17.1. Понятие кривой (213). 17.2. Касательная к кривой (217). 17.3. Определение длины кривой. Спрямляемые кривые (220).
§ 18. Кривизна кривой................................. 225
18.1. Определение кривизны и радиуса кривизны кривой (225).
18.2. Формула для кривизны (227). Главная нормаль. Соприкасающаяся плоскость (229). 18.4. Центр кривизны. Эволюта (231). 18.5. Кривизна и эволюта плоской кривой (232).
Глава 2. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ ............................................ 237
§ 19. Многомерные пространства .......................... 237
19.1. Определение л-мерного пространства (237). 19.2. Сходимость последовательностей точек в л-мерном пространстве (241). 19.3. Различные типы множеств (247).
§ 20. Предел и непрерывность функций многих переменных ......... 254
20.1. Функции многих переменных (254) . 20.2. Определение предела и непрерывности функций многих переменных (255). 20.3. Свойства пределов функций многих переменных (259). 20.4. Предел и непрерывность композиции функций многих переменных (259). 20.5. Повторные пределы (263).
§ 21. Функции многих переменных, непрерывные на множествах ...... 265
21.1. Непрерывные функции на компактах (265). 21.2, Функции, непрерывные на линейно связных множествах (266). 21.3. Равномерная непрерывность функций (267).
§ 22. Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных ....................................... 271
22.1. Частные производные (271). 22.2. Дифференцируемость функций многих переменных (272). 22.3. Дифференцирование сложной функции (278). 22.4. Инвариантность формы первого дифференциала (280). 22.5. Геометрический смысл частных производных и дифференциала (281). 22.6. Производная по направлению. Градиент (283).
§ 23. Частные производные и дифференциалы высших порядков....... 287
23.1. Частные производные высших порядков (287). 23.2. Дифференциалы высших порядков (289).
§ 24. Формула Тейлора для функций многих переменных ........... 290
24.1. Формула Тейлора для функций двух переменных (290). 24.2. Формула Тейлора для функций любого числа переменных (293).
§ 25. Экстремумы функций многих переменных................. 296
25.1. Необходимые условия экстремума (296). 25.2. Достаточные условия экстремума (297).
§ 26. Неявные функции. Отображения....................... 302
26.1. Неявные функции, задаваемые одним уравнением (302).
26.2. Декартово произведение множеств (306). 26.3. Неявные функции, задаваемые системой уравнений (310). 26.4. Свойства якобианов отражений (315). 26.5. Непрерывно дифференцируемые отображения (316).
§ 27. Условный экстремум .............................. 318
27.1. Прямой метод отыскания точек условного экстремума (318).
27.2. Метод неопределенных множителей Лагранжа (321).
5
Глава 3. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ ОДНОГО ПЕРЕМЕННОГО .............................................. 325
§ 28. Определение и свойства неопределенного интеграла........... 325
28.1. Первообразная и неопределенный интеграл (325). 28.2. Основные свойства интеграла (327). 28.3. Табличные интегралы (328).
28.4. Формула замены переменного (330). 28.5. Формула интегрирования по частям (332).
§ 29. Интегрирование рациональных дробей.................... 333
29.1. Интегрирование элементарных рациональных дробей (333).
29.2. Общий случай (335).
§ 30. Интегрирование некоторых иррациональноетей .............. 336
ЗОЛ. Рациональные функции от функций (336). 30.2. Интегралы
/ /ах + Ь\г> /ах + Ь\гп\
вида fR (х, {-—;) ,..., (___) )* . . . (336). 30.3*.
Интегралы от дифференциального бинома (338).
§ 31. Интегрирование некоторых трансцендентных функций......... 339
31.1. Интегралы fR(sinx, cosx)dx (339). 31.2. Интегралы /sinmx cos"x dx (341). 31.3. Интегралы /sin ax cos 0xdx, /sin ax smQxdx, f cos ax cos fix dx (342). 31.4. Интегралы от трансцендентных функций, вычисляющиеся с помощью интегрирования по частям (342).
§ 32. Определенный интеграл............................. , 344
32.1. Определенный интеграл Римана (344). 32.2. Ограниченность интегрируемых функций (346). 32.3. Верхние и нижние суммы Дарбу (348). 32.4. Нижний и верхний интегралы (351). 32.5. Необходимые и достаточные условия интегрируемости функций (352). 32.6. Интегрируемость непрерывных и монотонных функций (353).
§ 33. Свойства интегрируемых функций...................... 355
33.1. Основные свойства определенного интеграла (355). 33.2. Интегральная теорема о среднем (364).
§ 34. Определенный и неопределенный интегралы................ 367
34.1. Дифференцирование определенного интеграла по верхнему пределу (367). 34.2. Существование первообразной (369).
§ 35. Формулы замены переменного и интегрирования по частям в определенном интеграле ............................... 371
35.1. Формула замены переменного (371). 35.2. Формула интегрирования по частям (371).
§ 36. Площади и объемы................................ 375
36.1. Понятие площади плоского множества (375). 36.2*. Пример неограниченного множества конечной площади (377). 36.2. Понятие объема (378).
§ 37. Геометрические и физические приложения определенного интеграла 379 37.1. Вычисление площадей криволинейных трапеций (379). 37.2. Вычисление площадей в полярных координатах (382). 37.3. Вычисление длины кривой (383). 37.4. Площадь поверхности вращения(384).
37.5. Объем тел вращения (387). 37.6*. Теоремы Гульдина. Центры тяжести плоских фигур и их моменты относительно осей (388).
§ 38. Несобственные интегралы ........................... 393
38.1. Определение несобственных интегралов (393). 38.2. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов (398).
38.3. Несобственные интегралы от неотрицательных функций (402).
38.4. Критерий Коши (406). 38.5. Абсолютно сходящиеся интегра-6
лы (407). 38.6. Признаки сходимости Дирихле и Абеля (411). 38.7. Интегралы от комплекснозначных функций действительного аргумента (414).
Глава 4. РЯДЫ........................................ 416
§ 39. Числовые ряды.................................. 416
39.1. Определение ряда (416). 39.2. Свойства сходящихся рядов (417). 39.3. Критерий Коши (419). 39.4. Признаки сходимости рядов с неотрицательными членами (420). 39.5. Знакочередующиеся ряды (428). 39.6. Абсолютно сходящиеся ряды (429). 39.7. Условно сходящиеся ряды (434). 39.8*. Признаки сходимости рядов Дирихле и Абеля (438). 39.9. Суммирование рядов методом средних арифметических (443).
§ 40. Функциональные последовательности и ряды ............... 444
40.1. Сходимость функциональных последовательностей и рядов (444). 40.2. Равномерная сходимость функциональных последовательностей и рядов (447). 40.3*. Специальные признаки равномерной сходимости рядов (455). 40.4. Свойства равномерно сходящихся последовательностей и рядов (457),
§ 41. Степенные ряды.................................. 464
41.1. Радиус сходимости и круг сходимости (464). 41.2. Аналитические функции в действительной области (471). 41.3. Разложение функций в степенные ряды. Различные способы записи остаточного члена формулы Тейлора (472). 41.4. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора (477). 41.5*. Формула Стерлинга (485).
Глава 5. ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ............................................ 489
§ 42. Кратные интегралы................................ 489
42.1. Объем (мера) в л-мерном пространстве (489). 42.2. Множества меры нуль (501). 42.3. Разбиения измеримых множеств (504).
42.4. Интегральные суммы. Определение кратного интеграла (505).
42.5. Неполные интегральные суммы (507). 42.6. Существование кратного интеграла (510). 42.7. Свойства кратных интегралов (512).
§ 43. Сведение кратного интеграла к повторному................ 514
43.1. Сведение двойного интеграла к повторному (514). 43.2. Сведение интеграла произвольной кратности к повторному (520).
§ 44, Криволинейные интегралы.......................... 522
44.1. Криволинейный интеграл первого рода (522). 44.2. Криволинейный интеграл второго рода (524). 44.3, Обобщение понятия криволинейного интеграла второго рода (528). 44,4. Формула Грина (532). 44.5. Формула для площадей (537).
§ 45. Замена переменного в кратном интеграле......... ........ 538
45.1. Замена переменного в двойном интеграле (538). 45.2. Геометрический смысл абсолютной величины якобиана (541). 45.3. Геометрический смысл знака якобиана (000), 45.4*. Обобщение теоремы о замене переменных в двойном интеграле (543). 45.5. Случай интегралов произвольной кратности (545). 45.6. Криволинейные координаты (545).
§ 46. Элементы теории поверхностей......................'. . 550
46.1. Основные определения (550). 46.2, Первая квадратичная форма поверхности (555). 46.3. Длина кривых на поверхности (556). 46.4, Площадь поверхности (557). 46.5. Ориентация поверхности (559).
§ 47. Поверхностные интегралы........................... 561
47.1. Определения поверхностных интегралов (561). 47.2. Формулы для представления поверхностного интеграла второго рода в виде двойного интеграла (564). 47.3. Обобщение понятия поверхностного интеграла второго рода (565).
§ 48. Скалярные и векторные поля......................... 569
48.1. Основные понятия (569). 48.2. Формула Остроградского — Гаусса (571). 48.3. Геометрическое определение дивергенции (575). 48.4. Формула Стокса (576). 48.5. Геометрическое определение вихря (580). 48.6. Соленоидальные векторные поля (581). 48.7. Потенциальные векторные поля (582).
§ 49. Интегралы, зависящие от параметра..................... 587
49.1. Равномерная сходимость семейства функций по параметру (587). 49.2. Свойства интегралов, зависящих от параметра (590).
§50. Несобственные интегралы, зависящие от параметра............ 594
50.1. Равномерно сходящиеся интегралы (594). 50.2. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра (599). 50.3. Интегралы Эйлера (603). 50.4*. Интеграл Дирихле (604).
Глава 6. ГАРМОНИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ......................... 607
§51. Тригонометрические ряды Фурье....................... 607
51.1. Основные понятия (607). 51.2. Приближение функций ступенчатыми функциями (611). 51.3. Теорема Римана. Стремление коэффициентов Фурье к нулю (615). 51.4. Интеграл Дирихле. Принцип локализации (616). 51.5. Сходимость ряда Фурье в точке (621). 51.6. Суммирование рядов Фурье методом средних арифметических (626). 51.7. Приближение непрерывных функций многочленами (632).
§ 52. Функциональные пространства ........................ 635
52.1. Метрические пространства (635). 52.2. Линейные пространства (645). 52.3. Нормированные и полунормированные пространства (646). 52.4. Гильбертовы пространства (653). 52.5. Пространство L2 (661).
§ 53. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах................. 671
53.1. Ортонормированные системы (671). 53.2. Полные системы (673). 53.3. Ряды Фурье (676). 53.4. Дифференцирование тригонометрических рядов Фурье и порядок убывания их коэффициентов (686). 53.5. Скорость сходимости тригонометрических рядов (688). 53,6*. Ряды Фурье функций с произвольным периодом (691). 53.7*. Запись рядов Фурье в комплексной форме (691).
§ 54. Интеграл Фурье и преобразование Фурье .................. 693
54.1. Представление функций интегралом Фурье (693). 54.2. Главное значение интеграла (701). 54.3. Преобразование Фурье (702). 54.4. Свойства преобразования Фурье абсолютно интегрируемых функций (705).
§ 55. Обобщенные функции.............................. 709
55.1. Пространства D и D' (709). 55.2. Дифференцирование обобщенных функций (714). 55.3. Пространство S (714). 55.4. Преобразование Фурье обобщенных функций (720).
КРАТКИЙ ОЧЕРК ИСТОРИИ РАЗВИТИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО АНАЛИЗА .............................................. 725
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ ............................... 733
ПРЕДИСЛОВИЕ
В основе настоящего учебника лежит классический метод изложения материала, характерный для математических дисциплин, т.е. метод, при котором ни одно принципиально важное для построения курса утверждение, требующее доказательства, не остается без такового. Автору представляется, что изложение математической дисциплины, при котором ряд фактов (часто основополагающих) принимается без доказательства, затрудняет изучение предмета и активное использование его в дальнейшем. В качестве оправдания такого "нестрогого" изложения обычно приводится довод о невозможности в отведенные учебным планом часы дать обоснованное изложение всего материала. Однако в высших учебных заведениях, в которых на курс математики отводится 350—510 часов, вопросы математического анализа можно изложить неформально, с общепринятой в математике строгостью. Один из возможных путей такого изложения без отказа от его наглядности и обстоятельности предлагается в данном курсе. В полном объеме весь материал, содержащейся в учебнике, можно подробно в умеренном темпе рассказать за 75 лекций (каждая из двух частей по 40 минут). Это подтверждается многолетним опытом чтения автором курса математического анализа на различных факультетах Московского физико-технического института.
Часть разделов учебника отмечена звездочкой. В этих разделах, во-первых, излагаются вопросы, которые целесообразнее разобрать не на лекциях, а на семинарских занятиях или предоставить студентам самостоятельно ознакомиться с ними; это прежде всего вопросы, касающиеся напоминания некоторых понятий элементарной математики. Во-вторых, в этих разделах излагаются вопросы, которые можно исключить из лек-¦¦ ций без нарушения логической завершенности курса, что имеет смысл ¦ сделать в том случае, когда эти вопросы не входят в обязательную программу (например, в случае, когда на курс высшей математики отводится 350 часов). К ним относятся счетность рациональных и несчетность
Цена: 150руб.
